第1章 三角形 单元自测-浙教版新八年级《数学》暑假预习

第1章三角形单元自测卷

【新教材，浙教版】

（考试时间：90分钟试卷满分：120分）

考前须知：

1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。

2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。

第I卷

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。）

1.下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位cm）,用它们能摆成三角形的是（）

A.3,4,5B.8,7,15C.13,6,20D.5,5,11

【答案】A

【详解】解：A、3+4=7>5,能摆成三角形，该选项符合题意；

B、7+8=15,不能摆成三角形，该选项不符合题意；

C、6+13=19<20,不能摆成三角形，该选项不符合题意；

D、5+5=10<11,不能摆成三角形，该选项不符合题意.

2.如图，AABODEF,Z-B=40°,ND=80。，贝叱尸的度数是（）

BC\

A.100°B.80°C.60°D.40°

【答案】C

【详解】解：■:AABCWADEF,乙B=40°,

••・乙£=£B=40°,

VzD=80。，

・3F=180°-zD-ZE=60°.

3.如图，4ZMC是△ABC的一个外角，乙8=48。，LC=27°,则乙DAC的度数是（）

27°

A.27°B.48°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可.

【详解】解：•・•/■>4c是△ABC的一个外角，=48°,Z.C=27°,

J.LDAC=+4C=48°+27°=75°.

4.如图，旗杆40_L8C,将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的8木桩和C木桩上，

且木桩8,C到旗杆的距离相等(RD=CD),通过证明仆ABD=△4CD可判断两根绳子长度相等(AB=AC),

则证明△ABDACZ)的依据是()

A.AASB.HLC.SASD.ASA

【答案】C

【详解】解：・.ND_L8C,

：.Z-ADB=/-ADC=90°,

在Rt2\48。和Rt/MCD中，

AD=AD

Z.ADB=Z.ADC,

BD=CD

/.Rt△ABD三Rt△/ICD(SAS).

故选：C.

5.下列命题中，假命题是()

A.垂线最短

B.互为相反数的两个数绝对值相等

C.同旁内角互补，两直线平行

D.所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数

【答案】A

【分析】本题考查初中数学基本概念与定理，只需判断各命圈的真假，找出假命题即可.

【详解】V垂线是直线，无确定长度，正确结论为“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线

段最短”，

・•・选项A“垂线最短”是假命题；

选项B中，互为相反数的两个数符号不同绝对值相同，因此该命题是真命题；

选项C中，”同旁内角互补，两直线平行''是平行线的判定定理，因此该命题是真命题；

选项D中，实数与数轴上的点是一一对应关系，因此该命题是真命题.

6.如图，B0为A48C的角平分线，0D148于点0,点E为BC边上的动点，2<02?<5,则。。的长度是（）

A.2B.35

【答案】A

【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，当动点E运动到点G时，0E1BC

时，0E有最小值时,0E=0D,即可.

【详解】解：过点。作0G_LBC于点G,

VB0为七48C的角平分线，0D1AB于点D,

：.0D=0G,

•・•点E为BC边上的动点，2WOEW5,

••・点E与点G重合时,0E=0G,0E1BC,此时0E有最小值,即0E=2,

：.0D=2.

7.如图，已知A/IBM和aCDN的顶点4、C、B、D在同一直线上，已知MA=NC,Z.MAB=LNCD,下列

哪个条件不能判定△力（）

MN

ACBD

A.乙M=乙NB.AC=BDC.MB||NDD.BM=DN

【答案】D

【分析】根据已知条件结合各选项提供的条件，利用全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）

进行判断即可，注意“AAA、SSA”不能判定三角形全等.

【详解】解：已知=NC,Z-MAB=乙NCD

对于A,添加=根据ASA可判定A/IBMNACDN,放不符合题意;

对于B,添加4。-BD.vAC-BDAC+CB-BD+CB,即/W-CD,根据SAS可判定=△CDN,

故不符合题意;

对于C,添加MB||N。，.•.4M5力=根据AAS可判定aABMwaCON,故不符合题意;

对「D,添加BM=ON,此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA）,不能判定A/IBMACDN,故

符合题意.

8.如图，三角形纸片4?。中/月=65。/8=75。,将“沿DE对折，使点C落在△ABC外的点。'处，若=30°,

则42的度数为（）

A.100°B.110°130°

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理求出乙。，根据折叠的性质求出乙C'，根据三角形的外角的性质计算，得

到答案.

【详解】解：如图：

由折叠的性质可知，ZCZ=ZC=4O°.

Z3=zl+LC=70°,

/.z2=zC+2.3=110°.

9.如图，若的面积为2,且点A,B,C分别是£C、AF,4。的中点，那么阴影部分的面积为（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三用形面积的倍数关系，最后将阳影部分面积

转化为几个已知面积三角形的和即可求解.

【详解】解：如图，连接A。、BF、CF,

•••EA=AC

SMBE=SA^BC=2

,••点8是AF的中点

FB=BA

SbCBF-S&ABC-2

•••点C是8。的中点

BC=CD

二SMCD=SAABC=2

•••点8是AF的中点，BP/1F=2AB

SHFAE=2s-BE=2x2=4

•・•点C是BD的中点,BPBD=2BC

b^DBF=Zb^CBF=2X2=4

•・•点A是EC的中点，即EC=24;

SHECD=2SAACD=2X2=4

由图可知，阴影部分的面枳为S"AE+S&DBF+S3

・•・阴影部分的面积为4+4+4=12

10.如图，点4,B,C在同一条直线上，乙48。=KCBE=40°,BA=BD,BC=BE,D8与AE相交于点N,

BE与。。相交于点M,CD与成相交于点P,连接BP.有下列结论:①4E=CD；②BM=BN；③乙E="；

④P8平分乙4PC；⑤PM=PN；©Z.DPA=40°.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】由，AB。=乙CBE=40°得/ABE=乙DBC；结合84=BD,BE=8c证△A8EDBC,得AE=

CD,Z.E=ZC；由全等得点B至必E和CD的距离相等，利用角平分线判定定理证明PB平分乙4PC；由

Z.PNB=£.BAE+40°,4PM8=〃？+40。，而（BAE牛（C,故乙PNB芋乙PMB,故BN手BM,

PN工PM；利用对顶角性质证Z-DPA=40°.

【详解】解：：乙4BD=Z.CBE=40°,

/.Z.ABE=Z-ABD+Z.DBE=Z.CBE+乙DBE=Z.DBC»

在△ABE^WADBC中，

BA=BD,

{LABE=乙DBC,

BE=BC,

•••△48E三△DBC（SAS）,

:.AE=CD,Z.E=乙C,LBAE=乙BDC,

故①③正确.

由AABE三ADBC比4E=CD,得点B到AE和CD的距离相等，

:•点、B在4PC的平分线上，即PB平分乙4PC,

故④正确；

•:乙PNB是△8NA的夕卜角，

乙PNB=（NBA+/.BAE=/-ABD+乙BAE=40°+/.BAE,

•:乙PMB是＞BMC的外隹，

:.4MB=乙MBC+Z.C=乙CBE+Z.C=40°+zC,

而乙BAEH£C,

乙PNBH乙PMB,

：.BN手BM,PN丰PM,

故②⑤错误；

v乙DPA=乙ABD=40°,

故⑥正确：

综上，正确的结论有①③④⑥，共4个.

故选：C.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，已知△ABCwzkEBD,若48=4,8。=6,则CE的长是______________.

c

【答案】2

【分析】根据全等三角形的性质得到BE=AB=4,BC=BD=6,即可求出CE的长.

【详解】解：三△EBD,AB=4tBD=6,

：,BE=AB=4,BC=BD=6,

：.CE=BC-BE=6-4=2.

12.如图，在△48C中，44c8=48=56。，以点。为圆心，CA长为半径作弧交4B于点ZZ分别以点A和

点。为圆心，大于3力。的长为半径作弧，两弧相交于点E,作直线CE交4B于点F,则ZAC"的度数是

【答案】22°

【分析】由作图过程可知，直线C尸_LA8,然后通过三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：由作图过程可知，直线CF14B,

Z.AFC=90°.

•••Z.ACB==56°,

Z.BAC=180°-Z,ACB-Z3=68°,

•••Z.ACF=180°-/-BAC-Z-AFC=22°.

13.对于命题“同角的余角相等"，题设是,结论是.

【答案】两个角是同一个角的余角这两个角相等

【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角是同一个角的余

角，那么这两个角相等，

“如果”之后的内容是题设，“那么”之后的内容是结论，

・•・题设是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等.

14.如图，点B,C,。三点在同一直线上，且AB=AE,AC=AD/BAE=N&4D.若N1+z2+z3=100°,

则的度数为.

A

D

【答案】50°

【分析】先证明△BAC三△£4D(SAS),得出N2=NBAC,/I=〃BC,再结合三角形外角的定义及性

质il算即可得出结果.

【详解】解：'：^BAE=/.CAD,

.\Z-BAE-Z.CAE=乙CAD-乙CAE,

：.LBAC=4EA。，

'：AB=AE,AC=AD,

••.△B力CNAEAD(SAS),

z2=Z.BACz.1=/.ABC,

Vz3=Z.BAC+Z.ABC=Z2+Z1,Z1+z2+Z3=100%

A2Z3=100°,

・"3=50°.

15.如图是可调躺椅的示意图，4?与8D的交点为C,乙。48=50。，/.CBA=60°,Z-E=40°.为了舒适，

需调整ZCDF大小，使NEFO=140。，且“48、Z.CBA.々E保持不变，则图中“OF应调整为

度.

【答案】30

【分析】延长EF交3。于G.艰据三角形内角和公式求出乙4cB=70。，可得NDCE=70。，根据三角形

外角的性质得乙E/D=乙CDF+NE+乙DCE,然后代入数据求解即可.

【详解】解：延长EF交8D于G.

v乙CAB=50%/-CBA=60°,

Z-ACB=180°-4CAB-4c84=70°,

LDCE=LACB=70°.

•••乙EFD=乙CDF+乙DGF,LDGF=+乙DCE,

:.乙EFD=乙CDF+ZE+Z.DCE.

乙CDF=140°-70°-40°=30°.

16.在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的几（n为大于1的正整数）倍，则称△A8C为“n倍

角三角形”.例如I,在△/IB。中，=80°,28=60。，ZC=40°,可知乙4=2H所以A4BC为“2倍

角三角形如图，直线MN1直线PQ于点。，点4B分别在射线OP,OM上，点G在B4的延长线上.已

知NB40,4OAG的平分线分别与280Q的平分线所在的直线交于点E,F.若△AEF为“3倍角三角形”,

则44"的度数为.

【答案】

30°或22.5°

【分析】首先利用角平分线性质推导ZE力产的度数，确定为直角三角形，进而可得乙QOE,LAOE

的度数，然后根据三角形内角和定理表示出24EF，确定乙4EF的取值范围，然后根据“3倍角三角形”的

定义，分情况讨论直角与锐角、锐角与锐角之间的倍数关系，最后结合图形几何性质确定NAEF的取值

范围，筛选出符合题意的解.

【详解】•••4£•平分80,AF平分404G,

AZ.EAO=-Z-BAO,/.OAF=-/-0AG,

22

•••Z.BAO+Z.OAG=180°,

/-EAF=/-EAO+Z-OAF=+404G）=90°,

••.△/IE尸是直角三角形，

•:MN1PQ,

:.乙BOQ=90°,

•.•直线EF平分NBOQ,

••・4QOE=g乙BOQ=45°,

•・♦点A在射线OP上，

:.LAOE=1800-LQOE=135°,

在△40E中，Z.AEF=1800-/.AOE-Z.EAO=180°-1353-zF/10=45°-zE/IO,

LEAO>0°,

:.Z-AEF＜45°,

•••△4EF为“3倍角三角形“，L/-EAF=90。，

•••分以下情况讨论：

①当直角是锐角的3倍时，

若乙EAF=/，

•••90。=34AEF,解得乙4£7=30。，此时30。V45。，符合题意：

若4EAF=34AFE,则90。=34/1FE,解得N/1FE=30°,

/-AEF=90°-^AFE=60%此时60。＞45。，不符合题意，舍去；

②当一个锐角是另一个锐角的3倍时，

若NAFE=3/-AEF,

•••LAEF+Z-AFE=90°,

/.Z.AEF+3Z.AEF=90°,解得44E尸=22.5。，此时22.5。＜45。，符合题意；

若"EF=3乙4FE,则乙4EF=3(90°-乙4EF),解得乙4EF=67.5°,此时67.5。＞45。,不符合题意,

舍去；

综上所述，乙AEF的度数为30。或22.5。.

三,解答题(本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

17.如图，在△48C中，0为边力8上的一点，E为力。的中点，连接DE并延长至点心连接CF,使得CFIIAB.求

证：AD=CF.

【答案】见解析

【详解】证明；•••CFII4B

・・・44=LECF

•・•£为AC的中点,

：,AE=CE

*：Z.AED=Z.CEF

：.^AED=△CFF(ASA)

：.AD=CF.

18.如图.在中.AACR=90°.BO平分N49c.交4「干点。.

C

D

⑴若乙48c=60。，求乙4DB的度数；

(2)尺规作图：在A/IDB中，作48边上的高OE.(保留作图痕迹，不写作法)

【答案】(1)120°

(2)见解析

【分析】(1)根据角平分线的定义求出NCBD的度数，再由三角形内角和定理求出NC08的度数，最后

由平角的定义可得答案；

(2)根据垂线的尺规作图方法作图即可.

【详解】(1)解：•••BD平分乙4BC,Z.ABC=60°,

乙CBD=-/-ABC=30°,

2

•••乙DCB=90°,

:.乙CDB=180°-ZC-乙CBD=180°-90°-30°=60°,

LADB=180°-乙CDB=180°-60°=120°；

(2)解：如图所示，0E即为所求.

又

I

19.已知△ABC的三边分别为a、b、c.若a、c满足(a—4尸十|匚一1|=0.

(l)a=»c=；

(2)若b为整数，求△ABC的周长.

【答案】(1)4；1

(2)9

【分析】(1)几个非负数的和为0,则这几个非负数的值都为0,据此可得答案；

(2)根据三角形的三边的关系求出的取值范围，结合人为整数求出〃的值即可得到答案.

【详解】(1)解：:(a—4)2+|c—1|=0,(a-4)2>0.|c-1|>0,

(a-4)2=|c-1|=0>

a—4=0»c-1=0»

a=4.c=1：

（2）解：由（1）得Q=4,c=1,

\'a-c<b<a+ct

A4-1VbV4+1,即3Vb<5,

又•・”为整数，

d=4,

:.△ABC的周氏=a+b+c=4+4+l=9.

20.如图，点£、F在80上，BE=DF,乙4二4。，AFtCE交于点、0,B.OE=OF.

(1)求证：AB=CD：

(2)若N4=95。，NO=45。，求NCE。的度数.

【答案】(1)证明见解析；

(2)4CEO=40°

【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全

等三角形的判定与性质.

(1)利用“角角边”可证明AABF受ACDE,再由全等三角形的性质即可得证；

(2)由全等三角形的性质得到ZT=乙4=95。，再结合三角形内角和定理即可得解.

【详解】(I)证明：•••OE=。凡

•••Z.AFB=Z.CED,

vBE=DF,

:.BE+EF=DF+EF,

即B尸=DE,

•••在AABF和△CDE中，

=LC

乙AFB=乙CED,

BF=DE

.,.△/IFF三△COE(AAS),

•••AB=CD；

(2)解：ABF三ZkCOE,

:.Z.C=Z-A=95。，

•••△CED中，NC+NCED+4D=180°,

・•・"ED=1800-Z.C-LD=180°-95°-45°=40°.

21.如图，在△力BC中，力E为边BC上的高，点。为边8c上的一点，连接AD.

A

⑴当为N84C的角平分线时，若〃=66。，48=36。，求"AE的度数.

(2)当AD为边BC上的中线时，若4B=10,△ADC的周长比AA8D的周长少2,求AC的长度.

【答案】⑴15。

(2)8

【分析】(1)首先利用三角形的内角和求出N84C，进而求出乙BAD,然后根据两锐角互余求出乙8AE,

最后利用角的和差关系即可求解；

(2)首先结合已知条件和中线的性质确定AB,AC的数量关系，继而可以求解•.

【详解】(1)解：VzC=66°,乙8=36。，

：,Z.BAC=180°-Z,C-Z-B=180°-66°-36°=78°.

又・・・AD为NBHC的角平分线，

，乙BAD=-£BAC=-x78°=39°.

22

•・NE为边BC上的高，

：,2LBAE=90°一乙B=90°-36°=54°,

：.^.DAE=4BAE-乙BAD=54°-39°=15°.

(2)解：・・・A0为边BC上的中线,

：.BD=CD.

又•••△AOC的周K比△46。的周K少2,AB=10,

A(AD+8D+AB)-(AD+DC+AC)=2,

：.AB-AC=2,

：.AC=AB-2=10-2=8.

22.综合与探究

【感知】如图1,在△48。中，8P,CP分别是乙4BC和乙4c8的角平分线.

【应用】

图1图2

(1)若/48。=50°,LACB=70°,则匕BPC=_；若乙BAC=70°,则々8PC=_:

(2)求MPC与〃之间的关系并证明；

【拓展】

(3)如图2,在四边形ABCD中，8P,CP分另IJ是n力BC和4BCD的角平分线，求N8PC与乙力+乙。的数量关

系.

【答案】(1)120。，125°

(2)^BPC=90°+1z/l；理白见解析

(3)4A+4。=2Z.BPC

【分析】(I)根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；

(2)根据角平分线，三角形内角和定理进行求解：

(3)结合(2)的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解.

【详解】(1)解：若乙4BC=50。，乙4cB=70。，

由条件可知/PBC=^ABC=25。，乙PCB=^ACB=35°,

・•.乙BPC=180°-乙PBC-乙PCB=120°：

若乙BAC=70°,

•：BP、CP分别是N48C和4AC8的平分线，

：./.PBC=-Z.ABC,Z.PCB=-Z-ACB，

22

：.LBPC=180°-Z-PBC-乙PCB=180°-1(180°-Z.BAC)=90°+1Z.BAC,

'：Z-BAC=70°,

：,Z.BPC=90°+-Z-BAC=90°+-x70°=125°；

22

(2)解：^BPC=90°+1Z^；理由如下：

•:BP、CP分另ij是乙4BC和4ACB的平分线，

：.Z-PBC=-Z-ABC,L.PCB=-Z-ACB,

22

：,LBPC=180°-乙PBC-乙PCB

=180°-(zPFC+Z.PCB)

=180°-1(zzlfiC+z/lCF)

=180°-1(180°-ZJ4)

=90°+-^；

2

(3)解：乙力+=2/.BPC.

如图，延长B4,CD,交于点E,由(2)知，/,BPC=90°-F,

由条件可知+Z-CDA=^.E+Z.E+/-ADE+Z.DAE=180°+zE.

•••△E=乙BAD+Z.CDA-180°,

，乙BPC=900+]4E

2

=90°+1{Z,BAD+^CDA-180°)

=90。+g(Z.BAD+Z-CDA)-90°

="Z84D+"DA),

U^BAD+^CDA=2/-BPC.

23.如图，在△力BC中，/力=90°,48=4C,点D是48边上一动点，连接CD,^DCE=90°.CD=CE,

EF1AC于点F.

图1图2

(D如图1,求证：△AC。三△尸EC；

(2)如图2,连接BE交AC于点G,若AB=12,AD=4,求AG的长；

(3)在(2)的条件F,8E与CO交于点M,设△CBM的面积为Si，四边形4GM0的面积为S2,求Si-S2的

值.

【答案】(1)见解析

(2)AG=4

⑶Si-52=24

【分析1(1)因为NA=LEFC=90。，Z.ACD+乙ECF=90。，zE+乙ECF=90°,所以可推出iACC=

zF；又因为CD=CE,所以可利用AAS定理证明△ACO三ZkFEC.

(2)先由(1)的全等结论得到力。=CF,AC=EF,结合为B=AC的条件，可得EF=A8；因为/EFG=

=90°,Z.AGB="GE,所以可证明△ABGaFEG,得到4G=FG；再根据4B=AC=12,AD=4,

算出尸C的长度,进而得到的长度,最后求出AG的长.

(3)利用S1—S&BCD~S^BED~-AC—SABMD=48-S&BMD,S2—S&ABG~S^BMD~,力G—

面积关系，可计算的最终差，直•

ShBMD=24-SABMD,a-S2

【详解】(1)证明：,:4/1=90。，EFLAC,

：,Z,A=Z.CFE=90°,

•・•Z.DCE=90°,

・•・4AC。+4ECF=90°,LE+LECF=90°,

/.LACD=",

在△中,

/,A=Z.CFE

Z.ACD=Z-E>

CD=CE

/.△ACD=△FEC(AAS).

(2)解：由全等得：AD=CF,AC=EF,

AB=AC=12,AD=4,

・•・EF=AB=12,CF=4,

AF=AC-CF=12-4=8t

•・•Z.A=Z.EFG=90°,乙AGB=LFGE,

・•・&ABG三〉FEG(AAS),

得AG=FG,

AG+FG=AF=8,

：.AG=4

(3)解：AB=AC=12,40=4,AG=4,

BD=AB-AD=12-4=8,

•・•4A=90°,

S]=SgcD-S^BMD=-AC-S^BMD=48-SABMD-S2=S^ABG—S^BMD=^AB-AG—

SABMD=24-S^BMD，

,•S\-S?=(48—S&BMD)-(24—S^BMD)=24,

24.如图，点P是△ABC两内角平分线的交点，N是△4BC两外角平分线的交点，延长BP,NC交于点M.

(1)①若乙4=100°,则乙BPC=;

②乙4,NM的数量关系是二

⑵请探索证明N8PC与乙N之间的数量关系；

(3)在aBM/V中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求乙4的度数.

【答案】⑴①140。；②乙4=2ZM

(2KBPC+乙N=180°

(3)60。或1200或45°或135°.

【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，关于角平分线的计算等知识；灵

活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键.

(1)根据4力二100。，得出乙4BC+乙4cB=180。-100。=80。，根据角平分线定义得出NC8P二

LBCP="ACB,求出4cBp+=根据三角形内角和定理求出结果即可；②

求出4MCO=4”Z.MCD=-Z.A+-/LABC,即可得到答案；

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(2)根据角平分线定义得出NC3P