江苏南京市2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学（试卷+解析）

2025-2026学年第二学期期末试卷

八年级数学

注意事项：

1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，

答在本试卷上无效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再

将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位

置，在其他位置答题一律无效.

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一.选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V12D.VL5

B.IC.

2.下列事件是随机事件的是（）

A.在标准大气压下，温度低于（TC时水结冰

B任意画一个三角形，其内角和是360。

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

D.367人中至少有2人的生日相同

3.下列各式从左到右变形一定正确的是（)

xx-xxXx+12-x_x

A.—=—B.一=.C.

yyyy+i2-yy

4.已知点力（"7,必），8（一叫必），C（2〃7,乃）在反比例函数y=L的图象上，若加>0,则％,y2,y3

X

的大小关系为（）

A.必>外>%B.乂〉y2c.必>N>必D.%>y>为

5.如图，在四边形48CQ中，E、/是对角线/C上的两点（不与点/、C重合），且力E=CF,连接

BE、BF、DE、。尸，则下歹!结论错误的是（）

AD

A.若四边形力4c。是平行四边形，则四边形8尸。石是平行四边形

B.若四边形力是菱形，则四边形8bOE是菱形

C.若四边形力BCD是矩形，则四边形B户工石是矩形

D.若四边形力片。是正方形，贝J四边形是菱形

6.已知关于x的一元二次方程ad+&+c=0（〃wO）,下列说法中正确的个数有（）

①若6=0,则方程总有实数根；②若〃=4c/c，则方程有两个相等的实数根；

③若。=b=c,则方程无实数根；④若b=Q+c,则方程总有实数根.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二,填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置

上）

7.式子在实数范围内有意义，则上的取值范围是.

r2-4

8.若分式~的值为0,则x的值是_____.

x+2

9.某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是

（精确到0.01）

抽取的乒乓球数

50100200500100015002000

n

次品的频数〃？2512295474102

m

次品的频率一0.0400.0500.0600.0580.0540.0490.051

n

10.甲、乙两人沿着总长度为10km的道路匀速行走，甲的速度是乙的1.2倍，甲走完全程比乙少用

0.2h,设乙的速度为xkm/h,根据题意，可列方程为.

11.如图，已知E、F、G、〃分另J是矩形四边处?、BC、CD、的中点，且四边形£FG〃的周长为

16cm,则矩形的对角线长等于cm.

12.如图，在o/IBCD中，ZJ=700,将口力8C。绕顶点〃顺时针旋转到口48GA，当首次经过顶

点C时，旋转角乙4B4='

13.已知关于x的分式方程之■+手坦=|的解是正数，则机的取值范围是

x-22-x

14.如图，在梯形力8C。中，AD\\BC,E为。。的中点，过点后作防_L48,垂足为尸，EF=4,

AB=3,则梯形N8C。的面积为

k

15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=-(x<0)的图象分别与等腰直角△403的直角边力8和

x

斜边05交于点C,。，点/在x轴负半轴上，连接力D,CD,若ADtOB,且△BCO的面积为3,

贝IJk二_______

16.如图，在菱形力BCQ中，力。=3,BD=2,£为线段4c上的动点，四边形D4E/为平行四边

形，则BE+3b的最小值为

三,解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

17.计算：

(1)+y/9a----2(a>0)；

v3

(2)(0_1卜(石+2⑹M-2⑹.

18.分解因式:

(1)4x2-80+4y2；

(2)(a?+。)~-(〃+1)2,

19.解下列方程：

(1)X2-6.X+3=0;

(2)—+2=^^-

x-36-2x

x-2（3、

20.先化简，再求值：----x+1，其中x=0-2.

x-iIx—\)

21.某校八年级举行了知识挑战赛.为了解全年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生

的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表.

各组成绩的频数分布表

组别成绩X/分频数

A60<x<706

B70<x<8012

C80vx<90a

D90<x<10024

各组人数的扇形统计图

根据以上信息，解决下列问题：

（I）本次调查一共随机抽取了名参赛学生的成绩，表中。二;

（2）扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为。；

（3）请估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？

k

22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数必=x+l的图象与反比例函数%=一（左为常数，左。0）的

k

（2）关于x的不等式x+l>—的解集为；

X

（3）若点尸在y轴上，旦.力吕尸的面积为6,直接写出点尸的坐标.

23.如图，在。力8c。中，4E平分/B4D交BC于前E,C77平分N8CQ交4。于点/，分别作

“BE、△CO/7的中线8G、DH,连接E4,FG.

（1）求证：四边形尸GE”是平行四边形；

An

（2）若NGEH=60。，当一二时，四边形/GE〃是菱形.

BC

24.已知关于x的一元二次方程V-（加+3）x+〃?+2=0.

（1）求证：无论，〃取何值，方程总有实数根；

（2）若方程的一个实数根是3,求另一个实数根和”的值.

25.解决问题:

⑴关于分式有这样一个结论：若『1且"d"则请补全下面小明的证明过

设§=/=k,则。=乩，①上，

所以匿=②上=③上二匕

所以籍得名

（2）小红从小明的证明过程中获得启发，尝试解决下列问题:

11,b

已知一+—=1(x>0,歹>0),——(a>0,/>>()),求证：y/ax+hy=yfa+〃.

xy

ba,

证明：设一=u=…请接着完成证明.

xy

26.在正方形/8C。中，点E在边力B上，点/在边力。上，连接CE,BF交干点、G,CELBF.

图①图②

（1）如图①，求证：AF=BE；

（2）如图②，若点E是18的中点，连接4G并延长交8C于点尸.

①求证：GA平分NEGF；

②若正方形力8。边长为4,则CP=.

27.利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分.

（1）如图①，EH是/MEN的三等分线,ZMEH=2/HEN,尽D在EHk,过点。作

DA〃EN,交EM于点、A,分别过点4、点。作48_LEN,DCVEN,垂足为8、C,AB交EH

于点尸，点。是。b的中点，连接NO并延长交CD于点G.猜想/G与4石的数量关系，并说明理由.

（2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数y=』（x>0）的图象成功将锐角三等分，作法如卜.：

I.如图②，建立平面直角坐标系，将已知N408的顶点与原点。重合，角的一边。4与工轴正方向重

合：

2.在平面直角坐标系里，绘制函数y=—（x>0）的图象，图象与已知角的另一边ON交于点P；

X

3.以尸为圆心，以2。。为半径作弧，交函数y=■的图象于点火；

X

4.分别过点P和R作X轴和N轴的平行线，两线相交于点T；

5.连接。r,得至

请根据以上作法，证明/八94=；//。4.

k

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点力在x轴上，请你利用反比例函数y=—Ck>Ox>0）的图

xt

象作出线段。力的三等分点.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明.）

2025-2026学年第二学期期末试卷

八年级数学

注意事项：

1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，

答在本试卷上无效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再

将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位

置，在其他位置答题一律无效.

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.

一.选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.y/\2B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据最简二次根式的定义分别对A、B、C、D各选项的二次根式进行判断即可得答案.

【详解】解：A.口="3=20，可以化简，不是最简二次根式，故A选项错误.

B.『也,可以化简，不是最简二次根式，故B选项错误.

V22

c.-!==—,可以化简，不是最简二次根式，故c选项错误.

出3

D.拒的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项正确.

2.下列事件是随机事件的是（）

A.在标准大气压下，温度低于0CC时水结冰

B.任意画一个三角形，其内角和是360。

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

D.367人中至少有2人的生日相同

【答案】C

【解析】

【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件;

不确定事件即随机事件是指在一定条件卜.，可能发生也可能不发生的事件：据此逐一判断即“J.

【详解】解：A.标准大气压下，温度低于0℃时水一定结冰，是必然事件，故该选项不符合题意，

B.任意三角形的内角和为180。，不是360。，故该选项为不可能事件，不符合题意,

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后•可能正面朝上，也可能反而朝上，故该选项是随机事件，符合题

意，

D.一年最多有366天，367人中至少有2人的生日相同，故该选项是必然事件，不符合题意.

3.下列各式从左到右变形•一定正确的是（）

xx2-xxxx+12-xx

AA.—-=—D=C----=—.

yy2-yy

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为（）的整式，分式的值不变，然

后举反例逐项判断.

【详解】解：A.当x=l,y=2时，-=^,=二!工!，故该选项不一定正确，不符合题意，

y2y-42

-VX

B.一二一一变形一定正确，故该选项符合题意，

yy

一x1x+121.

C.当x=l,y=2时，一=二，----=-*—,故该选项不一定正确，不符合题意,

y2y+\32

2—xxI

D.当x=l,y=3时，--=-1,-=-*-1,故该选项不一定正确，不符合题意.

2-yy3

4.已知点人（"7,%），5（一见外）,。（2叽%）在反比例函数尸L的图象上，若加〉0,则N，y2,为

X

的大小关系为（）

A.必〉必〉必B.yx>y3>y2c.8>y>为D.必>%>y2

【答案】B

【解析】

【分析】先求出必="!■,y2=--,必=」一，再根据〃7>0比较大小即可.

mrn2,〃

【详解】解：,点,B（-m,y2）,。（2"八名）在V=，的图象上，

X

111

••/=_,y=——，必=丁.

mni2zm

a>0,

>—

ni2mm

即%>%>为•

5.如图，在四边形/8C。中，E、厂是对角线NC上的两点（不与点4、C重合），且彳E=C/,连接

BE、BF、DE、DF,则下列结论错误的是（）

A.若四边形力是平行四边形，则四边形8QOE是平行四边形

B.若四边形43CO是菱形，则四边形8TOE是菱形

C.若四边形/BCO是矩形，则四边形是矩形

D.若四边形48C。是正方形，贝］四边形4U）E是菱形

【答案】C

【解析】

【分析】连接8。交4c于点。，利用平行四边形对角线互相平分及力£=。/得出。七二。/，判定四边

形BEDE为平行四边形,再结合特殊平行四边形的性质逐项判断.

【详解】解：连接8。交4c于点。.

•••匹边形48CQ是平行四边形,

：.OA=OC,OB=OD.

VAE=CF,

:.OA-AE=OC-CF,

即OE-OF.

・：OB=OD,OE=OF,

匹边形上是平行四边形，故A不符合题意.

若四边形是菱形，

AC1BD,即七户'_L3O.

•••匹边形BFDE是平行四边形，

匹边形BFDE是菱形,故B不符合题意.

若四边形/18CO是矩形，

:.AC=BD.

•:E、尸是对角线4c上的两点（不与点力、。重合），

•••EF<4C,

即EF手BD.

•••匹边形BFDE不是矩形，故C符合题意.

若四边形/48C。是正方形，

；.4C1BD,

即EF1BD.

•••匹边形4立石是平行四边形，

.••匹边形4PDE是菱形，故D不符合题意.

6.已知关于x的一元二次方程尔+8+。=0（〃/0）,下列说法中正确的个数有（）

①若b=。,则方程总有实数根；②若〃=4〃c，则方程有两个相等的实数根；

③若。=力=。，则方程无实数根：④若力=。+。，则方程总有实数根.

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】结合已知确定根的判别式八二从―々Ze的符号，即可作出判断.

【详解】解：:一元二次方程.+以+c=0（〃wO）的根的判别式为△=〃-4ac，

①当Z?=0时，△=-4ac,

若ac>0,则Ac。，此时方程无实数根，故①错误；

②当〃二4农■时，△=（），此时方程有两个相等的实数根，故②正确；

③当〃=〃=d时，△=a?一4,/二一3〃2,

。w0,

***L>0，

/.A<0,此时方程无实数根，故③正确；

④当Z)=Q+C时，△=(o+c)2—4ac=(a-c『20,

此时方程总有实数根，故④正确；

综上所述，正确的个数有3个.

二,填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分,请把答案填写在答题卡相应位置

上)

7.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

【答案】忘3

【解析】

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.

【详解】由题意可得：x-3>0,

解得：,仑3,

故答案为：.仑3

本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

Y2-4

8.若分式的值为()，则％的值是

x+2

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零.根据分式的值为零的条件得:

/一4=0且x+2w0,即可求解.

【详解】解：根据分式的值为零的条件得：/一4=0且x+2#0,

解得：x=2.

故答案为：2.

9.某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是

.(精确到0.01)

抽取的乒乓球数50100200500100015002000

11

次品的频数〃？2512295474102

m

次品的频率一0.0400.0500.0600.0580.0540.0490.051

n

【答案】0.05

【解析】

【分析】大量重复试验中，频率稳定后的值可作为概率的估计值，观察表格中试验次数增大后的频率即可

得到结果.

【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在0.05,则任意抽取一只乒

乓球是次品的概率估计值是0.05.

10.甲、乙两人沿着总长度为1（）km的道路匀速行走，甲的速度是乙的1.2倍，甲走完全程比乙少用

0.2h.设乙的速度为xkm/h,根据题意，可列方程为.

【答案】---=0.2

x1.2x

【解析】

【分析】根据“甲走完全程比乙少用0.2h.”列出方程，即可求解.

【详解】解：设乙的速度为xkm/h,则甲的速度是1.2xkm/h,根据题意，可列方程为

叫生=0.2.

x1.2x

11.如图，己知£、F、G、"分别是矩形四边48、BC、CD、。力的中点，且四边形EFG”的周长为

16cm,则矩形力8C。的对角线长等于cm.

【2】8

【解析】

【分析】连接力C、根据矩形的性质可得根据二角形中位线的性质可得〃G=£W=1Z/C,

2

EH=FG=-BD,根据四边形EFG”的周长为16cm列式求解即可.

2

【详解】解：如图，连接4C、BD,

•・•四边形48co是矩形，

：.AC=BD,

,:E、F、G、〃分别是月5、BC、CD、04的中点,

：.HG=EF=-AC,EH=FG=、BD,

22

・•・四边形EFGH的周长等于HG+EF+EH+FG=^-AC=16,

2

则,4C=8cm.

故答案为：8.

本题考查矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是掌握三角形中位线定理.三角形的中位线平

行于第三边，并且等于第三边的一半.

12.如图，在。力8。。中，ZJ=70°,将。48CO绕顶点8顺时针旋转到口48CQ,当GA首次经过顶

点C时，旋转角乙4B4='

【答案】40

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定

理，解题的关犍是证明三角形CBG是等腰三角形.由旋转的性质可知8C=8G，由等腰三角形的性质得

出乙BCC\=NG,根据旋转角相等可得4B4=NCBG=40°.

【详解】解：丁口ABCD绕顶点B顺时针旋转到o45GA,

/.BC=BC、,

・•・/BCC\=ZC,,

•・•ZJ=70°,

・•.ZC=ZC,=70°,

/BCC\=ZCj,

・•・ZC^C,=180°-2x70°=40°,

・•・/ABA,=ZCBC}=40°

故答案为：40.

13.已知关于x的分式方程三+字0=1的解是正数，则机的取值范围是

x-22-x

【答案】〃7>—1且加工3

【解析】

【分析】先求解分式方程得到X关于6的表达式，再根据解为正数、分式有意义的条件列不等式，即可求

出阳的取值范围.

【详解】解：原方程2+等坦=1可变形为鸟一丝3=1,

x—22—xx—2x—2

两边同乘x-2得

3x-(/w+3)=x-2,

整理得

2x=〃？+1，

•••方程的解是正数，

-阳--+---1>0八，

2

解得〃?>一1,

•••分式方程分母不为(),

，工一2工0,即"2,

代人得彳工2,

解得加工3,

因此〃?的取值范围是m>一1且/n工3.

14.如图，在梯形/3CO中，AD\\BC,E为C。的中点，过点上作E尸14月，垂足为尸，EF=4,

AB=3,则梯形46C。的面积为.

【答案】

12

【解析】

【分析】延长AE交BC的延长线于点G,连接通过证明"DE*GCE将梯形面积转化为

△ABG的面积，利用三角形中线性质及面积公式求解.

【详解】解：延长力后交4。的延长线于点G,连接8E,

­.AD\\BC,

.-.AD\\BGf

:"D=4DCG,

•••E为。。的中点，

:.DE=CE,

在△ZOE和AGCE中,

ND=4DCG

-DE=CE,

NAED=/GEC

；.“DE%GCE（ASA）,

••S&ADE=S,GC£，4E=GE，

=

S梯形=S四边形488+S&ADES四边形.45C£+=S“8G，

•.•AE=GE,

:.BE是“BG的中线，

•c-7c

…J&ABG~4°GABE»

•/EFA.AB,EF=4,AB=3,

:.S=-ABEF=-x3x4=6,

AAnf{hF22

*'-S那形18a）=2x6=12•

k

15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=-（x〈O）的图象分别与等腰直角△力。6的直角边力8和

x

斜边08交于点C,。，点/在x轴负半轴上，连接力。，CD,若ADLOB,且△8C。的面积为3,

贝I长二.

【解析】

k

【分析】作。石_L4O,连接CO,根据等腰直角三角形的性质得SACDO=SJS=3,再设点0（。,一）,

a

则点8（2。,竺），即可求出S°EO=—S.B°=_2k,同理S“co=—5，最后根据

a22

S"CD+SKDO+S.CAO=S,ABO求出答案.

【详解】解：过点。作QEJ_4。，交X轴于点E,

•・•等腰直角△408,ADA.BO,

:・BD=DO,则点。是50的中点.

/.AE=E0=—A0，

2

二.AB=2DE,

BCD=3,

.S-c-1

,•J&CDO~八时。~〃•

k

设点。伍,1）,

k

•••E。=一团由，OE=一，

a

2k

AAO=-2a,AB=——，

a

（孙&皿《（-2若7,同理S“c°W，

•C_|_C_1_C-c

••°ABCDT"80T^^CAO~3"BO'

k

即3+3+（一一）=一2八

2

解得力=-4.

16.如图，在菱形48。。中，AD=3,80=2,E为线段上的动点，四边形D4EP为平行四边

形，则8E+8/7的最小值为.

【答案】V17

【解析】

【分析】根据对称性找到点七关于直线MN对称的点E',过点E'作E'GJ_77）的延长线于点G,根据两

点之间线段最短，当点£'、B、/三点共线时，BE+BF取得最小值£厂,利用平行四边形、矩形、菱

形的性质和勾股定理求出BE+BF的最小值.

【详解】解：过点8作A/NII力C,作点£关于直线A/N对称的点E',过点£作七'6_1心的延长线于

点G,交MN于点

,:点、E和点E'关于直线MN对称，

・•・BE=BE,

・•・BE+BF=BE'+BFWE'F,

当点石'、B、F三点共线时，8E+取得最小值K'F,

•・•四边形48CQ为菱形，

AAC1BD,AO=CO=-AC,BO=DO=-BD=\

22t

在RtziZ。。中，AD=3,00=1,根据勾股定理得，AO=>jAD2-DO2=732-12=2>/2»

；・力。=240=4五，

•・•四边形DAEF为平行四边形，

AAE//DF,AE=DF,

即4c〃。/，

•・・W||JC,

：,//DF//AC.

•:EG±FD,

AE'G±AC,EG1MN,

・•・乙DGE=/GEO=4EOD=90°,

・•・四边形GEO。为矩形，

同理，四边形E//BO为矩形，

・•・GE=OD=OB=EH=\,GD=OE,

•/BE-BE,EG1MN,

・•・EH=E'H=1，

・•・E'G=1+1+1=3,

•：AE=DF,GD=OE,

：-GF=GD+DF=OE+AE=AO=2应，

在Rt/iE'GP中，根据勾股定理得，E'F=yjErG2+GF2=J32+（2>/2）2=>/17»

・•・BE+8尸的最小值为JF7.

三,解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

17.计算：

ar

(1)+49a----2(a>0):

V3

(2)(V2-1)2+(V3+275)(73-275).

【答案】(1)3JZ

⑵-14-272

【解析】

【分析】（1）先化简每一项二次根式，再合并同类项得到结果；

（2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项得到结果.

【小问1详解】

解：原式二Ja2•—+3y/a—>/3a

=>/3a+3y/a-y/3a

=3&;

【小问2详解】

解：原式二（2-2近+1）+（3-20）

=3-272-17

=-14-272.

18.分解因式:

(I)4r2-闲+4y2

(2)(/+4)~+1)2.

【答案】⑴4(x-y)2

(2)(〃+1)3伍-1)

【解析】

【分析】(1)先提取公因式4,再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案；

(2)应用平方差公式进行求解即可得出答案.

【小问I详解】

22

解：4x-8.r✓y+4✓v

=4(x2-2xy+y2>j

=4(x-y『；

【小问2详解】

解：

=[(a2+a)+(a+1)][(a2+a)-(a+1)]

=(/+2〃+1),2-I)

=(a+l)'(6f+l)(a-l)

=(a+l)3(a-l)

本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法进行求解是解决本题的关

键.

19.解下列方程：

⑴x2-6x4-3=0：

1x-5

(2)+2=

x-36-2x

【答案】(1)

X1=3+A/6,=3-yjb；

(2)

原方程无解.

【解析】

【分析】(1)用配方法变形方程后开方求解.；

(2)去分母转化为整式方程求解，检验后舍去增根得到结论.

【小问1详解】

解：x2—6x+3=0移项得x2—6x=-3，

配方得/-6工+9=-3+9,

即(工一3)2=6,

开方得x-3=士#,

解得X1=3+>/6,x2=3-\[b.

【小问2详解】

解：+2二七

X—36—2x

方程变形为达+2二.r-5

2—3)

两边同乘2(X—3)得2+4(x-3)=-5),

去括号得2+4x-12=-x+5,

移项合并同类项得5x=15,

解得x=3.

检验：当x=3时，2(X-3)=0.

因此x=3是增根.

所以原方程无解.

x-2(31

20.先化简，再求值：-~x+1——-其中x=0-2.

x-lX-1/

【答案】1五

x+2'2

【解析】

【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化.先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后约分,

最后将x的值代入化简后的式子计算即可.

x-2(3

【详解】解：.-x+1-

x-iIx-\

A-2(x+l)(x—1)—3

"x-\"二i

_x-2x-\

-7^T\2-4

_x-2

"(x+2)(x-2)

-7+2

当工=加-2时，原式=也

V2-2+2

21.某校八年级举行了知识挑战赛.为了解全年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生

的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表.

各组成绩的频数分布表

组别成绩x/分频数

A60<x<706

B70<x<8012

C80Kxe90a

D90Kx<10024

各组人数的扇形统计图

根据以上信息，解决卜.列问题：

（1）本次调查一共随机抽取了名参赛学生的成绩，表中。=

（2）扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为。；

（3）请估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生有多少人？

【答案】（1）60,18

（2）72

（3）估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数为560人

【解析】

【分析】（1）用D组的频数乘以D组所占的百分比可求出抽取的学生人数，用抽取的学生人数减去其它组

的人数可求”的值：

（2）用360。乘以B组所占的百分比即可求解；

（3）用总人数乘以八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数所占的百分比即可求解.

【小问1详解】

解：本次调查一共随机抽取的学生数为：24+40%=60（人，

a=60-6-12-24=18：

【小问2详解】

12

解：B组对应的圆心角的度数为：360°X—=72°；

60

【小问3详解】

解：估计该校八年级竞赛成绩达到80分及以上的学生人数为：

800x18+24=560（人）.

60

k

22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数必=x+l的图象与反比例函数为=一（A■为常数，人工0）的

x

图象交于4、4两点，点4的横坐标为1.

（1）求）的值;

k

（2）关于x的不等式x+l>—的解集为；

X

（3）若点尸在N轴上，旦△NB尸的面积为6,直接写出点。的坐标.

【答案】（1）〃的值为2

（2）x>l或-2Vx<0

（3）（0,5）或（0,-3）

【解析】

【分析】(1)先求出点4的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解；

(2)联立方程，求出点8的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可：

(3)直线交y轴于点C,先求出C(O,l),设。(o,〃)，则。尸二|〃一1],根据S"期=S>b+S.8c/>，

3

列出方程]|〃一1|=6,求解即可.

【小问1详解】

解：,••点4在一次函数,=x+l的图象与反比例函数为二8(左为常数，k，0)的图象上，

x

.,.当x=l时，y=1+1=2,

A.4(1,2),

「.£=1x2=2；

【小问2详解】

2

解：•.♦一次函数乂=x+l的图象与反比例函数必二一的图象交于力、“两点，

X

2

.•.工+1=一，整理得/+.2=()，解得$=-2,x=\,

X2

•••点A的横坐标为1,

..•点4的横坐标为一2,

k

则由图可知，不等式x+l>—的解集为X>1或—2<x<0；

X

【小问3详解】

解：如图，直线48交y轴于点c,

当工=0时，y=o+l=l,

则C(O,l)，

设尸(0,〃),则。尸二|〃一1卜

•••点4的横坐标为1,点8的横坐标为-2,

I)3

."SAA<nf>tpA-/-ik-SfAACPA+ttvSr〃BC2P~—X]xCP2H1—1xI—2|xCP2——CP,

,•*S&ABP=6,

3

/.-1/7-1|=6,则〃-1=4或〃-1=-4,

解得刀=5或〃二一3,

则P（0,5）或（0,-3）.

23.如图，在。43CD中，/E平分NR4O交5C于点E,W平分N5CQ交/。于点F,分别作

“BE、△C。/7的中线8G、DH、连接EH,FG.

（1）求证：四边形尸GE”是平行四边形：

⑵若/GEH=60。,当丝=时・，四边形/GE”是菱形.

BC

【答案】（1）证明：•••四边形力5CO是平行四边形

:.AB=CD,ZABC=ZADC,ZBAD=ZBCD,AD//BC

♦；AE平分/BAD,CF平分乙BCD

NDAE=/BAE=-/B/D,NDCF=ZBCF=-/BCD,

22

/BAE=/DCF

在“BE和△CQ/?中

/ABC=NADC

<AB=CD,

NBAE=NDCF

以ABE^△CZ)F(ASA),

AE=CF,BE=DF

•；BG、DH分别是△力BE、△8厂的中线

:.G,，分别是4E、Cr的中点

4G=GE=；AE,CH=FH=；CF,

GE-FH,

•・•AD//BC,

NDAE=4AEB,

・•・/AEB=/BCF,

AAE//CF,

・•・四边形FGEH是平行四边形：

AB2

（2）当——二一时，四边形尸是菱形.

BC3

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到力B=CD,N4BC=N4DC,NB4D=/BCD,AD//BC,

根据角平分线，推导出ND4E=NB4E二L/B/ID,ZDCF=ZBCF=-ZBCD,得到

22

ZBAE=ZDCF,继而推导出△/8月会久。尸（力弘），得到/E=CF,BE=DF,进而推导出

GE=FH,AE//CF,则四边形尸GE”是平行四边形，即可解答；

（2）设GE=x，则ZG=GE=/7/=C〃=x,AE=CF=2x,推导出当四边形/GE”是菱形时,

EH=CH=X,证明出△CE”是等边三角形，得到"二C"二八，

AR2

ZBAE=ZLAEB=60°,继而推导出△48E是等边三角形，求出/8=2x,BC=3x,得到当一=-

BC3

时，四边形/GE〃是菱形，即可解答.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

解：设GE=x,则4G=GE=FH=CH=x,

AE=CF=2x,

当四边形/GEH是菱形时，

GE=EH=x,即EH=CH=工,

•.•4GEH=60o,AE〃CF,

ACHE=ZGEH=60°,

.•.△CEH是等边三角形,

CE=CH=x,/ECH=60。

/.BAE-Z.AEB-/ECU-60°,

.•.△48E是等边三角形，

AB=BE=AE=2x,

/.BC=BE+CE=3x»

.AB_2x_2

■5C_3x-3*

AR2

・••当——二不时，四边形是菱形.

BC3

24.已知关于人的一元一次方程V—(〃7+3)工十"7十2=0.

(1)求证：无论胴取何值，方程总有实数根；

(2)若方程的一个实数根是3,求另一个实数根和加的值.

【答案】(1)证明：在一元二次方程一一(〃2+3)工+〃?+2=0中，a=l,b--(/??+3),c=ni+2,

A=Z)2-4«c=[-(w+3)]~-4xlx(w+2)

=m'+6加十9一4m-8

=w2+2m+1

=(M+1)2,

•.•无论"取何值，(〃7+1)2NO,即ANO,.•.无论〃，取何值，方程总有实数根；

(2)m的值为1,方程的另一个实数根为1.

【解析】

【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式证明即可；

(2)将x=3代入求出/〃的值，再利用因式分解法解方程即可.

【小问1详解】

略