高中数学三角函数、解三角形拓展公式大全

高中数学三角函数、解三角形拓展公式大全

一、和差化积:

a

sina+sinpA=c2si•n-a--+---8cos....~..P-

22

aca+P-a-B

sincr-sinp=2cos---sin---

cosa+cos°=2cos~~~cos

cosa-cos£=_2sinsina；

二、积化和差：

cosacos/?=—[cos(cr+尸)+cos(a-尸)]

sinasin'=[cos(«+-cos(a-')]

sinacos/?=—[sin(a+夕)+sin(a-7?)]

2

coscrsin^=—[sin(cr+^)-sin(ar-/?)]

三、半角公式：

a,/1-cosa_1-cosa,sina

tan—=±----------=±-----------=±-----------

2v1+cosasina1+cosa

四、万能公式:

2呜2tan-

7

sina二cosa=-----------tana=---------

。,，2a,2a

+tan21+tan1-tarr

222

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五、三倍角公式

71

正弦:sin3a=3sina-4sin'a=4sinasiny4-crjsin----a

13

71

余弦:cos3a=4cos'a-3cosa=4coscrcos—+a|cos----a

1313

/

十卜“c3tana-tana(7171

正切：tan3a=-----------；------=tanatan——\-atan——a

l-3tan-a13)u

六、三角恒等式:

(1)正弦平方差公式:sin2a-sin?p=sin(a+0sin(a—6)

(2)余弦平方差公式:cos23a-cos2P=-sin(a+/3)sin(a-/?)

(3)正余弦平方差公式:cos?a-sin?p=cos(<z+0)cos(a-0)

.ITI.3兀.(〃一1)乃71,.

(4)sm—+sin——+sin—++sin----------=cot—,其中〃EN;

nnnn2/1

7i3乃54(2〃一1)万八,

⑸COS—+COS------FCOS——++cos-----------=0,其中〃EN；

nnnn

7i3乃5乃(2〃-1)4

(6)cos-------+cos-------+cos--------++COS

2/?+12〃+12//+12/?+12

.?*">/万、.,>/2万、3

⑺sin~x4-sm-(x+y)+sin(x+—)=—;

2兀、?z2万、3

(8)cosx+cos~*+—)+cos(x+——)=—;

332

七、不等式:

(1)Jordan不等式:x£(0,—),sinx<x<tanx

(2)Jie(0,—),1<sinx+cosx<V2

(3)|sinx|+|cosx|>l.

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八、其他常用公式

aaaasina

cos—cos—cos----cos—=

248T

⑴2rtsin—

2”

tancr+tan/74-tan/-tanatanptany

(2)tan(a+/7+7)=

1-tanatanp-tantan/-tanytana

(3)cosa+cos(a4-J)+cos(tz+2J)++cos[a+(〃-l)d]

sin[cr+(〃-gd)]-sin(a-g)

..d

2sin—

2

(4)sina+sin(a+J)+sin(tz+Id)++sin(a+(〃-l)d)

cos[a+(〃-；d)]-cos(cr-y)

2sin—

2

九、三角函数裂项.

设｛〃”｝为公差为的等差数列，则:

八、tailor,,-tana,+1,

(1)tan^tan^J+]=-&—-^--1

tanJ

1tana“ai-tana„

(2)=———-----------------------上

cosQjCosq”]sinJ

1二colGe-cola”

⑶

sinan-sinan+isind

•/d、.，d、

sin(^+-)-sin(aM--)

(4)cos《二

2sin-

2

2

⑸sint/„=

o.d

2sin

2

第3页共11页

11

(6)------------=-----------(tana-tanP)

cosacosPsin(cr-y^)

11

⑺[tan(/?4-l)0-tann°]

cos«°cos(zz+1)°sin1°

(8)tan疗tan£=-----------(tan-tan/?)-1

tan(£z-/7)

tantan(/?-l)

⑼=tann-tan(/z-l);tan1=tan[z?-(n-1)]=

l+tanntan(77-l)

八八/,、tantan(/z-l),tan〃一tan(〃-1).

(10)tanntan(7?-l)=----------------=--------------------------1

tan1tan1

十、特殊角三角函数值

(1)15。和75。三角函数值

1-cos30°o

tan15°==2->/3=cot75

sin30°

coll50=-------=2+73=tan75°

tan15°

(2)22.5。和67.5。三角函数值

.…。/l-cos45°I2-V2V2-V2

sin22.5=J-----------=J--------=----------=cos67.5

V2V42

”一/l+cos45°/2+V2V2+V2.__.o

cos22.5°=J-----------=J--------=----------=sin67.5°

V2V42

tan22.5°=-I-—--c-o-s--4-5-°-=>//—2-l=cot67.5°

sin45°

第4页共11页

cot22.5°=——!——=V2+l=tan67.5°

tan22.5°

(3)36。和54。三角函数值

sin36=2sin18cos18==cos54

4

cos36=l-2sin218=

4

2tan18

tan36==^5-2yf5

I-tan218

Y1也5+10―

cot36=-------=---------------=tan54

tan3675

(4)18。和72。三角函数值

sin18=——-=cos72

4

cos180=7l-sin2180=如+2布=sin72"

10osin18。15-10、“°

tan18=--------=-----------=cot72

cos185

cot180=-------r=&+2石=tan72’

tan18

十一、解三角形必备公式

⑴三角形面积公式:

第5页共11页

S.ABC=^aha=^bhb=^Che

=5/〃(〃一q)(〃一份(〃一。)

="

=—bcs\nA=—acsinB=—abs\nC

222

=2/?*2sinAsinBsinC

abc

~~^R

-1

2

⑵射影公式:在AABC中,。=Z?cosC+ccosB

(3)倍角三角形定理:在AABC中，内角A3,C的对边分别为。，仇c,则

A=2B<^>a2-b~=be(即er=b2+bc)o

(4)正切定理：

A-BB・CC-A

tail—tail--------

b-cc-a2

b-c*___A+C

tan—tail--------

22

a2-b2sin(A-B)

(5)

sinC

(6)4,4,/。成等差数列的充分必要条件是N8=60二

⑺AA3c是正三角形。是乙4,4,NC成等差数列且〃/,c,成等比数列.

।2

(8)AABC中,〃2+/-c?=±tzc=>cosC=±-=>C=——

33

(9)三边。力,c成等差数列

第6页共11页

<=>2/?=tz+c<=>2sinB=sin>4+sinC<=>tan—tan—=—;B<—.

2233

(10)三边a,b,c,成等比数列<=>/?2=izc<=>sin2A=sinBsinC,B<y.

(11)锐角AA8c中,4+8>^=sinA>cos8,sinB>cosC,sinC>cosA

2

(12)锐角AA3c中，sinA+sin4+sinC>cosA+cos4+cosC.

(13)两内角与其正弦值:在A48C中，

a>b<=>A>BsinA>sinB<=>cos2B>cos2A.

(14)sinA=sin(B+C);cosA=-cos(B+C);tanA=-tan(B+C).

.AB+CA.B+CAB+C

sin—=cos-------;cos—=sin--------;tan—=cot--------.

222222

设A,B,C是AABC的三个内角，分别是三个内角所对应的边，P为MBC

的半周长，一和R分别为AABC内切圆和外接圆半径，我们有以下结论：

(15)sinA+sin8+sinC=4cos—cos—cos—=—

222R

ABC

(16)sinA+sinB-sinC=4sin—sin—cos—;

222

A5c

(17)cosA+cosB+cosC=1+4sin—sin—sin一=1+—

222R

ABC

(18)cosA+cosB-cosC=4cos—cos-sin---1;

(19)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

/c八、A-〃~+广+

(20)sinAsinn8+sinr>^s•inz-«C+•sin/-ICs-inAA=---------；-4-7--?-r-

4储

p2+r2-4/?2

(21)cos>4cosB+cosBcosC+cosCcos=

4代

(22)sinAsinBsinC=—

2R

第7页共11页

p2-(2R+r)2

(23)cosAcosBcosC=

4-

(24)cot4cotB+cotBcotC+cotCcotA=\

(25)tantanB+tanCtanB+tanCtanA=secAsecBsecC+l.

(26)sinAcosBcosC+sinBcosCcosA+sinCeosAcosB=sinAsinBsinC

(27)cosAsinAsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB=1+cosAcos3cosc.

(28)cotAcot8+cotBcotC+cotCcotA=1

2.22

(29)a2cotA+/72cotB4-c2cotC=-----巴士———----

cotA+cotB+cotC

(30)sin^+sin^+sin^=l+4sin^sin^sin^

222444

COS^COS^COS^=4COS^COS^COS£^

(31)++

222444

ABCABC

(32)cot—+cot—+cot—=cot——cot—cot一

222222

ABBCCA,

(33)tan—tan—+tan—tan—+tan—tan—=1.

222222

sin^+sin^+sin^=l-2sin^sin^sin^

222222

(35)c^A+cos238s2C=2+2sin&i£mC

222222

tan-O+tanM+tan-%.

(36)

222222

ABACA

(37)(tan-+tany)(tan—+tan­)=sec2—.

ABCABC

(38)cot—+cot—+cot—=cot—cot—cot—.

222222

A8s%sJsE&°sCc"+sinJ"c"

(39)sin-

22222222

=1+2sin2—sin2—sin2—

222

第8页共11页

…、.48C.B.CA.C.ABABC

(40)sin—sin—cos一+sin—sin—cos—+sin-sin—cos—=cos—cos—cos一.

222222222222

(41)sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

(42)sin2A+sin28-sin2C=4cosAcosBsinC

(43)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC

(44)cos2A+cos2B-cos2C=1-4sinAsinBcosC.

(45)sin2A+sin2B+sin2C=2(1+cosAcosBcosC)

(46)sin2/4+sin2B-sin?C=2sinAsinBcosC

(47)cos2A+cos2B+cos2C=l-2cosAcosBcosC

(48)cos2A+cos25-cos2C=1-2sinAsin3cosc.

(49)cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1

(50)colA+cotB+colC=coty.(p在MBC内，且ZPAB=NPBC=ZPCA=Y.P

11

叫AA8c的布洛卡点），且

sin2Asin2Bsin2Csin2/,

三角形中不等式:

(1)sinA+sinB+sinC<^^~

2

(2)sin4+smg+sinC«3.

2222

.2.2。、3

(3)sin--+sm-—+sin~—>—.

2224

(4)sinAsin8sin

8

(5)WsiU

2228

第9页共11页

(6)si