2027年高考数学一轮复习（压轴题）-隐零点问题（原卷版+解析版）

隐零点问题的4大核心题型

隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接解出.在函数、不等式与导数的综合题目中经常会遇

到.涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性

质巧妙求解.

A题型01利用隐零点解决最值

技法指导

利用隐零点解决最值的基本步骤：

第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程/(%)=0,并结合/(X)的单

调性得到零点的范围；

第2步：以零点为分界点，说明导函数/(X)的正负，进而得到了(x)的最值表达式；

第3步：将零点方程/(%)=0适当变形，整体代入/(x)最值式子进行化简：

(1)要么消除/(x)最值式中的指对项

(2)要么消除其中的参数项；从而得到/(x)最值式的估计.

1.12026•湖南益阳一模)已知函数/(x)=e2x-e-2x-衣，若Vx“，/(x)20,则实数。的取值范围是()

A.(f,2]B.(-8,4]C.(』2e]D.[-4,4]

2.(2026•山东泰安期末)设函数/&)=(r+lflnG+lAx若当x20时/")2nix2恒成立，则实数〃?的

取值范围是()

'3)3

A.-,+«>C.—,+00

2)4

A题型02不含参函数的隐零点问题

技法指导

已知不含参函数次外，导函数方程/(x)=0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理判断零点存在，设

方程/(x)=0的根为助，则①有关系式/(xo)=O成立，②注意确定xo的范围.

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

3.(2025•江苏镇江二模节选)已知函数/(x)=xlnx-wx(其中加eR),当时，不等式/(x)+2x+机20

恒成立，求整数〃?的最大值.

4.[2025•辽宁鞍山模拟)已知函数/(x)=lnx-or+l,g(x)=x(e'-x).

(1)若直线1=2x与函数/(x)的图象相切，求实数。的值；

(2)当〃=-1时,求证:/(x)<g(x)+x2.

A题型03含参函数的隐零点问题

技法指导

巴知含参函数/(r,〃)，其中〃为参数，导函数方程/(r,〃)=0的根存在，却无法求出，设方程/

[X)=0的根为xo,则(I)关系式/'Go)=0成立，该关系式给出了Ko,。的关系；(2)注意确定xo

的合适范围，往往和。的范围有关.

5.已知函数/(X)=^【一lnx+x当时，证明：/(x)>x+2.

6.已知函数/(幻=2小飞晨一批.(。是自然对数的底数)

(1)若。=0,求/G)的单调区间；

⑵若0v〃<6,试讨论“X)在(0.不)上的零点个数.(参考数据：en4.8)

A题型04含参函数的隐零点问题

技法指导

除零点的同构

实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们

耒到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换

化简方向.我们看下面两例：一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析

xexfxInx

=«x+ex=>f(lnx)=x+lnx

ex-x-11x-lnx-1

f[x)=xex=f(-lnx)=-^^=x为'+Inx=0

AT

所以在解决形如e'=-<^>x+lnx=O,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

x

7.(2025・江西萍乡模拟)己知函数/(x)=x+alnx,g(x)=e-x-lnx-2x.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若g(x0)=0,求Xo+1n/的值；

⑶证明：x-xlnx<cr+x2.

8.已知函数/(x)=-2xlnx,g(x)=1^+x.

(1)求)(x)的极值;

(2)证明：当x>l时，f(x)+g(x)>0.(参考数据：ln2=0.69)

1.若函数/(x)=e'-ln(x+m)的最小值为2+ln2,则加=()

A.—2B.—ln2C.—D.—Fln2

222

2.(2026・湖北武汉•期中)已知函数/(x)=Hnx-2x(a>0),若不等式工七办23/(x)+l对x>0恒成立，则

实数a的取值范围为.

3.(2025•黑龙江牡丹江•三模)已知函数/(x)=2sinx—xcosx-x,/'(x)为/(工)的导数.

⑴求/⑼；

(2)证明：/'(X)在区间(0,乃)上存在唯一零点.

4.已知函数/(x)=e'-ln(x+zw),当加・2时,求证/(x)>0.

5.(2025•江西萍乡•三模)已知函数/(x)=e"-Inx+a.

⑴讨论函数/(X)的极值点个数：

⑵若恒成立，求实数4的取值范围.

6(2025•广东珠海二模)已知函数…lnx+a.

⑴若a=e,判断函数/(力的单调性,并求出函数/(x)的最值.

(2)若函数/(X)有两个零点，求实数〃的取值范围.

7.(2025•山东聊城••模)己知函数/(x)=xc、-1,g(x)=lnv-〃优，^(A)-er--

X

⑴求/(X)的单调递增区间：

(2)求奴力的最小值;

(3)设Mx)=/(x)-g(x),讨论函数M")的零点个数.

8.(2026•浙江•开学考试)已知函数/(x)=xe\g(x)=hu.

⑴求/(x)在点(l,e)处的切线方程；

(2)当。>0,对任意的xw(0,+8),g(x)WaxJ；恒成立，求实数。的取值范围；

(3)证明：/(x)>c'+g(x)-p

9.已知函数/(x)=(x+a-l)e'-x,aeR.

(1)若a=l,求曲线y=/(M在点色,/(0))处的切线方程；

(2)若/(x)»0恒成立，求实数。的取值范围；

(3)若0<a<l,x>0,证明：/(x-o)+x-a>liu+a-l.

1().已知函数/(x)=Inx-xe'C+x-lnZ.

⑴求曲线歹=/W在点(2,/(2))处的切线方程：

(2)求/'(X)的零点个数；

(3)探究/(x)是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由.

隐零点问题的4大核心题型

陷零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接解出.在函数、不等式与导数的综合题目中经常会遇

到.涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性

质巧妙求解.

A题型01利用隐零点解决最值

技法指导

利用隐零点解决最值的基本步骤：

第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出定点方程/(Xo)=o,并结合/(x)的单

调性得到零点的范,围；

第2步：以零点为分界点，说明导函数/3)的正负，进而得到/(x)的最值表达式；

第3步：将零点方程/(%)=()适当变形，整体代入/(x)最值式子进行化简：

(1)要么消除/(x)最值式中的指对项

(2)要么消除其中的参数项；从而得到/(工)最值式的估计.

1.12026•湖南益阳一模)已知函数/(x)=e2T_c-2x_aj若立对，/(x)>0,则实数。的取值范围是()

A.(-oo,2]B.(一3闾C.(e,2e]D.[-4,4]

【答案】B

【解析】由已知/(x)=e2x-e-2x_",则/'(x)=2e2*+2ez—%

2v2jff2x2x

令g(x)=2e+2e-a,则g(x)=4e-4et

当xNO时,g'(x)NO,即/'(x)在[0,+8)上单调递增，

所以，(比产/'(°)=4一%

当aM4时,r(x)>0,/(x)在[0,+B)上单调递增,

所以/(A-/⑼=。，即/(小0，

当a>4时，/'"L=/'(0)=4-"0,当xf-时，/'(与)->+8

所以存在X。使得/'(.%)=0,

当％e(O,x。)时，r(xo)<O,/5)单调递增，

/

当工€(工,+8)时，/(xo)>0,/(k)单调递减，

所以/(/)</(。)=。，不合题意，

所以则实数〃的取值范围是(-8,4].

故选：B.

2.(2026•山东泰安期末)设函数/&)=&+l)2ln1>x,若当xN0时/(x)之〃。二恒成立，则实数〃，的

取值范围是()

31(3-D.f-oo,1

A.-,+<»B.-8,二C.

L2)2]

【答案】B

【解析】设g(x)=(x+l)~ln(x+l)-xZO,

所以义'(》)=2(彳+1)111(工+1)+彳一2九丫，

令力(x)=2(x+l)ln(x+l)+x-2加r,x>0,

所以力'(x)=21n(x+l)+3—2m,

当3-2m之0,即〃区|时，对任意xNO,〃(x”0恒成立，

所以〃(x)在[0,+8)上单调递增，所以力(叼2力(0)=0,即g1x"O,

所以g(x)在[0，+8)上单调递增，所以g(x"g(O)=O,符合题意;

当3-26<0,即机>5时，存在%使得〃'(小)=0，

当工«0,4)时,/f(xo)<0,所以"x)在(0,%)上单调递减，

所以当x«O/o)时，//(x)<A(O)=O,

所以g'(x)<0,所以g(x)在(0，%)上单调递减，

所以当x«O/o)时，g(x)<g(O)=O,与题意矛盾，舍去，

所以实数小的取值范围是,故选B.

A题型02不含参函数的隐零点问题

技法指导

已知不含参函数次外，导函数方程/(x)=0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理判断零点存在，设

方程/(x)=0的根为xo,则①有关系式/(xo)=O成立，②注意确定xo的范围.

3.(2025•江苏镇江二模节选)己知函数/(x)=xlnr-mx(其中〃wR),当工之1时，不等式/(x)+2x+m20

恒成立，求整数〃?的最大值.

【解】/(x)+2x+=xlnx-mx+m+2x>0“J化为ZM(X-1)<xlnx+2x,

因为x21,则有：

当工=1时，则0W2,符合题意，〃?eR：

当工>1时，则x-l>0,可得〃？<I，二十)I恒成立,

x-1

令名㈤=*11%?。XG(1,+OO),可知：m<g(x)m.n,

x—1

(lnx+3)(x-l)-(A：ln.r+2^)_r-Inx-3

可得g，8)=

(if

h(x)=x-\nx-3,xG(1,+OO),

则力，(#=1-^=、1>0在(1,+8)上恒成立，

可知：Mx)在(1,+8)上单调递增，且力(4)=1—ln4<0,//(5)=2-ln5=lny>0,

则力e(4,5),使得〃("=-3=0,即lnf=f-3,

当1cxef时,力(*)<0,即g'(x)v0,g(x)单调递减;

当时，A(x)>0,即g")>0,g(x)单调递增;

所以g(xL=g(，)=鬻=9平=，，

所以只需“?<，，因为fw(4,5),即整数〃，的最大值为4；

综上所述：整数〃?的最大值为4.

4.12025•辽宁鞍山模拟)已知函数/'(x)=lnx-o¥+l,g(x)=x(c、T).

(1)若直线J=2x与函数/(x)的图象相切，求实数。的值；

(2)当〃=-1时,求证：/(x)<g(x)+x2.

【解】(1)设切点为(%,/(%))，由/明・・・/'(%)=’~

X.%

，切线方程为：^-(lnx0-6/x0+l)=f--6r](r-x0).[![]J^=---ax+ln%.

•・•直线J，=2x与函数/(x)的图象相切，--a=2,lnx=O.

“oo

解得/=1，a=-\.

(2)证明：当。=-1时,/(x)=lnx+x+l,

令尸(x)=x?+g(x)-=，一Inx-工一1,

F'|x)=(x+l)ev---1

•VX

令G(x)=xe'-1,x>0,MG'(x)=(x+l)ev>0,

・••函数G(x)在xe(0,+co)上单调递增.

VG(O)=-l,G(l)=e-l>0.

・♦・函数G(x)在区间(0,1)上存在•个零点，即函数G(x)在区间(0,+s)上存在唯一零点为€(0,1).

・••当xe(O,Xo)时，G(x)<0,即F(x)<0,此时函数产(x)单调递减；

当工«.%,+8)时，G(x)>0,即尸(x)>0,此时函数户(x)单调递增.

***F(X)min=F(Xo)=XO^-lnjVO-V0-1»由G(X0)=0可得：=1.

两边取对数可得：ln/+x°=0.

故户(%)=1-(111%+/)-1=0,

Ax2+g(x)-/(x)>0,即f(x)4g(x)+3

A题型03含参函数的隐零点问题

技法指导

已知含参函数/(x,其中°为参数，导函数方程/(x,a)=()的根存在，却无法求出，设方程/:

G)=0的根为xo,则(1)关系式/(祀)=0成立，该关系式给出了配，。的关系；(2)注意确定祀:

的合适范围，往往和。的范围有关.i

，…一...—.........—............................................—.........—........

5.已知函数/(x)=/。一lnx+x当aWO时，证明：f(x)>x+2.

【证明】当a&0时，

令F(x)=/(x)-x~2=^~a-\nx-2,x>0,

显然函数9(x)在(0,+=)上单调递增,

令g(x)=U,x>0,

g1(x)=(x+1)er“>0,

即函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

而g(。)=-KO,g(1)=e「J12e-1>0,

则存在唯一xoW(0,1),使得g(xo)=0,即6出-。=2，

”0

因此存在唯一必£(0,1),使得9(刈)=0,

当OVxVxo时，产'(x)<0,当心>xo时，F(x)>0,

因此函数尸(X)在(0,X0)上单调递减，在(xo，+8)上单调递增，

当6莺)一&=2_时，X0—“=-]nxo，

沏

Xfa

则F(x)2尸(xo)=e>~-lnx)-2=-+x()-a-2>2l--xo-a-2=-a^O,当且仅当工=刈，即、。=1

X07XQX0

时，取等号，故式子取不到等号.

所以当QWO时，/(x)>x+2.

6.已知函数/(x)=2e、sinx.(e是自然对数的底数)

(1)若。=0,求/*)的单调区间；

(2)若0<”6,试讨论八幻在(0,幻上的零点个数.(参考数据：eIs48)

【解】(1)解：«=0,则/(x)=2e、sinx,定义域为R,/'(x)=2e、(sinx+cosx)=2缶'sin(/+?),

/\

由「(外>0，解得sinX+->0,可得2hrvx+C〈2%;r+4k€Z),

I4)4

解得2人乃一工<工<24乃+也伏wZ),

44

/\

由/'(x)<0,解得sinx+—<0,可得24乃+乃<x+石<2〃乃+2乃(£eZ),

<4；4

解得2k冗+—<x<+2k7r(keZ),

44

・•・/(x)的单调递增区间为1-£+狭肛手+2A「|(〃€Z),单调递减区间为(手+2%肛?+2AJ|(火€Z)；

k44JI44)

(2)解：由已知/(x)=2e'sinx-ax,

f(x)=2eA(sinx+cosx)-a,令〃(x)=f'(x),则〃(x)=4excosx.

,・,.当xeO,y^Rj-,h\x)>0；当xw条乃)时，h,ix)<0,

二力⑶在(0,不上单调递增，在不,乃上单调递减，

即小)在(。身上单调递增，在3乃)上单调递减.

①当2-闲)时，即0<。・2时，y(o)n),

■4•e*乃,使得/'(4)=0,

I」z

・・.当xe(O,/)时，/'(x)>0；当工«瓦,乃)时，f'(x)<0,

.•./(X)在(0,x°)上单调递增，(//)上单调递减.

v/(0)=0,,\/(x0)>0,又/⑺=一。乃<0,

・•・由函数零点存在性定理可得，此时/(x)在(0,幻上仅有一个零点；

②若2<〃<6时，f\0)=2-a<0,

又・.・/(x)在(0,5]上单调递增,在仁,兀)上单调递减，而/'修]=23-0>0,

，玉|£(吟，占£仁，乃，使得/(xj=o，/'(w)=。，且当X€(o,xj、xe(z，万)时，/'(x)<0；当

X£(X],X2)时，f'(x)>0.

/(x)在(0,*)和(X2,乃)上单调递减，在(*,工2)上单调递增.

v/(0)=0,.\/(^)<0,

,//(])=2e^~~^a>2e，-3万>0,>0,

又丁/(^)=-an<0,

・••由零点存在性定理可得，/(x)在(玉衣2)和(占，乃)内各有一个零点，即此时/(x)在(0,幻上有两个零点.

综上所述,当0<。・2时，/(x)在(0,万)上仅有一个零点;当2«<6时,"X)在(0,乃)上有两个零点.

A题型04含参函数的隐零点问题

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

|技法指导|

隐零点的同构

实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们i

I

看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换:

化简方向.我们看下面两例：一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析:

xexIxInx

/(x)=«x+ex=>f(lnx)=-jx+lnx

ex-x-}[x-Inx-1

y'(x)=xex=>/(-lnx)=--5^=>x2er+lnx=0

x

I

I

!所以在解决形如eA=-<^>x+lnx=0,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

x

7.12025•江西萍乡模拟)已知函数/(x)=x+alnx,g(x)=e~x-\nx-2x.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)若g(x0)=0,求x()+lnXo的值；

(3)证明:x-x\nx<ex+x2.

【思维探究】

看到什么想到什么

f(x)=x+aInx求导后，对G分类讨论，研究函数的单调

g(x0)=。虚设零点，结合单调性求解

x-xlnx<er+x2移项构造函数，

x0+Inx0=0利用隐零点，用代数法证明不等式

【解】(1)由/(x)=x+〃lnx得广(幻=色+1=三区且xe(0,”),

XX

若。NO,则/'(x)>o恒成立，即/⑴在(0,*o)上单调递增;

若"0,令/'(x)>0,则x>-。：令/'(x)<0,则0cx<-4,

所以函数/(')在(0,-。)单调递减，在(-。，8)单调递增：

综上，420,/⑶在(0,内)上单调递增；当4<0时，函数/")在(0,-。)单调递减，在(-”,8)单调递增.

(2)由g(%)=0,所以e-*-In%-2%=0,即e』一/=ln+3,

令，=e/，则一x()=lnf,所以ln，+，=lnxo+/,

由(1)可知,当。=1时，/(x)=x+lnx在(0,例)单调递增,

所以，=e"=%,所以/+InX。=X。+In日"=x0-x0=0；

(3)第一步：构造函数求导，判断导函数的单调性

记A(x)=x—xInx—e'—f,则/?(1)=g(x)=c-r-\nx-2x,

因为g'(x)=-er-L-2<0,所以g(x)在(0,y)单调递减，

X

第二步：借助导函数“隐零点”，判断函数的单调性

由(2)可知g(/)=0,则与+111%=0.

所以若x«O,X0),〃(x)=g(x)〉0；若XW(M，+CO),/f(x)=g(x)<0,

所以可知函数A(x)在(0,%)单调递增，在(凝,+oo)单调递减，

所以/?(》)〈〃(%),

第三步：用代数法证明不等式

-10

又〃(%)=/_/卜/_。-&_/2,lnx0=-x0,e=x0,

所以=-叶=0，所以x-xlnxVe-x+/.

8.已知函数/(x)=-2xlnx,g(x)=；f+x.

⑴求/(x)的极值；

(2)证明:当工>1时，/(x)+g(x)>0.(参考数据：In2ao.69)

【解】⑴函数/'(x)=—2xlnx的定义域为(0,+8),又广(x)=-2(l+hu),

当0<x<，时，/"(x)>0,当时，r(x)<0,

ee

所以函数/(X)在(0,1£)上单调递增，在ga)

上单调递减,

所以/(X)在X=讶处取得极大值/(j=|，

7

所以/(X)的极大值为W，无极小值；

e

(2)设产(x)=f(x)+g(x)=gx'?+x-2Vlm(v>1),

解法一：则k(x)=x-2hu-l,

7r一，

令力(x)=x—21nr-1(x>1),/?)=1——=:——-

当1c<2时，/?'(、)<0,力(%)单调递减，当x>2时，/(x)>0/(x)单调递增,

又〃(2)=1，4<0,〃⑴=0,〃(4)=3-21n4>0,

所以存在/w(2,4),使得〃(.％)=0,即x°-2h%-l=0.

当1<X<X0时,A(x)<0,即尸")<0,尸(x)单调递减,

当时，A(x)>0,即尸'(x)>0,F(x)单调递增，

所以当x〉l时，尸(%)在工=芍处取得极小值,即为最小值,

故尸(工)之尸(%)=；4+M0-2卜动=-£+2%,

设"(%)=一$：+2%,因为小e(2,4),

由二次函数的性质得函数夕(.%)=-；需+%在(2,4)上单调递减,

故P(Xo)>P(4)=0,

所以当%>1时,F(x)>0,BP/(x)+g(x)>0.

解法二：要证尸(">0,即证加3=gx+l_21nx〉0(x〉l),

因为“(x)=；-2=q士(x>1),所以当x«l,4)时，M(x)<0刈(x)单调递减,

乙XZX

当xe(4,+8)时，wz(x)>O,w(x)单调递增,

所以/〃(工)2加(4)=2+1-21114=3-41112>0,所以F(x)>0,即/(x)+g(x)>0.

1.若函数/(x)=e'-ln(x+〃?)的最小值为2+ln2,则加=()

A.-2B.，n2C.--D.1+】n2

222

【答案】B

【解析】易知/(x)的定义域为(-外+8)/(力=炉-士，

不难发现/”(x)在区间(-耽心)内单调递增，

又当Xf一小时，/'(工)->一00：当时，f(x)->+co,

所以存在唯一/«-W,+8)使得/'(%)=。，即/=-ln(x0+m),

所以当时,/,(x)<0；当xe(F，+<»)时,/'(x)>0.

所以/(“在区间(T〃,X0)上单调递减，在区间(内，+8)内单调递增，

tln2

所以/(X)的最小值为〃Xo)=e3-ln(x0+/n)=e°+x0=2+In2=e+ln2,

所以x°=ln2,所以即2="_,解得加=(—ln2.

In2+in2

故选：B

2.(2026•湖北武汉•期中)已知函数/(x)=Hnx-2x(a>0),若不等式x"e323/(x)+l对x>0恒成立，则

实数a的取值范围为.

【答案】(0,2e]

【解析】不等式》七・以之3/(%)+1对x>0恒成立,

等价于/nix>3/(x)+1,所以1⑶一3/。)一120,

设ga)=d—3z—l,其中/=/(x),则g«)=d-3,令g«)=。得Z=ln3,

所以当/<In3时，ga)<0,g(f)单调递减，当/>ln3时，g'«)>0,g«)单调递增，

所以gW*=g(1n3)=2-31n3<0,又g(0)=0,g(2)=e?-7>0,

所以存在"(ln3,2)使得g6)=0,

所以若g⑺NO,则Y0或d％,即/(x)«0或

f\x)=--2=-——,x>0,

XX

所以在(0段)上，/(x)>0J(x)单调递增，

\

在*+8上，/(X)<O,/(X)单调递减，

所以/(x)a=/(?)=aln.-a,所以只有alng—aW0才能满足要求，

即-又。>0,解得0<aK2c,

所以实数。的取值范围为(0,2e].

3.(2025•黑龙江牡丹江•三模)已知函数/(x)=2sinx-xcosxr,/'(X)为/(x)的导数.

⑴求/(。)：

(2)证明：/'(》)在区间(0,0上存在唯一零点.

【解】(1)因为/(x)=2sinx-xcosx-x,所以/(0)=2sin0—OxcosO-0=0.

(2)函数/'(.、)一2sinx—xcosx—冗的导函数为/'(、)一cosx+xsinx—l.

而/'(x)的导函数为/"(x)=xcosx.

/'(x)J"(x)随x的变化而变化的情况如下表：

/X

7171

X0

陷2

门X)+-

0单增巳-1单减-2

2

由于/'0片】>°/⑺=一2<°、根据函数零点存在定理,孤｛卜)，使/'(/)=。.

结合单调性可知/'(X)在区间上没有零点,在区间1g,小上有唯一零点.

因此，/”)在区间(0,4)上存在唯一零点

4.已知函数/'(x)=e、-ln(x+〃?)，当m・2时,求证/(x)>0.

【解】当〃?工2时，xe(-w,+oo)|jf,ln(x+w)<ln(x+2),

则有/(x)=eA-ln(x+w)>el-ln(x+2),

故只需证明当"7=2时，J(x)>0,

当卅=2时，/'(x)=e、一一二在区间(-2,”)上单调递增，

xr(-i)<o,r(o)>o,

故((x)=0在区间(-2,+8)上有唯一实根与,且/w(-l。),

当工时,r(x)<0；当K«Xo，*o)时，f'(x)>0,

从而当X=X0时，/(X)取得最小值，

由/'(%)=()，^.e'"=—,ln|x+2)=-x,

X。十z00

故f(%)n/(小)=—^+4=('：>。，

X。+zx0+Z

综上,当阳42时，/(x)>0.

5.12025•江西萍乡・三模)已知函数/(x)=c"-lnx+a.

(1)讨论函数/(x)的极值点个数；

(2)若/。)之(1-。)(工-1)+1恒成立,求实数4的取值范围.

【解】(1)由/a)=e"-lnx+。，可知定义域为(0,+8),则

当〃W0时，/'(x)<0恒成立，所以f(x)在(0,+」)上是减函数,则/(')无极值点.

当”>0时，g(x)=/,(x)=aeflX--,则/(力=/*+4>0,

X»v

所以/'(X)在(0,+8)上单调递增.

当ox=l,即工=,时，f—l=a(e-l)>0,

aya)

当GX=；,即x时，=tf(Ve-2j<0,

所以存在唯一的实数X。J；」］,使得/'(%)=0.

当工«0,%)时，r(x)<0,/(x)单调递减：

当工€(工,+00)时，/'(x)>0,/(x)单调递增.

所以x=/是函数/(x)的极小值点，无极大值点.

综上所述，当时，/(x)的极值点个数为0；当。>0时，/(力的极值点个数为1.

(2)由/(x)N(l-a)(x-l)+l得eJnxN(l-a)x,tteat+ax>Ar+lnx=eh*+lnx.①

设函数g(/)=e'+/,由g'(f)=e'+l>0,可知g(f)在R上单调递增.

由于①式可化为g(")Ng(lnx)，即有ax>Inx,

所以。之2对Txw(0,+动恒成刀

X

设函数万")=火，则/(可=上等令"(x)=0,^x=e.

XA

当xw(O,e)时,〃")>0,A(x)单调递增;

当xe(e,+<»)时,//(x)<0,万卜)单调递减.

所以当x=e时，“X)取得极大值也是最大值，

即力(X)最大值为/?(e)=L故

ee

6.(2025•广东珠海二模)已知函数/(x)=x(/-ax-alnx+a.

⑴若。=c,判断函数/(x)的单调性，并求出函数/(X)的最值.

(2)若函数/(X)有两个零点，求实数。的取值范围.

【解】⑴易知函数的定义域为(0,+司，

当a=e时，/(x)=xe、-ex-elnx+e,

所以+1+1)[,一：)，

当\e(0,1)时・，/(x)vO；当xe(l,+8),/'(x)>。；

所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增：

由此可得，/(x)的最小值为/6=e-c-clnl+e=c,无最大值.

(2)因为/(x)=xe；at-alnr+a,所以因'(x)=(x+l)e'-a-，=(r+1)所一区

当心0时，/'(大)>0在(0,+功上恒成立，所以/(X)在(0,+力)上单调递增,

故可得函数/(力至多只有一个零点，不符合题意;

当。>0时，令/-区=0,设该方程的解为与,

x

则在(0,%)上，/'(力<0：在(X。,+«»)上,/[x)>0,

所以〃力在(0,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增；

为了满足“X)有两个零点，则有〃/)=货"-a¥o-alnXo+q<O①

因为与是方程/一0=0的解，所以x°e"=a,两边取对数可得hUo+/=lna②，

x

将②式代入①式可得/(Xo)="2-lna)<O,所以〃的取值范围为a4e?,+8).

且当aw,,+句时，由②式得%>l,〃l)=e-a+a=e>0,所以/(x)在(0,%)上仅有1个零点；当xr+oc

时，/(x)->+8,故可得/(X)在(%,+8)上仅有1个零点；

综上，若函数/(》)存在两个零点，则实数。的取值范围是卜?,+8).

7.(2025•山东聊城•一模)已知函数/(x)=xe'-l,g(x)=lnx-mx,(p(x)=ex.

XX

(1)求/(X)的单调递增区间;

(2)求伊(幻的最小值;

(3)设〃(x)=/(x)-g(x),讨论函数〃(x)的零点个数.

【解题指导】(1)函数求导f令/'(x"0f求单增区间

(2)求导一构造函数〃(x)=x2e:+lnx(x>O)f再次求导一分析新函数的单调性f虚设零点一

Xo€化,l],使呼铲+lnxo=0-「e"=In一>构造函数矶x)=xe'(x>0),一由函数单调性求最小

le).%

值.

(3)函数力(工)的零点个数->为夕(力=-小的实数根的个数一>8(x)的单调性讨论可得.

【解】⑴/'(x)=(x+l)e'，令/。)20,可得xN—1,

故/。)的单调递增区间为[T+8)；

(2)第一步：分析题干，转化问题，找零点.

.1-lnx1fe，+lnxz冷

^(x)=ev___+_=_—(工>0,

令"(x)=x2ex+Inx(x>0),

则/3=(/+2力"+1，

由%>0,故=+2x)e'+■!■>()恒成立，

故〃(x)在(0,+<»)上单调递增,

又/I'Ze'lnJnJeLjMvO,A(l)=e+lnl=e>0,

\eJe'ec'c~

第二步：设零点，得出零点满足的关系式.

故存在/eg,1),使〃(与)=0,即x；e"+lnXo=O,

即夕(x)在(0%)上单调递减，在(％,+。)上单调递增，

故p(x)之处(/),

第三步：根据零点所满足的等量关系，“设而不求％转化为不含参数的函数的最值问题

由,e?+ln/=0,则x0e%=_g=ln-!-.e女，

与与

【会代换】整体代换要向着解决问题的方向去靠，如本题两边同除彳，形式上接近/(4)，便易于求解了

(1、

令矶x)=/(x)+l=xe'(x>0),则有3(.")=<yIn—,

\xo)

0'(x)=/'(x)=(x+l)e',当x>0时，。'(")>0恒成立，

故”》)在(0,+8)上单调递增，

故工o=ln」",uplnx0=-x0,

XO

贝i」9(xo)=e。一她--!-=』5n_1=J_+1-1=],

/%//%/

即9(x)的最小值为1；

(3)令。(x)=/(x)-g(x)=xe*-1-lnx+mx=0(x>0),

即有一〃?=ev----=^>(x),

XX

即函数“X)的零点个数为p(x)=-m的实数根的个数，

【技巧】含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用工表

示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围.

由(2)知,*(*)在(0,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增,且奴%)=1,

又当X->0时,8(X)f+8,当XT+OO时，8(X)f+8,

故当一机=1,即m=-1时，°(x)=Tw有唯一实数根,

当-切>1,即〃?<-1时，e(x)=-m有两实数根,

当-加<1,即〃7>-1时，夕(X)=T〃无实数根，

即当5=-1时，函数〃(x)有一个零点，

当加<T时，函数有两个零点，

当配>-i时，函数〃(上)无零点.

8.(2026•浙江•开学考试)已知函数/(%)=*,g(x)=lnr.

⑴求/(X)在点(l,c)处的切线方程；

(2)当。>0,对任意的彳€(0,+8)由卜)〈4/-3恒成立，求实数。的取值范围；

⑶征明：/(x)>ev+g(x)--.

【解】(1)/'(x)=(x+l)el令/'(l)=2e,所以切线方程为y=2ex-e.

(2)因为-;(1>0>恒成立，即hu-ax，+gv0(x>0)恒成立,

令=Inx-a-+LH'(x]=--2ax=--，令〃'(力=。，解得》=

2xx

当，时‘〃'(x)>°，"(x)单调递增;

当xe+8时，，'(x)<O,H(x)单调递减;

故H(x)的最大值为〃(x)2

因为〃(x)£0恒成立,所以电卜ng"

所以。之；，即实数。的取值范围为1,+00

(3)法一：由(2)得当时，g(x)Wax2-g(x>0)恒成立,

即InxK一g(x>()),令户(x)=/(x)-cv-lav+^-,

所以尸(x)=(x_l)e*_lnY+(Y-1)ex-2+1,

22

令G(x)=(x—l)eX—g/+l,则G'(x)=xeX_x=x(eX_l)>0,

故G(x)在(0,+。。)上单调递增,所以G(x)>G(O)=O,即尸(另26(切>0成立，得证.

法二:令/(.丫)=f(JV)-ev-Inv+—=(r-1)ev-Inr+—,

22

先LElnxWx-1,即证lnx-x+1WO,

ii_V

令人(x)=lnx-x+L/?'(x)=——I=-=0,

XX

当代(0,1),〃'(.丫)>0,力(切单调递增；当xe(l,”)卅(x)<0，M”单调递减,

所以人(到皿=4⑴=°，所以即lnxT+140得证,

因为hu«x7,所以尸(x)=(x_l)ex_hu+；之(x_l)e、_x+I=G(x),

令G(x)=(x-l)e*-x+^(x>0),

则G'(x)=xe，—l(x>0),令，(x)=G'(x),所以〃'(x)=(x+l)c、>0(x>0),

所以G'(x)在(0,+e)上单调递增，又因为G(；)='/(O,G(l)=e-1)0,

(i\1

所以太-,1使得G'(Xo)=O,即x.e"=l,也即eX"=一,

、2)与

所以xe(O,Xo)时，G'(x)<0,G(x)单调递减：xG(x0,+(»)irf,G'(x)>0,G(x)单调递增,

所以G(xL=G(%)=(XLl)dT°+g,代入*二:得,

zA0

G(x)min=G(Xo)=(x°—l)e"—/+：=^-xQ+3；

又川(f)=E+*>0)在£«0,1)时单调递减,而

所以〃?(/)<M\；)=；+2=T，

所以G(x)mm>.〃?(£|=°,

即G(x)>0成立，所以E(力>0,原不等式得证.

9.已知函数/(工)=(工+。-1)。"一.1,aeR.

⑴若。=1,求曲线)，=/(%)在点初/⑼)处的切线方程；

(2)若/