2025-2026学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知向量a=（2,3,4）,了=（血,几8）,若弓〃石，则m+7i的值为（）

A.14B.10C.8D.7

2.己知等差数列满足的=6，即=3，则公差为（）

A.1B.2C.-2D.-1

3.若抛物线C的焦点F关于准线I的对称点为（-3,0）,则。的标准方程为（）

A.y2=4%B.y2=2xC.x2=4yD.x2=2y

4.已知M是四面体力BCO的棱8C的中点，点N在线段OM上，且ON=2NM,。为线段4N的中点，若加5=

xDA+yDB+zDC,则x+y+z=（）

A1B-z盛D1

5.某高校选派5名大学生志愿者到小B、C三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少去一名志愿

者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去4学校，乙不能单独去任一所学校，则不同的选派方案

共有（）

A.30种B.36种C.48种D.54种

6.已知P为直线1：x-y+2=0上一点，M为圆C：（%-1）2+,，2=2上一点，且PM1MC,则两•定的

最小值为（）

A.11B.|3C.15D.3

7.已知函数/（%）=x（x-c）2在X=2处有极大值，则/。）在[1,8]上的值域为（）

A.[1,32]B.[0,25]C.[0,32]D.[25,32]

8.在正方体力BCD—中，点。为线段AC的中点.点P在线段4G上，直线0P与平面A/C]所成的角

为6,则cos。的最小值是（）

A*B.4C.?D.f

3344

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是（）

A.若两个变量的相关性越强，则相关系数r越大

B.（x+0）4的展开式中炉项的系数为6

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C.随机变量X〜NGu,，），若P（X〉1）+P（X>3）=1,则〃=2

D.若一组不完全相同的数据无一不，…，/的平均数为与，则当％=与时，函数/（无）=彳£21（勺一同2取

得最小值

10.根据2019年发布的《中国城市餐饮食物浪费报告）显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费每年就高达

1800万吨，相当于5000万人一年的食物量.为营造“节约光荣.浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘

行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客

人,制成如下列联表,已知尸境226.635）=0.010,P（x2>10.828）=0.001,则下列判断正确的是（）

认可情况

年龄

认可不认可

40岁以下2020

40岁以上（含40岁）455

A.在该餐厅用餐的客人中大约有72.2%的客人认可“光盘行动”

B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”

C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关

D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关

11.已知函数/（乃=寸一。羽QWR,则下列结论正确的是（）

A.若Q>0,则函数/（x）在（bia,+8）上单调递增

B若。=0,不等式=。1）一/（必）|工上1一必|在区间［1,4］上恒成立,则tWe

C.若方程/•（%）=0有解，则实数a的取值范围为（e,+co）

D.若不等式>Inx-（am+m-l）x对任意%>0恒成立，则m>g

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若等比数列｛%｝的前n项之积为7”,且几二0，则。6=一.

13.袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有九（2<n<5,且九工3）个，其余的球为

红球.从袋子中任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是白，则红球的个数为一.

14.已知双曲线C：★一《=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为小七，若双曲线上存在点P，使得

|PF】|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题13分)

某地区卫生部门为探究居民锻炼习惯与健康状况的关系，开展了一项大规模抽样调查.通过分析，研究人员

将人群分为“有定期锻炼习惯”和“无定期锻炼习惯”两类，调查结果显示，锻炼习惯与健康指标存在显

著关联.具体而言，在坚持定期锻炼的居民中，体检指标正常的比例为80%：而在缺乏锻炼习惯的居民

中，这一比例仅为20%,综合全部样本数据，该地区全体居民体检指标正常的比例为40%.用样本频率估

算总体概率.

(1)从该地区随机抽取一人，求此人具有定期锻炼习惯的概率；

(2)现从该地区全体居民中随机抽取3人，记其中具有定期锻炼习惯的人数为X,求X的分布列与数学期望

16.(本小题15分)

已知数列｛%｝中，。…鼻.

(1)证明：数歹叫,一1｝为等比数列；

(2)若勾=(；-l)/og3(；—1),求数列｛儿｝的前几项和7”.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—中，PD1平面48CD,PD=3,四边形是边长为2的菱形.ND4B=60，

(1)证明：4C1平面PBD；

(2)若屈=前，PF=2F5.

。)求平面力与平面P8D的夹角：

(ii)若丽=2而，证明：力Gu平面力EF.

18.(本小题17分)

已知椭圆E：曰+餐=1(。＞力＞0)经过点或半)，离心率为洋

(1)求E的标准方程;

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(2)若直线1：y=kx+m(?n。1)与E交于力、B两点,M为E的上顶点，且拓5•丽=0,证明：直线/过定

点P;

(3)在(2)的条件下，若。为坐标原点，求W的取值范围.

\&BOP

19.(本小题17分)

已知函数/'(X)=(x2+a)sinx—ax(a6R).

⑴当a=0时，求曲线y=/(%)在点(枭/弓))处的切线方程；

(2)若％=0是/(%)的导函数/"'(%)的极大值点，求a的取值范围；

(3)证明：sinO.OOl+sin0.003+sin0.005+...+sinO.999<240.

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1.【答案】B

2.【答案】0

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BCD

10.【答案】AD

11.【答案】ARD

12.【答案】1

13.【答案】3

14•【答案】(1,3]

15.【答案吗

X的分布列为

X0123

821

P

27927

%)=1

16.【答案】已知数列｛%｝中，即+】=若」，

4J-ZCZ/i

则一^一1=3(2一1),即率二=3,

册卜1册J

故｛2一1｝是以染一1=3为首项，3为公比的等比数列

_(2n-l)-3n+1+3

Tln=4

17.【答案】•••P。1平面ABC。，ACa^ABCD,

PD1AC,

又•.四边形/RCQ为菱形.AC1RD,

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且PDCiBD=D,PD,BDu平面PBD,

AC1平面PBD

(i)60°：(it)设GQ,y,z),则丽=(x,y,z-3),GD=(-x,-y,-z),

由而=2而,即Qy,z-3)=(-2%,-2y,-2z),得G(0,0,l),

••.而=(-

•••平面AE"的一个法向量为五=(1,-/3,2<3),

：.n-AG=-y[3-\f3+2\[3=0f

又•；AE平面力:.AGu平面力E尸

18.【答案】。+产=1

4

设4（右，为），8（祝/2），

y=kx+m

由/21'消y得(1+4k2)%2+4m2-4=0,

匕+产=1Qkmx+

则/=(8/cm)2-4(1+4k2)(4血2_4)>o,且必+必=_署*，/血=

又M(0,l),则为5=(右,%-1),而=(%2，为-1〉

因为拓5•丽=0，则祈了•MB=xtx2+(力-l)(y2-1)，

又力=kxY+Tn,y2=kx2+rrt,

所以利•丽=XXX2+(kX[+771-l)(/c%2+血一1)

22

=(1+/c)xi%2+k(m-l)(xt+x2)+(m—I)

=(1+1)^^+左(巾—1)哉+(m—I)?=