分式及其基本性质（八年级上册人教版）

分式及其基本性

知识点1分式的概念

1.一般地，如果44表示两个整式，并且4中含有空堤，那么式子今4叫做分式.分式3中，A叫做分子,

8叫做分母.

2.一个式子是分式需要满足的三个条件

（1）是形如J的式子；

（2）A,4为整式；

（3）分母8中含有字母.

知识点2分式有、无意义的条件

L分式有意义的条件：分式的分母不等于0.

2.分式无意义的条件：分式的分母等于0.

知识点3分式的值为0的条件

I.当分式的分子为0,分母不为0时，分式的值为。.

2.分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式3的值为0的条件是4=0且8=0,两者缺

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一不可.

知识点4分式的基本慢质

L分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于。的整式,分式的值丕变.

2.用式子表示为2=若，2=其中力，B,。是整式.

oD,Lo£>-rC

知识点5约分、最简分式

1.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约云,叫做分式的约分.

2.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

【题型1分式的判断】

【例1】（24-25八年级下•江西吉安・期末）在下列各式中：;、斗、-s4人弓，分式有_____个.

2a'IT5a+26

【答案】2

【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中皓否含有字母，如果含有字母则是分式，如

果不含有字母则不是分式.根据分式的定义逐个判断即可.

【详解】解：下列各式中：；、J、土、?、既，是分式的有」、号，共2个.

2a/TT5a+2ba"a+2b

故答案为：2.

【变式1-1]（24-25八年级下•四川遂宁•期末）下列选项中，分式是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义解决此题.根据分式的定义（形如J的式子是分式，其中力

与B是整式且8中含有字母）解决此题.

根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式.需逐一分析各选项是否符合条件.

【详解】解：观察各选项，只有选项C属于分式.

故选：C.

【变式1-2]（24-25八年级下•江苏无锡•期中）有整式2,/,请在上述整式中选择你最喜欢的两个整

式组成一个分it.

【答案】二（答案不唯一）.

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【分析】本题主要考杳了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键.

依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子,

组合出所有符合条件的分式.

【详解】解：分母为％-1时：

分子为2,分式为

X-1

分子为%2,分式为二.

x-1

分母为好时：

分子为工一1，分式为骨；

分子为2,分式为

AT

分母为2时，因2是常数（不含字母），组成的竦、9不是分式，舍去.

综上，所有分式为二7、—上工-2.

X-lX-1X,XT

故答案为：W（答案不唯一）.

x-1

【变式1-3】某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册m元，现每册降价工元销售，则这种图书库存

全部售出时，其销售额为n元，从降价销售开始时，该书店这种国书的库存量是（）册.

A.—B.—C.—D.—

m+xm-xn+xn-x

【答案】B

【分析】根据数量=销售额+单价，从而可列式求解.

【详解】解：这种图书的库存量是：—（册），

m-x

故选：B.

【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系.

【题型2分式有/无意义的条件】

【例2】（24-25八年级下•河南平顶山•期末）若分式察无意义，则Q的值为（）

Na—1

A.0B.：C.-1D.

【答案】B

【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分母为0时分式无意义这一知识点是解题的关键.根

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据分式无意义的条件，即分母为0时分式无意义，据此列出关于a的方程求解.

【详解】解：•.•分式察无意义时，分母2Q—1=0,

2a—1

解方程2Q-1=0,移项可得2a=1,

两边同时除以2,得a=；.

故选：B.

【变式2-1】（2025•江苏盐城•二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是______.

x-2025--------

【答案】％H2025

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件•.根据分式有意义的条件计算即可；

【详解】解：•・•分式有意义，

.\x-2025*0

Z.XH2025

故答案为：%*2025.

【变式2・2】（2025・贵州贵阳•二模）当x=3时，分式坛意义，则□所表示的代数式可以是（）

□

A.x-3B.x+3C.xD.3x

【答案】A

【分析】本题考杳了分式的值无意义的条件，根据分母为零无意义计算即可二

【详解】解：当％=3时，x—3=0,%+3=600,3%=9工0,

根据分式无意义则分母为零，可知□所表示的代数式可以是x-3,

故选：A.

【变式2-3]（24-25八年级下•广东深圳•期末）当％=时（填写一个满足题意的数即可），分式出

有意义.

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为零得出〃工±3,进一步即可得出答案.

【详解】解：要使分式土有意义，

则，一9/0,

:x工±3,

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••・当X=1时，分式工有意义，

产一9

故答案为：1（答案不唯一）

【题型3分式值为0的条件】

【例3】（24-25八年级下•河南南阳•期末）如果一个分式，当＞=-2时分式无意义，当y=l时分式的值为

0,则这个分式可能是（）

A.四B.3C.曰D.丘

y+2y+1y+2y-1

【答案】c

【分析】本题考查了分式无意义，分式的值为零的条件，解题的关键掌握分式代值的计算方法.先根据当y=-

2时，分式无意义，排除选项B、D,然后把y=l代入A、C选项计算即可判断.

【详解】解：当y=-2时，y+2=0,则分式三,空无意义;y+1=-1*0,y-1=-3^0,则分式三,

y+2y+2/y+1

匕!有意义，故排除选项入D,

y-1

当丁=1时，纥1=0,二二;工0,故选项C符合题意，选项A不符合题意.

y+2y+23

故选：C.

【变式3-1］（24-25七年级下•浙江宁波・期末）若代数式言的值为0,则实数X的值为.

【答案】-2

【分析】本题考查了分式值为。的条件.

直接根据分子为0而分母不为0作答即可.

【详解】解：•・•代数式二的值为0，

x-3

•'•x+2=0且%—3H0,

即％=—2且xH3,

/.X=-2,

故答案为：—2.

【变式3-2】若分式=1的值为0,则实数x应满足的条件是（）

X-1

A.x=1B.x=-1C.x1D.x=1或工=—1

【答案】B

【分析】本题考查了分式值为零，由分式值为零的条件得卜2一?：?，求出x的值，即可求解：理解分式《=0

1%-1¥UB

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的条件为4=0且8H0是解题的关键.

【详解】解：由题意得

（%2-1=0

lx-1H0'

解得：%=-1,

故选：B.

【变式3・3】若分式〜的值等于0,WJy=.

【答案】-5

【分析】本题考杳分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到|y|-5二0,

且5-yHO,求解即可得到答案.熟记分式值为零的条件是解决问题的关键.

【详解】解：•.•分式4的值等于0,

5-y

•••|y|-5=0,且5—y工0,

解得y=-5,

故答案为：一5.

【题型4分式的值】

【例4】使分式工的值为整数的所有整数x的和为（）

X-1

A.8B.4C.0D.-2

【答案】B

【分析】由整除的性质可知，是7的因数，即可分别得出符合题意的X值，再求和即可.

【详解】解：：工的值为整数，

x-1

:艾一1为7的因数，

:.X-1=±1,或％—1=±7.

又为整数，

Ax=2,或％=0,或%=8,或％=-6,

••・2+0+8—6=4,

故选：B.

【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键.本题是基础知识的考查，比较简单.

【变式4-1】已知分式签的值是非负数，那么x的取值范围是（）

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A.x>-4fix^OB.x>-4C.x0D.xN—4且3WO

【答案】D

【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式.根据浮的值是非负数得到％+420

月RH0,进而能求出x的取值范围.

【详解】解：•・•岑N0，

.,.x+4>0且为H0,

:.x>-4且第*0.

故选：D.

【变式4-2］（24-25八年级下•河南新乡•期末）当分式」7的值为正数时，写出一个满足条件的x的值.

【答案】3（答案不唯一，满足%>1即可）

【分析】本题考查了分式的值为正数的条件，解题的关键是根据分式值为正的条件列出不等式求解•.

根据分式值为正数的条件列出不等式，求出工的取值范围，再在范围内取一个值即可.

【详解】根据题意可得：x-l>0.

解得：X>1.

那么在％>1这个范围内任取一个值都满足条件，例如％=3.

故答案为：3（答案不唯一，满足丫>1即可）

【变式4-3】若分式目的值为正数，则x的取值范围是（）

\x\-2

A.1VxV2或—2B.x<-2或x>2

C.-2<x<l或x>2D.-2<x<2

【答案】C

【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可.此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题

意列出不等式组.

【详解】解：•・•分式目的值为正数，

••代匕：：。。或%二2：,

解得：-2Vx<1或%>2.

故选：C.

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【题型5判断分式变形是否成立】

【例5】（24-25八年级下•河南郑州•期中）下列各式中，正确的是（）

A.一二=二B.一也=3

y-yaa

C.一4二口D.一旦二二

aay-xx-y

【答案】c

【分析】本题主要考查了分式的基本性质及符号变化规则，掌握分式的基本性质成为解题的关键.

根据分式的基本性质及符号变化规则逐项判断即可.

【详解】解：A.左边-==£（分子负负得正），右边二=一二显然不等，故A错误.

yy-yy

B.左边一方=二二（分子整体取反），右边三空，分子符号不同，故B错误.

aaa

c.左功—4=土2二匕1,与右边完全相同，故ciF确.

aaa

D.左边-=—•»右边——=X=——»左边为负，右边为正，故D错误.

y-xy-xx-y-（y-x）y-x

故选c.

【变式5-1]（24-25八年级上•黄州遵义•期末）根据分式的基本性质，分式3可变形为（）

.Ac—AAc-4

A•一万B.品C.-D.一二

【答案】B

【分析】本题主要考查了分式的性质，依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同•个非零的

数或式子，分式的值不变，判定田可，熟练掌握分式的性质是解决此题的关键.

【详解】解＜=怨”

故选：B.

【变式5-2]（24-25八年级下•河南新乡•期中）下列式子中，从左往右变形错误的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了分式的基本性质.根据分式的基本性质"分式的分子分母同乘除一个不为0的数或

代数式，分式的值不变”逐项判断即可.

【详解】解：A、舞=产=1此选项不符合题意；

2m2

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B、餐=（x：i）（：”=斗此选项不符合题意；

（x-l）（x-1）X-1

C、--1r=7、=/-,此选项不符合题意；

x-1-（x-1）1-x

D、2=处二如（CWO）,此选项符合题意：

aaxeac

故选：D.

【变式5-3］（24-25八年级下•江苏泰州•期中）下列等式成立的是（）

A..—be=-bBc.-a-+-1-=——a+1

aca-b+1b+1

a+1

c_.--0.-3-a-=--3-a-D_.-a=——

O.5a+15a+lbb+1

【答案】A

【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式

的值不变，据此求解即可.

【详解】解：A、-=原式成立，符合题意;

aca

B、会工段，原式不成立，不符合题意；

—＜）+1。+】

C、黑二』，原式不成立，不符合题意；

0.5a+l5a+10

D'W，祟，原式不成立，不符合题意；

bb+l

故选:A.

【题型6利用分式的基本性质判断分式值的变化】

【例6】（24-25八年级下♦山东前泽•期末）将分式土中的x,y的值同时扩大为原来的2025倍，则变化后

分式的值（）

A.扩大为原来的2025倍B.缩小为原来的25

C.保持不变D.以上都不正确

【答案】C

【分析】本题考查分式的性质，将分式中的变量同时扩大相同倍数后，观察分子和分母的变化恃况，判断分

式的值是否改变.

［详解］解：当工和y的值同时扩大为原来的2025倍时，新的分子为2025%,分母为2x2025%-4x2025y=

2025（2%-4y）.

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此时分式变为:2025x结果与原分式相同，因此分式的值保持不变.

2025(2x-4y)~~

故选：C

【变式6-1］（24-25八年级上•山东东营•期中）把分式啜（工¥0/。0）中的“/都缩小为原来的；，则分式的

值（）

A.缩小到原来的3B.扩大到原来的2倍

C.改变为原来的;D.不改变

4

【答案】D

【分析】本题考查了分式的基本性质，分式中分子、分母同乘一个不为零的数，分式值不变.熟练掌握分式

中分子、分母的大小变化是解题的关键.

根据分式的基本性质，分式中，y缩小为原来的;，然后代入化简求解比较即可.

4

【详解】•・•分式啜aHo,y*0）中的小y缩小为原来的5

・••原分式化为：上丸=左，原式不发生改变.

x2x

故选：D.

【变式6-2］（24-25八年级下•四川乐山・期末）若将％、y的值扩大3倍，分式勺密的值（）

A.缩小3倍B.不变C.扩大3倍D.扩大9倍

【答案】B

【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘（或除以）

同一个不为。的整式，分式的值不变，通过代入和化简来判断分式值的变化是解题的关键.根据％、y的值

扩大3倍得到新的X、y值，再将其代入原分式，通过化简新分式并与原分式对比，从而判断分式值的变化

情况.

【详解】解：将％、y的值扩大3倍，则%变为3%,y变为3y,代入分式正要式可得：

“y

（3x）2-2x（3x）x（3y）+（3y）2

（3x）2-（3y）2

9d-18xy+9y2

•・•分子分母可提取公因式9,

.9X2-18xy+9y2_9(*2_2xy+y2)_丁2_2号+丫2

••-9x2-9y2_―9(x2-y2)~~x2-/

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新分式与原分式相同，所以分式的值不变.

故选：B.

【变式6-3](24-25八年级下•江苏淮安・期末)若分式盒中的％和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变,

则力可能是()

A.x2B.x+yC.xyD.3

【答案】B

【分析】本题考查分式的性质，掌握相关性质是解题的关键.根据分式的性质即可求解.

【详解】解：将％和y分别替换为3工和3y,分母变为2・3%+3y=3(2%+y).

A：当｛=/时，则分子=(3幻2=9工2,但薯二二三工三，故此选项不符合题意.

3(2x+y)2x+y2x+y

B：当zl=x+y时，则分子=3%+3y=3(%+y),所以急备二黑，故此选项符合题意.

：当力=孙时，则分子=但盯，但-。故此选项不符合题意.

C3x-3y=9,3A=33(2x+y)、=72xT+y2x+y

D：当力=3时，则分子=3,但有J=A，故此选项不符合题意.

3(2x+y)2x+y2x+y

故选：B.

【题型7将分式的基本性质将分式变形】

【例7】不改变分式的值，使分式亮M的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为()

42x-1R2x—112x+l门2x+l

•~+3刀-3'/-3x+3'X2+3X-3'x2+3x+3

【答案】B

【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.

l-2x_-(-l+2x)_2x-l

【详解】解:

-X2+3X-3--(xz-3x+3)—X2-3X+3

故选B.

【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加时，括号里的各项都改变正负号.

【变式7-1】(24-25八年级上清海海东•期末)不改变分式的值，将分式嘴器中分子、分母的系数都化为

整数，其结果为()

A20x+500yB20x+500yC2x+50yD•器

•1000x+4y•100x+4y•1000x+4y

【答案】A

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【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值

不变.

利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解•.

【详解】解:0.02x+0.Sy

x+0.004y

1000x(0.02x+0.5y)

1000x(x4-0.004y)

_20x+500y

-1000x+4y'

故选：A.

【变式7-2】把分式一的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（）

-x+2

AA.-1--3x-B卜.-3x—-1C万.-3x—-1Dc.-3x+-l

x-2x+2x-2x-2

【答案】c

【分析】根据分式的基本性质，把分子分母都乘-1即可.

【详解】分子分母都乘-1,得，

（l-3x）x（-l）_3x-l

原式-（-x+2）x（-l）-x-2'

故选C

【点睛】本题考杳了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式

的值不变.

【变式7-3】（24-25八年级上•北京昌平♦期中）不改变分式受的值,把它的分子分母的各项系数都化为整

物0.2x+l

'5-0.3x

【答案】答案不唯一）

【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0的数或整式,

分式的值不变，据此把分式黑的分子分母同时乘以10即可得到答案.

【详解】解：把分式组的分子分母同时乘以］。得窘

・02x+l_2x+10

**5-0,3%—50-3x

故答案为：黑（答案不唯一）.

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【题型8约分】

【例8】下列约分正确的是（）

GT)(x-5)_1

A.=X2(l-x)(5-x)-1

X4

/+4y2c2+b2c2

C.=X+2yD,=7

x+2y

【答案】B

【分析】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去,

注意不要忽视数字系数的约分.

利用分式的约分定义判断即可.

【详解】解：A、接=炉，A选项不符合题意:

B选项符合题意;

(l-x)(5-x)-(x-l)(x-5)-

c、鬻为最简分式，c选项不符合题意:

D、券为最简分式，D选项不符合题意.

故选：B.

【变式8・1】约分化简：华=_______:告*=________.

a6x-------------xz-8x+16----------------

【答案】汇高

ax-4

【分析】先对原分式的分子和分母因式分解.，再约去公因式即可.

【详解】^=—=-；

aLxax»aa

X2-4X_X（X-4）_x

7-8*+16-（义-4）2-x^4'

故答案为与七.

ax-4

【点睛】此题考查的知识点是约分，关键是分子、分母先分解因式，再约去公因式.

【变式8-2】琪琪在化简分式三时得到的结果为三，贝IJ?部分的代数式应该是___________.

x'-4x+2-----------

【答案】（"-2）2

【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键.

【详解】解：根据题意可得：言=3,

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?_x-2

(x+2)(x-2)-x+2'

?_(x-2)2

(x+2)(x-2)-(x+2)(x-2)*

?.?=(x-2)2,

故答案为:(x-2)2.

【变式8-3】计算生哼0!的结臬为

4xy

【答案】1

【分析】分子分母约去公因式即可.

【详解】(x+y)2-G-y)2="=i

4xy4xy

故答案为1

【点睛】本题考查了分式的约分，当分子、分母是多项式时，首先要把分子分母分解因式.

【题型9最简分式】

【例9】若]表示的是一个最简分式，则☆可以是()

A.2xB.xC.4%-x2D.x2

【答案】B

【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解.最简分式定义，分子与分母没有公因式的

分式，叫最简分式.

【详解】解：A、当☆为"时，上¥=一2,不是最简分式，故该选项不符合题意；

x-2

B、当☆为x时，二，是最简分式，故该选项符合题意；

x-2

C、当☆为时，±*j=&三=无_2,不是最简分式，故该选项不符合题意：

x-2x-2

D、当☆为%2时，r=一(*2)尸=-％-2,不是最简分式，故该选项不符合题意；

r-2r-2

故选：B.

【变式9-1](24-25八年级上•湖南郴州•阶段练习)下列是最简分式的是()

.x-l_x-3x+3-1-x

A.f-B.------C.--------D.——

x2-12x-2X2+2X+1x-1

【答案】B

【分析】此题考查了最简分式的判断、分式的化简等知识.把分式化简后根据最简分式的定义进行判断即可.

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【详解】A白二,:「=々,故选项不是最简分式，不合题意；

xz-l(x+l)(x-l)x+1

不，选项是最简分式，符合题意：

B.2x-2

C・表三=2曰=27,故选项不是最简分式，不合题意；

xz+2x+l(x+1)x+1

0==哼2=_i,故选项不是最简分式，不合题意；

X-1X-1

故选:B

【变式9-2](24-25八年级下•山西晋中•期末)若总是一个最简分式，则△可以是()

16-A

A.xB.7C.4D.4x

4

【答案】A

【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判

断即可.

【详解】解：由题意，△中必须有字母，且分子分母不能还有公因式，

选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除；

选项D代入后，分式为丹，分子分母有公因式4,不是最简分式，故排除.

16-4x

只有选项A满足题意.

故选A.

【变式9-3]若m为实数，分式等不是最简分式，则皿=______.

产+m---------

【答案】。或一4

【分析】由分式当誓不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式

xl+m

乘以多项式的运算法则求出m的值即可.

【详解】•・•分式罢亘不是最简分式，

x'+m

・•・x或x+2是/的一个因式,

当x是K+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a,

则有x(x+a)=x2+ax=x2+m,

，m=0,

当x+2是K+m的一个因式时，设另一个因式为x+a,

15/18

・[Q+2=0

*'Im=2a'

解得：｛"一3

故答案为：0或-4.

【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x或x+2是x2+m的一个因式是解题

关键.

【题型10分式的规律性问题】

【例10](24-25八年级上•山东淄博・期中)已知即X+1(%H0JJ.XH-1),Q?=-----,Q?=-----,・・・,