一元二次函数、方程和不等式【基础训练】

《一元二次函数、方程和不等式》基础训练

一、选择题

1.若a>b,c>d,下列不等式正确的是()

ab

A.c-b>d-aB.ac>bdC.a-c>b~clD.—>—

ac

x+2

2.已知集合4=——>0},Z?={X|X2+2X-3<0},则4HA等于()

X

A.RB.{x\-2^x<0]

C.{x|-3<xW-2或OWxVl}D.国-3<》忘-2或0<¥<1}

3.已知x>0,y>0,且'.J1=1,则2x+3歹的最小值为()

A.25V6B.25C.1976D.19

.若关于x的不等式V微+1^对任意的a>0,/)>0恒成立，则实数x的取值范围是

A.{x\-2<x<Q]B.{x\x<-2«£x>0}

C.{x\-4<x<2}D.{x|x<-4®x>2}

、填空题

.若函数f(%)=2x+£^(%>1)在工=Q处有最小值，则〃=.

.若关于x的不等式x2-2or+aW0的解集为0,则实数。的取值范围是.

三、多选题

（多选）7.下列命题中是真命题的是（

A.若a<b<0,则a2<abB.若-2VqV3,1V6V2,则-4Va-力V2

,mcd

C.若人<a<0,w<0,则r一>~D.若ab>0,be-ad>0,则一

abab

（多选）8.关于x的不等式ad・（q+1）x+l>0(aWK)的解集可能为()

1

A.{x|-<x<l}B.{x\x<\}

a

C.{x|x>:或xVI}D.{x\x^1)

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四、解答题

9.已知4>0,h>0,且a+〃=2.

（1）证明：。2+序》2；

14

（2）求一+丁；的最小值.

ab+1

10.已知二次函数y=--（2〃L1）x-z〃有两个零点，分别求满足下列条件的实数〃，的取值范围.

（1）两个零点都小于1:

（2）有且只有一个零点小于1.

11.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调

查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，旦都从事水果种植，据了解，平均每户的年收

入为371元.为了调整产'也结阂，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动

员x（x>0）户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%,

而从事水果加工的农民平均每户收入将为3（。-卷）（a>0）万元.

JU

（1）若动员X户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植

的农民的总年收入，求X的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的

农民的总收入，求〃的最大值.

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《一元二次函数、方程和不等式》基础训练

参考答案与试题解析

一、选择题

1.若a>b,c>d,下列不等式正确的是（）

ab

A.c-b>d-aB.ac>bdC.a-c>b-dD.—>—

dc

【分析】本题可利用不等式的基本性质，运用已知条件，进行正确推导，得本题结论.

【解答】解：・・・。>6,

-a<-b,BP-b>-a.

•:c>d,

••c-b>d-a.

另解：由可得Q+c>力+d,

即有c-b>d-a.

故选；A.

【点评】本题考查的是不等式的基本性质，要求准确掌握不等式的基本性质，本题计算小，属于基础题.

x+2

2.已知集合4=3丁NO},5={xpr2+2x-3<0},则等于（）

A.RB.{x\-2^x<0}

C.国-3VxW-2或OWxVl}D.3-3<%<-2或0<3<1}

【分析】先化简集合小B,再求力03即可.

%+2

【解答】解：VJ-{x|——±0}={x|xW-2或x>0},

X

B={x^+lx-3<（）}={x\-3<v<1},

：.AAB={x|•3VxW-2或0<x<1},

故选：D.

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

3.已知x>0,y>0,且一不上=1,则2x+3y的最小值为（）

A.25V6B.25C.19V6D.19

【分析】直接利用基本不等式口勺应用求出结果.

【解答】解：由"+2,=1得3+2=1,

xyyx

所以（2%+3/6+?）=竽+13+，213+2Jyx^=25,当且仅当x=y=5时取等.

故选:B.

【点评】本题考杳的知识点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

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4.若关于x的不等式f+2xVg+殍对任意的。>0,力>0恒成立，则实数x的取值范围是（）

A.{x\-2<x<0}B.{小V-2或x>0}

C.{x|-4<x<2}D.{x|xV-4或x>2}

【分析】利用基本不等式得到：+国22日•国=8（当且仅当。=4力时等号成立），代入即可求解.

ba7bd

【解答】解：若关于x的不等式W+2x<^+嘤对任意的。>0,Q0恒成立，

因为a>0,b>0,所以/+>2P,=8（当且仅当a=4b时等号成立），

ba7ba

所以由题意，得/+2xV8,解得-4VxV2,

故选:C.

【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题.

二、填空题

5.若函数/■。0=2刀+工（%>1）在“=〃处有最小值，贝ijq=_l+冬

AL-X乙

【分析】由已知结合基本不等式，然后检验等号成立的条件卬可求解。的值.

【解答】解：因为X>1,

所以X-1>0,

所以/（x）=2x+告=2（x-1）+告+2工2企+2,

当且仅当2（x-1）=与，既x=l+乎时取等号，

即4=1+

故答案为：1+孝.

【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值中应用条件的检验，属于基础题.

6.若关于x的不等式f-2ax+aW0的解集为0,则实数。的取值范围是（0,1）.

【分析】根据一元二次不等式与二次函数之间的联系，即可得解.

【解答】解：由题意知，△=（2〃）2-4aV0,解得OVaVl,

・.・实数a的取值范围是（0,1）.

故答案为：（0，1）.

【点评】本题考查一元二次不等式的解的问题，理解一元二次不等式与二次函数之间的联系是解题的关

犍，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

三、多选题

（多选）7.下列命题中是真命题的是（）

A.若a〈6V0,则/〈时

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B.若-2<oV3,1<6<2,则-4Vq-bV2

„m

C.若〃VaVO,力VO,则一>~

ab

cd

D.若ab>0,be-ad>0,则一

ab

【分析】由已知结合不等式的性质分别检验各选项即可判断.

【解答】解：若a<b<0,则/错误；

若-2<aV3,\<b<2,则-2V-6V-1,

故-4<a-b<2,B正确；

11

若bVaVO,则0>百>今

因为/〃<0,

所以丝，C正确；

ha

若ab>0,be~ad>0,

head„cd_,

则一7A—7，UR->>—»D正确.

ababab

故选:BCD.

【点评】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题.

（多选）8.关于x的不等式a/_（。+1）,v+|>o（aWA）的解集可能为（）

1

A.{x\-<x<1}B.{x\x<1}

a

C.{小》;或xVl}D.{小#1}

【分析】由已知结合一次及二次不等式的求法，对。的正负及0进行分类讨论可求.

【解答】解：当。=0时，原不等式的解集为*|xVl},

17Ko时，原不等式可化为（QX-1）（X-1）>0,

当。>1时，解集为{小>1或XV，

当。=1时，解集为{x|xWl},

当OV〃V1时，{小VI或x>」，

a

当aVO时，解集为{xg4VI}.

故选:ABCD.

【点评】本题主要考查了含有参数的不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题.

四、解答题

9.已知>>0,瓦>0,且a+b=2.

（1）证明:■+力222；

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14

（2）求一+;-7的最小值.

ab+1

【分析】（1）结合次+〃22x（孚产即可证明：

（2）结合乘1法，利用基本不等式即可求解.

【解答】证明：（1）因为。>0,h>（）,且a+b=2,

所以。2+庐22乂（喏）2=2,当且仅当。=6=1时取等号，

所以々2+〃2白2；

（2）-+—=-（-+—）（。+什1）=4（5+号+翡）>4（5+2J号・鲁）=3,

ab+13ab+13ab+13ab+1

当且仅当b+l=2o,即Q=1,力=1时取等号，

14

所以一+「7的最小值为3.

ab+1

【点评】本题主:要考查了基本不等式在最值求解及不等式证明中的应用，属于基础题.

10.已知二次函数-（2〃L1）有两个零点，分别求满足下列条件的实数机的取值范围.

（1）两个零点都小于1;

（2）有且只有一个零点小于1.

【分析】由已知结合二次方程的实根分布分布进行求解..

【解答】解：因为△=（2m-1）2+4W=4W2+1>0,

故两零点不相等，设为XI，X2，

（1）因为两个零点都小于I，

2TM—]

所以/（I）=2-3/«>0,<1,

所以m

故m的取值范围为向〃?

（2）因为有且只有一个零点小于1,

所以f（1）=2-3m<0,

9

所以〃?》名

故m的取值范围为

【点评】本题主要考查了二次方程的实根分布，属于基础题.

11.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调

查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收

入为3万元.为了调整产业结沟，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动

员x（x>0）户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4.x%,

而从事水果加工的农民平均每户收入将为3（a—盖）（a>0）万元.

J\J

第