2026年新高考II卷数学试卷（原卷+答案）

绝密★启用前

2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）

（适注地区：山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁及、新

数学

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案书写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题k一并交回。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1.(l-3i)2=()

A.8I6iB.-8-6iC.8I6iD.86i

2.已知集合4={0』,3,6,9},3=卜|。=同，则()

A.{051}B.{3,6}C.{0,1,9}D.{0,3,9}

3.已知向量ci,〃满足d+b=1,\a-b=\/3,则()

A.白B.—

23

4.设双曲线C：4-4=1(。>0，b>0)

经过点（1,0）和点则。的渐近线方程为（）

crb2

A.y=±3V2xB.y=±2>/3xC.y=+^-xD.y=±^21x

66

5.已如极台的上、下底面均是有一个内角为60。的菱形，上、下底面的边长分别为2,3,该楂台的高为上,

则其体积为（）

19191919

A.—B.—C.—D.—

12642

6.把甲、乙、丙、丁等8位员工分为力、8两个技术公关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同

组，则分组方案共有（）

A.10种B.12种C.16种D.24种

7.LL知。为第二象限角，3sin2acosa=8sinacos2a,则1+sisnmot0=（）

2-coscr

1/2i

3

8.已知/(x)是定义域为R的偶函数，/(x)+/(x-2)=0,且当工£-,3时，〃x)=f+仪+心则

()

A.a=-2,b=—3B.a=-2,b=3

C.a=-4,b=—3D.a=—4,b=3

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分

分，有选错的得。分)

9.已知O。：A2+y2=1,QA：x2+/-6.v-8y+A=0,贝ij()

A.点力的坐标为(-3,-4)

B.当k=9时，与x轴相切

C.当4=一11时，0。与。力相切

D.当OO与相交时，两个交点所在直线的方程为6x+8y-k-2=0

10.设等比数列｛%｝的公比4工1,a.>0,2生=%+生，记其前〃项和为5.，则()

A.q=_gB.s“>等

C.2sm=Sg+S.D.当

*=1J

11.已知抛物线E：/=8.r,斜率为攵(左〉())的直线/经过点(TO),等边三角形力BC的顶点力在E上，

顶点/C均在/上，下列结论正确的有()

A.E的准线方程为x=-2

B.若/与E没有公共点，则％〉也

C.若/与E的唯一公共点为3,则E的焦点在直线力笈上

D.若k二2,则AZBC面积的最小值为立

15

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.记S”为等差数列｛〃“｝的前〃项却，若q=-l,a4=5,则.

13.若函数/(X)=2'+22r-〃?有两个零点，则机的取值范围是.

14.已知球。的体积为46兀，A,B,C,。四点均在球。的球面上，△ABC为等边三角形,

。力=。3=。。=&，则4/8。的面积为.

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间(单位：天)，由

2/21

试验结果得到如下频率分布直方图:

(1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数(假设数据在组内均匀分布)；

(2)设p为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的暇率估计值.

(i)求p;

(ii)该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的

件数，假设X〜8(100,力)，求E(X),Q(X).

16.如图，三棱锥/—5CO中，点E在BD上,AEA.CE,AE工DE,CDVAD.

(1)证明：8工4B；

(2)若DE=2,BE=1,AE=&，。=2百.求直线力。与平面45。所成角的正弦值.

3

17.在△/BC中，已知cos8=a，cos?(4+C)+sinJsinC=1.

(1)证明：△/BC为钝角三角形；

(2)若乙4?。的面积为立，求&48。的周长.

4

2

18.已知椭圆E：^+/=1过后的右焦点且与x轴垂直的直线被七截得的线段长为后.

(1)求£的离心率.

(2)设。为坐标原点，给定点G〃0)(/w0),“(小，比乂&。。)为E上的点，过力作V轴的垂线，垂足为

B,直线4O与直线GB的交点为尸.当力在E上运动时，点尸的轨迹为".

(i)求〃的方程：

(ii)当/为何值时，M有对称中心？当A/有对称中心时，将M平移后得到曲线使得。为M'的对称

3/21

中心，说明AT是什么曲线.

19.已知函数/(x)=w、at+/),曲线J，=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为)，=-2x+l.

⑴求a,h；

(2)当x>0时，/(x+〃7)-/(X)〉机，求〃7的取值范围；

(3)当x>0时，/(4+x)+/(左一x)>2/(左)，求A的最小值.

4/21

参考答案

1.

【答案】B

【详解】(l-3i)2=l-6i+(3i)2=l-9-6i=-8-6i

2.

【答案】A

【详解】由题可得8={01},所以4c8={0』}

3.

【答案】D

【详解】由卜+@=1,得忖+〃(=1,

所以(&+〃y=1,即42+2。.6+r二1；

由歹一5二6,得@一5=3,

所以,一力丫二3,即不一2由〃+/?=3.

两式相减，得4a•5=—2，

所以d'b.

2

4.

【答案】B

【详解】把点(1,0)和—，代入双曲线方程可得

2["'Ir1

A9、4=1

-==12=><广,

。力A/AU=2>/3

a>0,b>0'

所以双曲线方程为一—22=1,

12

故该双曲线渐近线方程为V.

5.

【答案】D

5/21

【详解】由题意，得棱台的上底面面积为2x,x2x2xsin600=26,

2

下底面面积为2x,x3x3xsin60°=—

22

所以该棱台的体积为2JJ+J2JJX—

+竽g"用36+券卜艮;

6.

【答案】C

【详解】情况1：甲、乙两人都在小小组，

安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在4组，另一个在8组.

若丙在力组，丁在4组：此时力组已有｛甲，乙，丙｝,还差1人;

H组已有｛丁｝,还差3人，

则从剩余4人中选1人进力组，方案数为C；=4.

若丁在力组，丙在8组：同理，方案数为C；=4.

所以当甲、乙在4组时，方案数为4+4=8种.

情况2：甲、乙两人都在B小组，

甲、乙在8组的情况与在片组的情况完全一致，

安排丙、T：同样是内在力组或丁在/组两种情况，方案数各为C；=4,

所以当甲、乙在6组时，方案数为4+4=8种.

故所有分配方案共有8.816种.

7.

【答案】C

【详解】由,得：6sinacos2a=8sinez(cos2a-sin2cr)

因为是第二象限角，所以sina>0,coscr<0,

化简得：3cos2a=4(2cos2a-1),即cos2a=[

由于cosa<0,解得：cosa=-—»

5

因为sina>0,所以sina=Jl-cos2a=与，

6/2i

g、J+sina"丁1

加以二-------=------T~二

2-coscr2+25/52

-V

8.

【答案】D

【详解】/(x)+/(x-2)=0,则/(x+2)+/&)=0,

/(X+4)=-f(x+2)=/(x),即f(x)的周期为4,

结合奇偶性,周期性，故/(1.5)=/(-2.5)=/(2.5),

在053］上满足/(1.5)=/(2.5),说明f(x)=x2+ax+b的对称轴为x=2,

则一£二2,解得，

2

又根据/(X)+/(x-2)=0知>。)+/(-1)=0,而/(1)=/(-I),

则/(-1)=0,于是/(3)=/(-1)=0,

即/(3)=9+3〃+/>=9-12+/>=0,解得

9.

【答案】BC

【详解】由0彳：，化简可得(X-3)2+(J〜4『二25-

所以4<25,。4的圆心4(3,4),半径/二后二，故A错误；

对于B,由，得的半径-=J25—Z=4,所以圆心43,4)到轴的距离d=4=/•，即与轴相

切，故B正确；

对于C,由，得。/的半径—底仄=6,由于。。的圆心为(。,0)，半径厂'=1，所以

|。4|=5=1一/,则。。与。力内力，故C正确；

对于D,由(厂+)厂—6x—8y+攵)—(r+)/―1)=0,化简得：6x+8y_%_]=0,

所以。。与。力两个交点所在直线的方程为6x+Sy-k-\=0,故D错误.

10.

【答案】ACD

【详解】由等比数列的公比为夕，则24a2=。田+6,即。1(242一夕-1)=0.

7/21

因为％>0,所以2/一9一1=0,即(2q+l)(q—l)=0.

因为，所以q-lwO,所以2q+l=0,即一，所以A正确.

1?

因为4>0,则52=5q<5囚，所以B错误.

=2S“+2,所以C正确.

当〃为奇数时,

当〃为偶数时，因为（工、

<-；所以1->->0>

22

,所以D正确.

11.

【答案】ABD

【详解】A选项，y2=Sx=2px,则2=4,故准线x=—5二-2,A选项正确;

8/21

B选J贞，设直线为y=%（x+l）,则8y=8代+8%,

联立得到，心，2一8>+8%=0,

直线和抛物线无交点，则△=64-32/<0，

结合A>0,解得，,B选项正确；

C选项，由联立方程为'—8y+8a=0,

若与相交于唯一点，只可能是相切，

则△=64-32%2=0，解得〃二近，

此时历2一8丁+8近=0,解得y=2加,进而得x=l,则8（1,2枝），

若过焦点尸（如图），由于2（1,2夜），/（2,0）,左所二一20,而尢

根据倾斜角的定义，tanN8&=-2j1，tan/R/nJI，

而乙4BC=NBFx-ZBPF,此时乙4BC的正切值为幺Zz巫=④.百，

1-4

即N幺5。工60,这与△为等边三角形矛盾，C选项错误;

--Z+2

设4丁/，则至U的距离为4

18；

丁石一君

即等边三角形的高的最小值为士，此时面积5二』>"、卷=412且，D选项正确.

V52V3V315

C选项方法二：求得3（1,2拒），贝!5尸二卜2,-2/），5F=（1-272）,

-2+卜2句

BPBF

则cos/PBF=

网,附卜）?+卜2可/十2032'

则NNP勿>60，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误.

9/21

D选项方法二：到4c的最小距离可转化为抛物线和4c平行的切线，求得两平行线的距离即可,

由于心（.二2，设直线为y=+

联立，得到歹2-4歹+4〃=0,

itl△=0=>//=1,此时直线为y=2x+l,

由平行线的距离公式可推出/,〃？走线间距离为。，其余同上.

【答案】24

【详解】由等差数列通项公式为=4+(〃-)”，

代入为=5,q=-1可得5=-1+(4-1"，解得d=2.

因为%=q+5d=—l+5x2=9,所以S,二,(q卜&),

2

故S(,=3x(-l+9)=3x8=24.

13.

【答案】(4,+oc)

【详解】令/卜)=2*+227-〃2=0,得2、+22T-〃7=0,即2、+22-'=〃7,

方法一：

4

令f=23则2、+22r—〃z=0，即Z+：一6=0,/2-W/+4=0(/>0),

则一元二次方程/一〃"+4:0(/>0)有两个正根，

A=-16>0[m>4或的<-4

那么〈八八n机>4,

tx+t2=m>0[/n>0

所以，的取值范围是(4,+8).

方法二：

44

设g&)=2'+22r=2'+»,那么设〃=2匚则g(x)=/?(〃)=〃+£,(〃〉0),

10/21

由于力(〃)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

故g(幻在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且g⑴=4,

根据函数图象可知，函数/'(X)有两个零点，则的取值范围是(4,+8).

【答案】亚

4

【详解】由球的体枳公式，/=?兀&3=46兀，解得火=石，

设乙的外心为〃，连接

由题意知。，为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心右DH上,

不妨设在线段QH上，连接力O,DO,4”,

y/3x

设4的边长为底，由正弦定理可得，AH=-------=x，

2sin60

x2+y2=3

再设。”二y，由题知，•

x2+(y+G)=2

2

解得/=一耳(负值表示球心在线段。〃的延长线上，实际情况如右图),

所以炉=(

由三角形面积公式，S〃8c=；x(J§x)xsin60=—^-

15.

【答案】(1)第一四分位数为370,中位数为381；

(2)(i)0.15；(ii)E(X)=15,£>(X)=12.75.

【解析】

11/21

【小问1详解】

由直方图可知，［345,365］的频率为0.015x10=0.15<0.25,

［345,375］的频率为0.035xl0=0,35>0.25，

故第一四分位数在［365,375］上,设为,则(x—365)x0.02+0.15=0.25,解得工=370：

［345,375］的频率为0.035xl0=0.35<0,5,

［345,385］的频率为0.06x10=0.6>0.5,

故中位数在［375,385］上，设为，则(y-375)x0.025+0.35=0.5,解得y=381.

故第一四分位数为370,中位数为3K1：

【小问2详解】

由直方图可知，小于365天的频率为(0.005+0.01)x10=0.15,故方=0.15,

根据二项分布的期望和方差公式，

£(^)=100x0.15=15,D(X)=100x0.15x0.85=12.75

16.

【答案】(1)证明：

因为且，CEcDE=E,且CE,OEu平面BCD,

所以4EJL平面8CO.

因为CQu平面8c。，所以月K_LCQ.

又ADLCD,AEcAD=A,/Eu平面48。，

力Z)u平面/BQ,平面/a)，

所以CZ)_L平面

故

⑵旦

3

【解析】

【小问1详解】

略

【小问2详解】

如图所示，以。为原点，OE所在直线为轴，OC所在直线为轴，过点。且垂直于平面3CO的直线为z

轴，建立空间直角坐标系，

12/21

A

yc

y

可得0(0,0,0),C(0,25/3,0),£(2,0,0),5(3,0,0).

因为且「所以力仅,o,J5).

所以40=卜2,0,^5=(1,0,-V2),AC=«2,25-4

n-AB=x->/2z=0

设平面的法向量方二(x,y,z),则＜

n-AC--2x+2y/3y->/2z=0

可得x=V^z，令z=2,则：x=2-\/2»y=,即〃=卜＞/^,＞/^,2).

设与平面所成的角为巴

卜2)x2及+0+(-⑹x2

协以即展mH-72)2+02+可小⑸+j同+2?

6>/2_V6

-V6x3>/2-3'

所以与平面所成的角的正弦值为".

3

法二：在中，力丁=JZR2+DE?=+2?二痛,

在RtAZAE中，AB=」AE?+BE?=可+『二百,

由(I)知COJL平面力。E,则C7)_LQE,CO_L力。.

在RIA8QC中，BC=ylBD2+CD2=^32+(273)2=>/21.

在Rt^/QC中，AC=y/AD2+CD2=V6+12=3V2.

•・•AB2+AC2=(石J+(3及了=2\=BC2,

.N48c为直角三角形，则54」叱=！48・/。=！乂力'30=亚.

设点O到平面的距离为力,与平面所成角为。，

13/21

八Bch=、SBCD.AE，即［.侦.力01•加,

33伙/323(2)

解得：h=2.

所以sine=4-=/=Y^.

ADa3

17.

3

【答案】(1)证明：由4+4+C=TT,则COS(4+C)=-COSB=—-，

4

97

又cos2(/+C)+sin/sinC=1,得一+sin4sinC=l,则sin4sinC=—,

1616

由两角和的余弦公式，cos(J+C)=cosAcosC-sin//sinC=--,

4

75

结合sin4sin。=一可知cos力cosC=-----<0,

1616

则cos4cosc异号，必然一个为负，一个为it.

又4Ce（0,兀），即4。中必有一个是钝角:

⑵3+母

【解析】

【小问1详解】

略

【小问2详解】

方法一：由正弦定理和三角形的面积公式,

2

SABc=—ahsinC=—(27?sin力)(2Rsin5)sinC=2Rsinsin5sinC,

(氏是4外接圆半径)

7si®曾"也，则也会「拉

XsinJsinC=—,解得

16vUJ4464

又sin8=立，则b=2Rsin8="

4

3

由余弦定理-(T+c2-laccosB,即+，2--ac=2,

又LacsinB=疝-ac=^-，贝i」〃c=2,

284

3

于是/+。2一/Qc=2,即/+/=5,

(a+c)2=a2+lac+c2=9,解得a+c=3,

14/21

故乙周长为(a+c)+6=3+e.

方法二：由，则©0$28+5由力$吊。二1,

即sinJsinC=1-cos25=sin2B，

由正弦定理可得，ac=b2^

=LesinA=Lex

由三角形面积公式，S叱---=,

224---4

得到此=2,则6=血，其余同上.

18.

V2

【答案】（1）

2

2

(2)(i)的方程为---------7X+V+—X-1二0（y*0）；

’0

（11）当Z工土&时，有对栋中心;

当川>也时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点,

当0<|/<也时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点.

【解析】

【小问1详解】

设椭圆—的右焦点为（c,0）,其中c=JQ，

那么过右焦点且垂直于轴的直线为x=c,代入椭圆得

「2M

—+y2=1>即y2=1—y

a-'cr7a

所以y=由于截线段长为会正’解得。=夜’

1_V2

故c=V2^1=b离心率eF正F

【小问2详解】

（i）方法一:

由（1）知椭圆方程为—+/=!,由于点力（小，为）满足配+年=1，且盟*0,过作轴的垂线，交

22

轴于点3((),%),

15/21

那么当/=0时，点4(0,±1),点与点4(0,±1)重合:

当天40时，直线方程为：y=—Xf直线方程为：一+j=l,

鹏to比

即y=-yx+^0,

y=—xx=-•V

联立，”,解得•「即点尸岛管m。)，

y=y=

l-%+2

xQtxt

x=---%二,

设p(x,y),则由］X°+Z=>•小皿

v=^LIL=———

J-JO,

%+Zt-X

2222

代入椭圆方程亨+y：=l得3(六)+(二vtY)=L即2(t一x)21t一yx)「,

两边乘以("一”得.+歹2=«-H,

t22'e

整理得(g—5)x2+y2+|x-l=0,

把点/(O,±l)代入,仍然成立,

故轨迹的方程为

+_/+|"X-l=0(y工0)；

方法二：

由于，点在轴，放直线必有斜率；

设直线方程为y=%(x-z),尸(〃#),那么点4(0,一七)，

由于轴，则歹o=-h,

由于点P。,4三点共线，则。户

cov=-ktu,

tu

0

xv--ki也J，〜

因为点在直线上，所以，1't//

v=k(u-T)此一八"二上-0)’

ut-u

22

/Y.；11\(litV(VtY,„„rirrv

把力GoJo)代入椭圆方程：—+yl=1,得+—L即“\2(\2।，

2\t—uJv-vj2(t—uj(/—w)

16/21

(ii\2

整理化简，得-----2"J+y“+—M-1=0,

[2r)t

!\1A2

故轨迹的方程为［耳一了Jr+V+?X-1=0（yH0）；

（ii）曰（i）得轨迹的方程为-1=0("0)

112

当2一7=0即仁±拒时，轨迹的方程为/+7工-1=0（了¥0）,为抛物线去掉与x轴交点，无对称中

心；

当——^70U|Iyf~且fW0时，

化简轨迹的方程为("-2)(工+上—丫+匚二2y2=1(y/o)，

2r4It2-2t27U)

向左或向右平移个单位得到的方程为，―2）2J;2）,2;］（）,±0）,即

将轨迹

等+誓=2。）

（J）?r-2

所以当II「时，形状为焦点在X轴上的椭圆去掉与轴交点,

当1时,形状为焦点在X轴上的双曲线去掉与轴交点.

综上，当，=±也时，轨迹无对称中心;

当«时，有对称中心；

当II«时，形状为焦点在X轴上的椭圆去掉与轴交点，

当«时，形状为焦点在无轴上的双曲线去掉与轴交点.

19.

【答案】（1）。=-3/=1

(2)[21n2,+oo)

(3)-2

17/21

【解析】

【分析】(1)结合导数几何意义建立方程求解；

(2)法一：构造差函数=+--，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由

恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当x->0+，g(x)f〃k"-4机确定界点0,21n2；

再结合界点分类讨论即可；

(3)法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得：法二：分离参数，结合洛必达法则求解.

【小问1详解】

/(x)=xex+ax-\-b,xeR,

由切点(。,/(0))在直线上，也在函数图象上，

可知/(0)=-2x0+l=l且/(0)=0.渭+。・0+人二人可得〃二1：

x

由f(x)=(x+l)e+af则切线的斜率为Z(0)=1+。=-2,

解得。=一3；

故a=-3,b=l.

【小问2详解】

由(1)知,/(x)=xex-3x+l,

则f(x+〃?)一/(x)—=(x+m)eX¥m-xex-3(x+m)+3x-m

=(x+m)ex+n,-xex-4〃z,

故题意可转化为(x+m)ex+n,-x/-4加>0对任意x$R+恒成立，

法一：令g(x)=(x+/w)ev+m-xex-4ni,,

fx+M,x

则g(x)=(x+m+l)e-(x+\y=e[(x+m+1)/-(x+1)],

当〃？>0时，由x+"?+l>x+l>0且d">1>0,

则(x+〃z+1)e"‘一(x+1)>().即g(x)>0,

则在(0,+oo)上单调递增，又g(0)=〃/-4〃7,

要使g(x)>0对任意xGR*恒成立，

则me"'—4，〃>0，解得/??>2In2：

当〃?=0时，f(x+m)-/(x)=0>0不成立：

当〃7<0时，x+〃7+l<x+l,且x+l>0,

18/21

则(x+〃7+l)e”'_(x+l)<(x+l)eS_(x+l)=(x+D(d"_l)vO,

即g'(x)<0,则在(0,+8)上单调递减，

又当工f+00时，g(x)-8,不满足题意；

综上所述，的取值范围为［2ln2,-8).

法二：

不等式(x+m)ex+n,-xex-4m>0可转化为-4加>。，

4〃？

即(x+m)en,-x一一［>0对任意X£R+恒成立，

e

当〃2=0时，/(x+〃7)-/(x)=0>0不成立：

4/72

当〃2co时，设〃(X)=(x+〃7)d"-X----,,

e

当+<力时，由加<0,可知q切一1<0，

h(x)=(ew,-l)x+〃治"一"f—8,

这与h(x)>0对任意xER+恒成立矛盾；

当0<<2In2时，〃(0)=mem-4m=m(em-4)<0,

h(2In2)=/?(ln4)=(〃?+\n4)em-ln4-m>(〃?+ln4)-1-ln4-m=0,

4777

由h,(x)=em-\+—>O故h(x)在(0,+oo)上单调递增,

ef

故〃(工)在(0,口)上存在唯一零点，设为玉)，

且当Ocxcxo时，/;(x)</?(xo)=0,即(』+加)"+'"彳'4加<0

ex

此时K等式f(x+加)—f(x)>m不成立：

当〃z221n2时，/V)=ew-14-->0,

?ex

则依0在(0,内)上单调递增,

由，故h(x)>/