2027高考数学复习：利用空间向量计算二面角的问题（学生版）

专题11利用空间向量计算二面角的问题

【方法总结】

1.二面角

⑴如图①，AB,CO是二面角aT一丑的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小。=〈施，CD>.

(2)如图②③，〃i,〃2分别是二面角a-/—0的两个半平面a,尸的法向量，则二面角的大小6满足|cos"

=|cosV〃i,〃2>|，二面角的平直角大小是向量小与〃2的夹角(或其补角).

2.平面与平面的夹角

如图，平面a与平面外相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平

面力的夹角.

若平面a,夕的法向量分别是m和〃2,则平面。与平面人的夹角即为向量小和〃2的夹角或其补角.设平

面”与平廊的夹角为仇则COS®=|COSV〃|,=

|W||I«2|

3.利用空间向量计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得

到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，

则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

【例题选讲】

考点一棱柱(台)模型

[例1](2021•全国甲)已知直三棱柱48C—/1山Ci中，侧面448山为正方形，AB=BC=2,E,F，分

别为/C和CG的中点，。为棱4山1上的点,BFL4向.

(1)证明:BF1DE；

(2)当BxD为何值时，面8aC6与面。在所成的二面角的正弦值最小？

A

[例2](2021•北京)已知正力体"CO一小囱GOi，点后为小口中点，直线61G交平面COE于点尸.

(1)证明：点/为5G的中点；

(2)若点出为棱小8i上一点，且二面角M-Cr一E的余弦值为：，求的值.

3A\B\

[例3](2020・全国III改编)如图，在长方体力灰：O-44CiDi中，点区尸分别在棱。。i,夕历上，且

2DE=EDi，BF=2FB\.

(1)证明：点G在平面力切内：

(2)若力B=2,AD=\,44=3,求平面力与平面夹角的正弦值.

【例4|如图，在四棱台44CO一力山CQ中，底面力4。£)是菱形，CG_L底面力8c。，且/比1。=60。,

CP=CCi=2CiZ)i=4,七是棱8&的中点.

(1)求证:AAxVBD,

(2)求二面角E-4G-C的余弦值.

【对点训练】

1.(2019•全国HI)图1是由矩形4OE8,和菱形"GC组成的一个平面图形，其中48=1,BE=

BF=2,NFBC=60。.将其沿46,4C折起使得8E与4b重合，连接QG,如图2.

(1)证明：图2中的/,C,G,。四点共面，且平面48C_L平面4CGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

2.如图，在棱长为2的正方体48C。一小中，E是8c的中点，尸是。。的中点.

(1)求证：“■〃平面小

(2)求平面4OE与平面4。力夹角的余弦值.

3.(2019•全国II)如图，长方体48co一小小的底面48CQ是正方形，点£在棱力小上，BEVECy.

(1)证明:8E_L平面EBiG；

(2)若力求二面角8-EC-G的正弦值.

4.(2()19•全国I改编)如图，直四棱柱/48CD一力iSGQi的底面是菱形，力小=4,力8=2,N4ZQ=60。，E,

M，N分别是8C,BB\,小。的中点.

(1)证明：〃平面GQE：

(2)求平面4历小与平面比小N夹角的正弦值.

考点二棱(圆)锥模型

[例1](2。20•全国I)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，力“为底面直径，AE=Al).△

力3C是底面的内接正三角形，P为。。上一点，PO=6DO.

6

(1)证明：玄_1_平面尸4C；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

[例2](2021・全国新I)如图，在三棱锥力-4CQ中，平面力4O_L平面8C。，力4=川9,。为4。的中

(1)证明：OX_LCQ；

(2)若是边长为1的等边二角形,点E在棱力。I-.DF-2F.A,且二面角/?一/?。一。的大小为

45。，求三楂锥/一4。£)的体积.

[例3](2021•全国新II)在四棱锥。一/4。。中，底面力48是正方形，若AD=2,QD=QA=5,

QC=3.

(1)证明：平面0/DJL平面,488；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

［例4］如图，在儿何体力8CQE中，四边形力灰刀是矩形.平面BEC,BEA.EC,AB=BE=EC

=2,G,产分别是线段BE,OC的中点.

(1)求证：G/7〃平面力。£；

(2)求平面AEF与平面BEC夹角的余弦值.

u

［例5］如图，在四棱锥产一/BC。中，底面力BCD是菱形,N8力。=60。，。为的中点，。。_1平

面4BCD,以=尸。=力。=2,M是棱产C上一点，且P"=L

PC3

(1)证明：巴〃平面

(2)求二面角8一胡。一。的余弦值.

AB

［例6］如图，在中，8为直角，AB=2BC,E,户分别为48,力。的中点，将N狂尸沿EE

折起，使点力到达点。的位置，连接4。，CQ,仍为。。的中点.

(1)证明：/“，平面86；

(2)若QEJL8E,求平面EA//与平面MFC夹角的余弦值.

BCD、

AEF

［例7］在Rt△48c中，Z/I5C=90°,tanN/C8=；.已知E，户分别是8C,XC的中点.将△(7£尸

沿小折起，使C到C的位置且二面角C-EF-B的大小是60°.连接C8,CA,如图：

⑴求证：平面C'E4_L平面48(7；

(2)求平面力产。与平面4EU所成二面角的大小.

A

C

［例8］如图①，△%。是以力。为斜边的直角三角形，PA=\,BC//AD,CDLAD,AD=2DC=2,

BC=L将△刃。沿NO折起，如图②，使得尸C=2.

(1)证明：平面平囿/3C7)；

(2)求二面角A-PB-C的余弦值.

图①图②

［例9］如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面小。_1_底面力3C。，底面468为直角梯形，其中AB//CD,

NCO4=90。，CD=2AB=2,AD=3,PA=5,PD=22,点E在棱力加上且力E=1,点/为棱尸。的中

点,

(1)证明：平面4£7LL平面心C；

(2)求二面角力一3/一C的余弦值.

［例10］如图①，在矩形4BCO中，AB=2,8C=3,点石在线段8c上，BE=2EC.把色8力E沿彳七

翻折至的位置，8处平面/EC。，连接4。，点厂在线段上，DF=2FB\,如图②,

(1)证明：C“〃平面小力民

(2)当三棱锥囱一力。石的体积最大时，求二面角囱一OE-C的余弦值.

E

图①

【对点训练】

I.已知三棱锥必一/IAC,M/=M8=/WC=RC=22,AB=BC=2,。为力。的中点，点N在边AC上,

且丽=2元.

(1)求证：80_L平面4WC：

(2)求二面角的正弦值.

7

2.如图所示，在四面休.4ACQ中，ADS.AB,平面.4AQ_L平面/AC,4A=Z?C=AC,且40+AC=4.

2

⑴证明：8CJ_平面48。：

(2)设七为棱NC的中点，当四面体力8。。的体积取得最大值时，求二面角。一8/)一£■的余弦值.

3.(2021•全国乙)如图，四棱锥尸一/8c。的底面是矩形，PZ)_L底面力8CQ,PO=OC=1,M为8。的

中点，KPBLAM.

⑴求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

4.如图，在四棱锥尸一NBCO中，底面48C。为菱形，NB4D=60。,/力尸0=90。，且

(1)求证：平面以£>_!_平面力8CQ；

(2)若4DLPB,求二面角。一P8—C的余弦值.

5.如图，在四棱锥P-48co中，底面48CQ,AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,48=1,点

£•为棱PC的中点.

(1)求证：BELDC；

(2)若尸为棱尸C上一点，满足RJL/IC,求平面打8与平面力4。夹角的余弦值.

6.如图，已知四棱锥尸一48CO,底面18C。是直角梯形，AD//BC,N8CO=90。，R1_L底面48CD,△

力用必是边长为2的等边三角形，PA=DM=23.

(1)求证：平面RM/_L平面POM；

(2)若£为尸C的中点，求二面角。一河。一£的余弦值.

7.已知矩形48c。中，AB=2,力。=3,在力。上取一点七满足2月石=EO.现将△COE沿CE折起使点

力移动至。点处，使得以=尸氏

(1)求证：平面PCE_L平面48CE：

(2)求二面角B-PA-E的余弦值.

8.加图，己知△48C为等边三角形，△44。为等腰直角三角形，川5_L4Q.平面川?C_L平面处?。，点、E

与点。在平面48。的同侧，且CE〃BD,8O=2C£点/为力。的中点，连接EF.

⑴求证：EF〃平面4BC；

(2)求二面角C—AE—D的余弦值.

9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,/力。C=90。，平面以。_1_底面ABCD,

Q为力。的中点，M是棱尸C上的点，PA=PD=2,BC=?D=1,CD=3.

(1)求证:平面"C_L平面共”;

(2)当PM的氏为何值时，平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°?

Pi

M

10.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

②R7与平面所成的角为“，③/44。=冗.

63

如图，在四棱锥产一力8。。中，底面/SCO是菱形，尸力_1_平面力8CQ,且P4=4B=2,尸。的中点为

F.

(1)在线面48上是否存在一点G,使得力尸〃平面PCG?若存在，指出G在48上的位置并给以证明;

若不存在，请说明理由.

(2)若，求二面角/一力。一。的余弦值.

考点三不规则几何体模型

|例1|(2018・全国［H)如图,边长为2的正方形所在的平面与半圆弧⑨所在平面垂直，河是近)

上异于C,。的点.

(1)证明：平面4Ho_1_平面8MC；

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

［例2］如图，四边形力8c。是菱形，£4_1_平面力8CZ),EF//AC,〃平面8OE,G是48的中点.

(1)求证：EG〃平面8CE

(2)若NB4D=60°,求二面角力一BE-。的余弦，直.

|例3|如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=2,N4?C=6()。，/ICfFXTfflABCD,

四边形AC石尸是菱形，NC4/=60。.

(1)求证：BF±AE：

(2)求二面角B-EF-D的平面角的正切值.

LD

［例4］如图，在梯形片“CO中，AB//CD,AD=DC=C3=1,N8C3=；,四边形8厂£。为矩形,

平面8F£Q_L平面48C。，BF=\.

(1)求证：/