渭南某中学2025-2026学年高二年级上册第一次阶段考试数学试卷（含答案）

陕西省渭南高级中学2025-2026学年高二上学期第一阶段考试数学试题

一、单选题

1.已知集合力:{xeN—rx—5W0},5={x|0<,v<4},则/P|8=（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|0<x<4}D.{x|l<x<4}

2.已知i为虚数单位，若复数z满足z-i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.己知非零向量满足同=2忖，且则彳与B的夹角为（）

71_71-5冗r2冗

A.-B.-C.—D.—

3663

4.底面圆半径为1,母线长为4的圆锥侧面展开图的圆心角力（）

7Te兀一nr2冗

A.-B.-C.-D.—

6323

2

5.已知小鸟是椭圆C的两个焦点，尸为。上一点，椭圆的方程为之+/=©>]）且归用+|0马=4,则

C的离心率为（）

A.巫B.-C.yD.妪

2524

6.小唐5月17~23日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（）

A.小唐这7天每天运动时长的平均数是72

B.小唐这7天每天运动时长的极差是42

C.小唐这7天每天运动时长的中位数是75

D.小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92

7.若方程x+b=H二？恰有两个不等的实根，则实数方的取值范围为（）

A.（-2及-2,2近-2）B.（-1,2>/2-2）

C.[0,272-2）D.（-272-2,0）

8.函数/'（x）=4-Gcos（兀丫）的零点的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是g、g,则题被解出的概率是:

B.若4,8是互斥事件，则户（4+8）=。（⑷+P（8）

C.从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”

是对立事件

D.若样本数据吊,电，…，的方差为8,则数据2再-1,2X2-\,2%-1的方差为16.

10.已知圆G：f+y2+2x+2y-8=0与圆C2/一1。夕―24=0（）

A.两圆的圆心距为2a

B.两圆的公切线有3条

C.两圆相交，且公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0

D.两圆相交，且公共弦的长度为4石

11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R,A,B,C为球面上

三点，劣弧AC的弧长记为。，设Q表示以。为圆心，且过A,C的圆，同理，圆。，的劣弧力C,AB

的瓠长分别记为6,c,球面/8C（阴影部分）叫做曲面三角形，a=b=c，则称其为球面等边三角形，线

段。4,OB,OC与曲面△川?。围成的封闭儿何体叫做球面三棱锥，记为球面O-48。.设N80C=a,

&OC=0,/力。8=7.其中正确结论的选项有（）

若平面“BC是面积为BR2的等边三角形，则。=方=c=为；

若不+〃=/,则

若平面△力8c为直角三角形，且乙<8=；,则/+/>/：

D.若a=b=c=^R,则球面O-/18C的体积J/＞受火1

312

三、填空题

12.已知tana+—■—=7,则sin2a=.

tana

13.机e(-1,2)是方程上+上=1表示的曲线是椭圆的____条件，(在“充分不必要条件”；“必要不充

2—mtn+1

分条件”；“充要条件”，“既不充分也不必要条件”四个中选择一人最合理的填在横线上)

14.已知直线/的方程是(〃?+3)x+(〃?—2)二〃?—2=0,8(2-2),若直线/与线段力4相交，

则实数机的取值范围是.

四、解答题

15.直线4的方向向量。=(3,-石),直线过点("1)

(1)若直线4与直线4平行，求出直线4的斜截式方程，并求出直线4的倾斜角。的值

(2)若直线乙与直线垂直，求出直线右的斜截式方程，并写出直线4在V轴上的截距.

16.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，

更是文明城市的.主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市''知识竞赛，从

所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六

段：［40,50),设0,60),…，［90,100］得到如图所示的频率分布直方图.

⑵已知落在［50,60)的平均成绩是54,方差是7,落在［60,70)的平均成绩为66,方差是4,求这两组成绩

的总平均数(和总方差一.

(3)如果按照分层抽样的方法从成绩在［50,60)和［60,70)这两组的市民中共抽取6人,再从抽出的这6人中

任取两个人参加某社区的卫生清洁工作，求选出的这两个人中至少有一个人的成绩在［50,60)的概率.

17.已知向量加=cosx+sinv,5/3sirLr),〃=(cosx-sinx,2cosx),函数=〃

⑴求/(X)的单调递增区间;

(2)在三角形48C中，角力，B,C所对的边分别为c.并且满足。•cosBub-sinJ.若/

求sinC的值.

18.如图所示，在长方形48CQ中，4？=2,AD=\,E为CO的中点，以4E为折痕，把△加£折起到△。‘花

的位置，旦平面。‘花，平面"6.

E

D

A

(1)求证:AD'LBE;

(2)求直线D'B与平面18CE所成角的正切值.

(3)在棱上是否存在一点P,使得。'8〃平面4C,若存在，确定出点P的位置.；若不存在，请说明理

由.

19.圆C:/+(y-3『=l,点尸(。0)为x轴上一动点，过点尸引圆C的两条切线，切点分别为M,N.

(1)若，=1,求切线方程；

(2)直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；

(3)若两条切线PM,PN与直线片1分别交于48两点，求“BC面积的最小值.

参考答案

1.A

【详解】J={xeN|x2-4x-5<0^={xeN|-1<x<5}={0,1,2,3,4,5),

所以)「8={0,123,4},

故选：A

2.D

【详解】因为复数z满足z・i=2+3i,

则z=—=-(2+3i)i=3-2i,在复平面内z对应的点为(3,-2),

1

所以在复平面内Z对应的点位于第四象限，

故选：D.

3.D

【详解】设值与5的夹角为。，

•小+山人

・•・(4+方)6=0,

••a-b=—b2，

，同Wcost?=_'『，

又同=2环

cosa=,*t*a€[O,兀],

.2兀

.・a=—.

3

故选：D.

4.C

【详解】设圆锥侧面展开图的圆心角为0,且圆锥底面圆半径为1,母线长为4,

根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长，可得27rxi=4。，解得0=宗

故选:C.

5.A

【详解】因为|历|+|P周=4,所以2a=4,所以a=2,

又因为6=1,所以,=炉彳=石，所以e，=且，

a2

故选：A.

6.D

……58+92+100+70+80+45+60505”…

［详解］---------------------------=—*72,A错误；

77

B选项，小唐这7天每天运动时长的极差是100-45=55,B错误；

C选项，将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为45,58,60,7D,80,92,100,

则小唐这7天每天运动时长的中位数是70,C错误；

D选项，因为7x80%=5.6,所以第80百分位数是第6个数，即92,D正确.

故选:D

7.C

【详解】由y=_/得(x_2)2+/=4(y20),

所以直线尸x+力与半圆(X-2>+/=4("0)有2个公共点,

作出直线与半圆的图形，如图：

当直线y=x+b经过点(0,0)时，/>=0,

当直线y=x+6与圆(x-2)2+/=4相切时，12)誉1:2,

解得〃=2&-2或〃=-2应-2(舍)，

由图可知，当直线y=x与曲线y=而二？有2个公共点时，0Sb<2五-2.

故选：C.

8.C

【详解】令/(%)=«-6cos(­)=0,故«=石85(心),即/(X)的零点个数为y=4与y=Gcosg)

的交点个数，

显然尸4在(0,内)单调递增，y=Ecosg)的周期为2,且当x=4时，6工行cosg),

故此时两个函数无交点，作出图像如下图,

由图像得共有3个交点，故/(X)有3个零点，即C正确.

故选：C

9.AB

(1V1

【详解】对于A,由独立事件概率乘法公式可得此题没被解出的概率为1--1--=-,

\［八3)5

再由对立事件概率公式可知：题被解出的概率足2;，正确；

对于B,由互斥事件概率加法公式可知正确；

对于C,从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果：

一个红球，一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球；

显然“恰好有一个黑球''与事件”恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件：

对于D,由方差的运算性质可知：数据2芭-1,2X2-1,2.%-1的方差为2晨8=32,错误；

故选：AB

10.AC

【详解】对于A,圆G：(x+l)2+)+l)2=10的圆心为G(-半径为4=加

与圆。2：(4-1)2+(歹+5)2=50的园心为0(1,-5),半径为4=5上,

故两圆的圆心距为+5+1)2=2百，故A正确：

对于B,由于5&-丽=々一4<|。。21=2后<耳+々=丽+5近，

即圆G与圆G相交，两圆的公切线有2条，故B错误；

对于C,由B可知两圆相交，将圆£:(x+l)2+(y+l)2=10与圆g：(x7)2+(y+5)2=5()的方程相减，得

4x-8y+16=0,

即公共弦所在的直线方程为x-2)；+4=(),故C正确：

对于D,由B可知两圆相交，而弓二痴，

|-1+2+4|

G（-l-1）到直线X—2），+4=0的距离为d==亚,

故两圆公共弦的长度为2,（师『一（石『:2后,故D错误;

故选:AC.

11.ABD

【详解】A选项：由已知为等边三角形，且S,“c=3斤，

可得s3@AB，=立R。,即.4B=BC=4C=R,

SBC44

所以/OB,ABOC,zUOC均为等边三角形，

则a=尸=y=g,

所以a=A=c=]A,A选项正确；

B选项：由己知可得。=aR,b=/3R,c=yR,且/+62=02,

则（aR『+（/?H『=0R）2,即B选项正确；

C选项：由平面△4AC为直角三角形，且/力C8=5,

则,4。2+4。2=452,

即2Rsing、+（2Rsi吟）=2心呜）,

BPsin—+sin2—=sin2—,化［前可得cosa+cosp—cosy=1,

222

可设a=〃=］,7=］，

Ma2+b2=—R2<c2=—R2,C选项错误；

94

D选项：由已知q=A=c=；R,则a=4=7=m，

即三棱锥0-48。，

o

如图所示，设。为〃。中点，"为△/1BC的外心，则OMJ_平面

则,4。=立&,AM=­R,

23

则0M=qOA,+AM?=—/?,

3

所以三棱锥O-/8C的体积%_"c=，S"8c.QW=gx；x&x曰/?xg/?=^|&3,

所以球面O-力8。的体积/＞七=1尺3,D选项正确：

故诜：ABD.

12.-

7

【详解】根据题意，tana=亘吧，可得」一=*,

cosatanasina

出"八、、1HKIsinacosa

将其代入tana+-------=7中，得钊-----+-：----7,

tanacosasina

、+4＞彳.示八sin2a+cos2a-

进仃通分，可得-------------=7,

cosasina

所以---------=7,所以cosasina=',

cosasina7

2

则sin2a=2sinacosa

故答案为：与2

13.必要不充分条件

,,2-/n>0

【详解】由上+上=1表示的曲线是一个椭圆，得〃?+1>0，解得/〃C(_I，!)U(12).

2-mm+\r।22

2-/〃wm+1

所以当小£(-1，331,2)时，+上=1表示的曲线是一个椭圆.

222-mw+1

所以阳w(-l,2)是方程_匚+上=1表示的曲线是椭圆的必要不充分条件.

2-mm+1

故答案为：必要不充分条件.

14.~?8

【详解】直线/的方程可化为(x+y_l)，〃+3x_2y_2=0,

lx+^-l=O

|3x-2y-2=0,=>

所以直线经过定点产弓4,1

—+1公—+2..

,537511

后，尸4—二弓，kpB=%-=--

-+27--26

55

•••直线/与线段”相交,

①当机=2时满足条件.

②当机工2时，贝生?大,或—吗解得：一］《，，，W8且机工2；

m-27切一262

-3'

综上可得：〃?e--,8.

故答案为：一"1‘8

(2)所以直线，2的斜截式方程为)，=Gx-2,在V轴上的截距为-2.

【详解】(1)因为直线4的方向向量〃=(3,一行)，

所以直线4的斜率存在，设直线4的斜率为占，则勺=4

若直线4与直线4平行，则直线4的斜率存在，

设直线4的斜率为％2,则与=-日，

乂直线4过点(6,1),

所以直线6的方程为y-l=-亨卜-G），

化为斜截式可得y=-*x+2,

因为直线4的斜率勺二-走，所以tana=-、3,又。«0,加），

33

所以a=当，

6

所以直线〃的斜截式方程为旷=-亨x+2,倾斜角。=费，

（2）若直线/|与直线4垂直，

由（1）可得直线4的斜率存在，且左他=-1,又4=谭，

所以4=6,

所以直线4的方程为y-i=G（x-6）,

化为斜截式可得y=

所以直线，2的斜截式方程为y=&-2,在y轴上的截距为-2.

16.（1）0.030

⑵总平均数62,总方差为37

⑶I

【详解】（1）解：根据频率分布直方图的性质，各个小矩形的面积之和为1,

可得（0.005+0.010+0.020+。+0.025+0.010）'10=1,解得a=0.030.

（2）解：由频率分布直方图得，落在［50,60）的市民人数为】ooxo.i=io人，落在［60,70）的市民人数为

100x0.2=20人，

因为在［50,60）的平均成绩是54,方差是7,在［60,70）的平均成绩为66,方差是4,

-I

所以这两组成绩的总平均数》=正［茄（10x54+20x66）=62,

总方差为/=正右口+（54-62）1+证珠口+（66-62）2］=37,

（3）解：由（2）知，落在［50,60）的市民人数为10人，落在［60,70）的市民人数为20人,

所以分层抽样的方法从成绩在［50,60）和［60,70）这两组的市民中共抽取6人，

其中落在［50,60）的人数为2人，落在［60,70）的人数为4人，分别用和1,2,3,4表示,

从中任取两个人参加某社区的卫生清洁工作，

可得样本空间为：{(a,b),(a,l),(a,2),(a,3),(44),(仇1)02),(a3),(仇4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},

共有15种,

其中至少有一个人的成绩在[50,60)的有{(〃力),(〃[),32),(〃,3),5,4),(41),(42),(43),(84)},共9种,

■Qa

所以选出的这两个人中至少有一个人的成绩在［50,60）的概率为P=］=］

17.(1)[---Fkit,—FA-rt],kwZ

36

⑵平

J

【详解】(1)解：由向量=(cosx+sinx,瓜iax),n=(cosx-sinx,2COSA),

可得函数

/(X)=tn•n=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+275sinxcosx

=cos2x-sin2x+\[3sin2x=cos2x+V3sin2x=2sin(2x+-),

6

令—+2ATIW2X+—4—+2ATC,keZ,解得—+kjtVxV—I-ku,keZ,

26236

所以函数/(x)的单调递增区间为[-三+也?+矶，A".

36

(2)解:因为。•8s8=bsia4,由正弦定理得sin4cos3=sin6sinJ,

又因为力£（0,兀），可得sin4>0,所以cos8=sin8,即tan8=1,

IT

因为、。，叽所以5K

由(1)知/(x)=2sin(2x+f),

6

An二孚,可得2.吗+令+夕=孚,

因为了―+―

26

即2sin(4+巴,即2cos4所以cos/

25510

乂因为Nw(0,7i),WJsin/l=Vl-cos2J=^

10

rz

因为4+8+C=TT,则sinC=sin(J+B)=sin(J+-j)=-^-(sinA+cosA)

/226

+

18.（1）证明见解析；

⑵亨；

（3）存在，理由见解析.

【详解】（1）因长方形力BC。中，AB=2,AD=\,E为。。的中点，所以。E=EC=1.

故△力。石和"CE均为等腰直角三角形，因此NmEn/BECudS。，所有4欧=90。，BPAELBE.

又平面。'力E_L平面/5CE,且平面。ZEc平面43CE=/1石，BEu平面/5CE,AELBE,

所以BE1，平面。N£.

又力。‘u平面Q"E,故BEtAD',BPAD11BE.

（2）如图，取力E的中点为O,连接。

又平面ONE_L平面/14CE,且平面QNEc平面力灰芯=力£\所以Q'O_L平面力次”.

所以直线与平面ABCE所成先为NO归。.

在等腰直角三角形中，AD,=D'E=\,所以立，LA（）=OE=—.

22

又在直角三角形8OE中，BE=NBC、EC2=五，。£=芋，

所以。8=y/OE2+BE2=/（¥）?+（板＞=.

在直角三角形中，tanNO'C8=3E=a=E.

OBVI03

F

故直线。火与平面ABCE所成角的正切值立•.

5

（3）棱E。'上存在一点P,使得。'8〃平面P/C.

连接力C交8E于M点，当点P为线段的一个靠近£的三等分点时，。力〃平面21C.

理由如下：

D’

EMEC1

在梯形/18CE中，AB=2EC=2,所以相似于△8.V",且---=---=—.

MBAB2

FP1

当点尸为线段的一个靠近E的三等分点时，