九年级数学上册：弦、弧、圆周角与圆心角（讲义+练习）学生版

弦■弧■圆周角与国心角

知识点1、圆周角定理及推论.\

2、直径所对的圆周角是直角.：

3、弦、弧、圆心角\

教学目标1、理解圆周角的概念.

2、掌握圆周角定理及其推论.

3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.

教学重点圆周角的概念和圆周角定理及其推论.

1

教学难点圆周角定理的证明中由"一般到特殊”的思想方法和完全归纳法的思

想,

1____

【教学建议】

本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进

而要学习的圆的又一个重要性质。主要研究弧，弦，圆心角的关系。教材中充分利用圆的对

称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的

证明的有机结合。在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。同时弧，弦，圆心

角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。

对于学生而言，圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的思想方法和完全归纳法的思想是

本节课的难点。

【知识导困】

圆周角定理

LT

圆周角1

圆周角定理的推论

圆的基本性质

T圆周角与圆心角的关系

弦、弧、圆心角PL

三者的关系

教学过程

一、导入

【教学建议】

导人是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状

态。

如图所示，顶点在圆上，则得到如图的新的角NACB,它是什么角呢？本节课我们共同来研

究这样的角.

0

B

A

二、复习预习

垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理推论

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论扩展

推论1:（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

考点1圆心角、弦、弧

1、什么是圆心角？答：顶点在圆心的角叫圆心角.

2、圆心角的度数定理是什么？

答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如图所示）

0

B

A

3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所疝的弦也相等；在同圆或等圆中如果

两条弦相等，则他们所对的圆心角、弧也相等；在同圆或等圆中如果弧相等，则他们所对的

弦、圆心角也相等。

考点2圆周角的定理

圆周角定义：顶点在员1周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

/BOC=74°

4BAC=37°

ZBAC=37^

zBA'C=37°

考点3圆周角定理的推论

一

1、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

2、半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.

②同圆或等圆中，圆周角等于它所对•的弧上的圆心角的一半.

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.

④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

考点4直径所对的圆周角

L_____________________________________________

直径所对的圆周角：AB是直径，NACB是圆周角，ZACB=90°,即半圆（或直径）所对圆周

角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

三、例题精析

类型一圆心角、弦、弧

例题1

下列语句中，正确的有（）

A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等

B.平分弦的直径垂直于弦

C.长度相等的两条弧相等

D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

例题2

如图，在。0中，若点C是标的中点，ZA=50°,则NBOC=()

A.40°B.45°C.50°I).60°

类型二圆周角的定理

例题1

如图，点A,B,C,P在。0上，CD±0A,CE±0B,垂足分别为D,E,NDCE=40°,则NP

的度数为()

c

A.140°B.70°C.60JD.40°

类型三圆周角定理的推论

例题1

如图，在。0中，已知N0AB=22.5°,则NC的度数为（）

B.122.5°C.115.5°D.112.5°

例题2

如图，在。O的内接五边形ABCDE中，ZCAD=35°,则NB+NE=°.

类型四直径所对的圆周角

例题1

如图，已知。0是AABD的外接圆，AB是00的直径，CD是。0的弦，ZABD=58°,则/BCD

等于（）

C.58°D.64°

例题2

如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，ZABC=50°,则/DAB等于（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

D

B

四、课堂运用

1.下列语句中，正确的有（）

①相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径垂直于弦；

③长度相等的两条弧是等弧；

④经过圆心的每条直线都是圆的对称轴.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，已知AB是。0的直径，BC是弦，ZABC=30°,过圆心。作OD_LBC交弧BC于点D,

连接DC,则NDCB的度数为（）度.

A.30B.45C.50D.60

3.如图，在。0中，OC〃AB,ZA=20°,则N1等于（）

4.如图，AB是。。的直径，ZBAD=700,则NACD的度数是（）

V

A.20°B.15°C.35°D.70°

巩固

l.P是。。外一点，PA、PB分别交。。于C、D两点，已知AB、CD的度数别为88。、32。，则

/P的度数为（）

A.26°B.28°C.30°D.32°

2.如图，四边形ABCD内接于。0,AC平分/BAD,则下列结论正确的是（）

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=AED.ZBCA=ZCCA

3.如图,半圆0的直径AE=10cm,弦AC=6cm,AD平分NBAC,则AD的长为（)

4.如图,ZXABC的三个顶点都在。0上,AD是直径，且NCAD=56°，则NB的度数为

5.如图，。0的半径OD_L弦AB于点C,连结A0并延长交。0于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,

则EC的长为（）

A.2B.8C.V13D.2A/13

拔高

1.己知AB是半径为1的圆0的一条弦，口AB-以AB为一边在圆0内作正AABC,点D

为圆0上不同于点A的一点，且DB=AB=a,DC的延长线交圆0于点E,则AE的长为（）

o

A.返己B.1C.返D.a

22

2.如图,AABC中,ZBAC=90°,AC=12,AB=10,D是AC上一个动点,以AD为直径的。0

交BD于E,则线段CE的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

3.如图,△ABC内接于。0,ZBAC=120°,AB=AC=4,BD为。。的直径,则B1）等于（）

A.4B.6C.8D.12

五、课堂小结

本节课我们一同探究了同弱或等即力，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半:

由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的

圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°

（直角）。90。（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住

这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。

六、课后作业

基础

1.在半径为1的圆中，长度等于亚的弦所对的弧的度数为（）

A.90°B.145°C.90°或270°D.270°或145°

2.如图，。。中，弦BC与半径0A相交于点D,连接AB,0C.若NA=60°,/ADC=85°,则

NC的度数是（）

A.25°B.27.5°C.30°D.35°

3.如图，A、D是。0上的两个点，BC是直径，若/D=35°,则/OAC等于（）

4.如图,00是AABC的外接时已知NAC0=30°,则NB的度数是（)

co

R

A.30°B.45°C.60°D.75°

5.如图所示，点A是半圆上一个二等分点，点B是不K的中点，点P是直径MN上一动点,

若。0的直径为2,则APJBP的最小值是

巩固

1.已知。0中，A&2CD,则弦AB和2CD的大小关系是()

A.AB>2CI)B.AB=2CI)C.AB<2CI)I).不能确定

2.如图，OA过点0(0,0),C(V3,0),D(0,1),点B是x轴下方。A上的一点,

连接BO,BD,则NOBD的度数是()

VA

A.15°B.30。C.45°D.60°

3.如图・点R.C.