2026高一数学专项提升讲义：函数的应用（一）学生版

第十六讲：函数的应用(一)

【知识梳理】

知识点一一次函数模型

形如》="+力的函数为一次函数模型，其中原0.

知识点二二次函数模型

1.一般式：y=ax2++c(a^O).

2.顶点式：y=j(x—〃?+%(存0).

3.两点式：y=a(x—fn)(x-n)(〃#)).

知识点三幕函数模型

1.解析式：歹=〃尺十”4,b,cc为常数，好0).

2.单调性：其增长情况由产中的a的取值而定.

【例题详解】

题型一、二次函数模型

1.(25・26高一上•辽宁辽阳•期中)辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果

榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，

顾客买x(4>0)斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x(x>0)斤，每斤的售价为卜4+幺、

元.已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为/")元，

按照第二种方案购买大果榛子的可款额为g(x)元.

⑴分别求函数/(X)，g(x)的解析式；

(2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135

元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？

2.(23.24高一上•江苏无锡•阶段练习)某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技

1

替代产品，并投入资金15万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现:

当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少0.1万件.设销

售单价为x元.第一年获利y万元.（年获利=年销售额-生产成本.投资）

（1）试写出y与x之间的函数关系式：

（2）公司计戈也在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于11.3万元.请问第

一年的销售单价应定在什么范围内？

题型二、分段函数模型

3.（25-26高一上•北京西城•期末）48两地相距520km,货车从/地匀速行驶到8地，全程限速

lOOkm/h.已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元,

可变成本与车速X的平方成正比，比例系数为

（1）把货车的全程运输成本y（单位：元）表示为车速X（km/h）的函数；

（2）为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？

4.（25-26高三上♦安徽安庆•阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变

以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗滞械公司

为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大

2x2+8().r,0<.r<40

产能为100台，每生产X台，需另投入成本G（X）万元，且G（x）=1201X+^2-2100,40<X<100，由市场

调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

（1）写出年利润小（x）万元关于年产量x台的函数解析式（利涧=俏售收入一成本）;

2

（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

题型三：分式型函数模型

5.（25-26高一上•山东济南・期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为

80万元.记该企业生产台设备需要投入的总成本为S（x）（单位：万元），且

Y2+20X'+4000<x<40

S（x）=14400二’假设生产的设备全部都能售完.

84x+-----130（X40<x<70.

x

⑴求利润/（X）（单位：万元）关于生产台数X的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利

润=销售额■成本）；

（2）当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？

6.（25-26高一上•湖北襄阳•期中）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部

还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为

a-4.v,0<x<15

R（x）万元，且R（》）=5300h.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年

、XX

利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利涧为2960万元.

（1）求“，b；

（2）写出年利润%（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；

（3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

题型四、嘉函数模型

7.（23-24高一上•四川凉山•期末）某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产x千件，

需另投入生产成本。“）（万元）,若年产量x低于100千件，则生产成本。（x）=/-90x-1200；若年产

量x不低于100千件时，则生产成本。（》）=半+生"-1390.每千件产品售价为10万元，旦生产的产品

•X

能全部售完.（“年利润”=“年总收入”-“生产成本固定成本”）

3

（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？

8.（25-26高一上•四川德阳•期末）春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024

年12月4日，“春节一中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织

人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，

春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市间中市是中国传统节H

——春节的发源地.闿中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆

祝活动.每年的春节期间，闿中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和

民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进闿中旅游业的发展，闿中市

文旅局计划在闿中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待

X2+2O.r+10（）,0<x<40,1OO.rGN

X万名游客，则需追加管理及维修成本g（x）万元，且g（x）=（］659000…八/八1AA1An，该游

一x+---------1150,40<x<lOOJOO.veN

2x

玩项目的每张门票售价为80元.

⑴求2025年该项目的利润/⑺（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额.成本）;

（2）当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

【专项训练】

4

一、单选题

1.（25-26高一上•全国）茶叶是口国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长.茶水的口

感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度N（单位：。0和泡茶时间，（单位：min）

-ior+ioo,o</<5,

满足关系式120,5<闫°,若喝茶的最佳口感水温大约是6。。则需要等待的时间为（）

A.1.5minB.2minC.3minD.4min

2.（23-24高一上•江西•阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”,

是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高

点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度力（单位：米）与时间/（单

位：秒）之间的关系式为力=-3.6/+28.8/，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）

A.第4秒B.笫5秒C.笫3.5秒D.笫3秒

3.（22-23高三上•北京西城・期末）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当

AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0〜24时的空气质量指数N随时间，变

化的趋势由函数y=「°；+29°，°KY12描述则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）

56V/-24,12</<24

A.5小时B.6小时C.7小时D.8小时

4.（21-22高一上•湖南益阳・期末）某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为。（》）=/+4工+16

（万元），每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完.当月所获得的总利润用卬（x）（万

元）表示，用心表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（）

X

A.当牛产12万件时，当月能获得最大总利润144万元

B.当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元

C.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元

D.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元

5.（20-21高一・全国•课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天

能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获

5

得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（）

A.{x|10<x<16}B.{x|12<x<18）

C.{x|15<x<20|D.{x|10<x<20}

6.（22-23高一上•浙江•期中）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400

元，不享受折扣；若顾客的购物息金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率

如下表所示：

可享受折扣优惠的折扣

金额率

不超过400元部分5%

超过400元部分15%

若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（）

A.935元B.10007LC.1035元D.1100元

二、多选题

7.（25-26高三上•河南•阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买

所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略.某顾客计

划消费x（x>0）元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）

A.当0cx<200时，应进甲商场购物B.当200Kx<300时，应进乙商场购物

C.当400Wx<500时，应进乙商场购物D.当x>500时，应进甲商场购物

8.（22-23高一上•全国•课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离

与乙同学家到公园的距离都是2曲.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程歹（公〃）与

时间x（min）的关系，下列结论正确的是（）

6

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60〃〃力

B.甲从家到公园的时间是30"〃力

C.当g烂30时，y与x的关系式为＞=?

D.当303吆60时，y与x的关系式为＞，=；》-2

9.（22-23高一上•全国）在一条笔直的公路上有4、B、。三地，C地位于48两地之间，甲车从4

地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从8地沿这条公路匀速驶向力地.在甲车出发至甲车到达C地的

过程中，甲、乙两车各自与。地的距离y（km）与甲车行驶时间f（h）之间的函数关系如图所示.下

列结论正确的是（）

A.甲车出发2h时，两车相遇

B.乙车出发1.5h时,两车相距170km

C.乙车出发2Th时，两车相遇

D.甲车到达C地时，两车相距40km

10.（20-21高一上•山西•期末）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的

月利涧P（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费工（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不

7

高于16万元，且〃（外=-2/+6..20,利润率y=逊.现在已投入研发经费9万元，贝!下列判断正确

5x

的是（）

A.此时获得最大利润率B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润

C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润

三、填空题

11.（25.26高一上•广东•阶段练习）已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店

铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照20%返现，超过100元的部分按照30%返

现.若促销活动期间在该店铺购买x（xwN）件商品，所需费用（支付款减去返现）为/（力元，贝心23时,

/3=.

12.（25-26高一上•全国•课后作业）如图，在等腰梯形44C0中，且已知AB+8C+C。

为定值/,腰CQ与直线8c的夹角为60。，设等腰梯形的面积为S,高为人则S关于。的函数解析

13.（2022高二下•浙江宁波）某方对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可

以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前

期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度力（单位：ffi

米）满足关系：^（A）=TT^（0<A<10）.经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消

耗费用为10万元.设尸（"）为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使尸（"）达到

最小值的隔热层的厚度h=厘米.

14.（22-23高一上•全国）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后，在家休假的爸爸发

8

现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到

书后以原速的7快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不

4

计）.两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图

所示，则小明家到学校的路程为米.

15.（22-23高一上•江苏连云港）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件（单位：件）（x€N*）与

货价〃（单位：元/件）之间的关系为〃=160—2工，生产x件所需成本C=100+30x（单位：元），当

工厂日获利不少于1000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是

四、解答题

16.（25・26高一上•山东济宁•期口）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制,

-------,0<x<ni

会产生一些次品，其次品率“与日产量x（万件）之间满足关系:P=\x（其中“为小于

—,x>m

13

24的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元,

故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1

件为次品，其余为合格品）.

（1）试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量工（万件）的函数;

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

17.（25-26高一上•安徽•阶段练习）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一

届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向

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世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委

的数据显示，本届奥运会80%的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物

的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，浮动价格=鬲康百（浮动价格

销售量

单位：元，销售量单位：万件）.假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时,

销售量为10万件，当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减少0.2万件，例

如，单价售价为101元时，销售量为9.8万件：单价为102元时，销售量为9.6万件，以此类推.利

润=（售价.供货价格）x销售量，不计其它成本

（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元；

（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元.

18.（25-26高一上・江苏泰州•期中）冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩

的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成