浙教版九年级数学上册每日一题（21-25）相似三角形综合应用（含解析）

每日一题21相似三角形的综合应用

班级小组姓名

21.如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1,BC=V3,点E在边CD上移动，连接AE,将多边形

ABCF沿AE折叠，得到多边形ABXTE,点B,C的对应点分别为点"，C\

（1）当恰好经过点D时（如图1）求线段CE的长；

（2）若BC分别交AD,CD于点F,G,且NDAE=22.5°,（如图2）,求4DFG的面积；

（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C移动的路径长.

B'B'

每日一题22相似三角形的综合应用

班级小组姓名

22.在△ABC中，ZABC=90°.

(1)如图1,分别过A、。两点作经过点8的直线的垂线，垂足分别为M、N,求证：△ABMSZXBCN.

(2)如图2,。是边BC上一点，NBAP=NC,3?//^C=管，求心”C的值.

(3)如图3,。是边CA延长线上一点，AE=AB.ZDEI3=90\sinZBAC=-,—直接写

5AC5

出tanCEB的值.

每日一题23相似三角形的综合应用

班级小组姓名

23.如图，在△48C中，A8=4&，N8=45。，ZC=60°.

(1)求3c边上的高线长.

(2)点石为线段A8的中点，点尸在边AC上，连结E凡沿石尸将△4石尸折叠得到△PE凡

①如图2,当点P落在8C上时，求NAEP的度数.

②如图3,连结4P,当P/UAC时，求AP的长.

每日一题24相似三角形的综合应用

班级小组姓名

24.在数学兴趣小组活动中，个亮进行数学探究活动.△A8C是边长为2的等边三角形，E是AC上一

点，小亮以BE为边向8E的右侧作等边三角形8£/，连接CR

(1)如图I,当点七在线段AC上时，EF、8C相交于点/),小亮发现有两个三角形全等，请你找

出来，并证明.

(2)当点£在线段AC上运动时，点尸也随着运动，若四边形A8R2的面积为求AE的长.

(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时，CF、相交于点。，请你探求△£©£＞的面积与

与AOB尸的面积Sz之间的数量关系，并说明理由.

(4)如图2,当△ECO的面枳Si=正时，求A£的长.

图1图2

每日一题25相似三角形的综合应用

班级小组姓名

25.某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1,在AABC中，点O在线段BC上，Z

BA0=30°,Z0AC=75°,AO=3，5,BO:CO=1:3,求AB的长。

经过社团成员讨论发现，过点B作BD〃AC,交AO的延长线于点D,通过构造4ABD就可以解决问

题（如图2）o

请问答：ZADB=,AB=.

请参考以上解题思路，解决问题：

如图3,在四边形ABCD中，对角线人（：与8口相交于点0人（3，庆4人0=36,/41优=/人03=75°,

BO:OD=1:3,求DC的长。

（第25题图1）（第25题图2）（25题图3）

每日一题21答案

21.解：(1)由折叠知：ZB,=ZB=90°,AB,=AB=1,BC=BC=5CE=CE；

由勾股定理得B，D=“犷一人晓二五,：,DC=6-6,

VZADE=90°，・・・NADB'iNEDC'=90°

•・・NADB，+NDAB=90°,/.ZEDC^ZDAB',

•・・NB'二NC'=90°，•••△AB'DSZ\DC'E

AB'_B'D

=即〒一^=—/.CE=V6-2;

~DC'~CEV3-V2CE

(2)如图，连接AC,

BC/—

VlanZBAC=——=V3,AZBAC=60°，ZDAC=60°，

AC

VZDAE=22.5°，AZEAC=30°-22.5°=7.5°，

由折叠得NB'AE=NBAE=67.5°

・・・NB，AF=45°，AAF=V2,DF=g-正，

VZBTA=45°,ASADFG=-(V3-V2)2=--A/6;

(3)如图，连接AC',则AC'=AC=2,

・••点C的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧,

当点E运动到点D时，点C恰好在CD的延长线上，此时/CAC=60°,

每日一题22答案

【解题过程】证明：

(1)V/ABC=90°,

AZ3+Z2=180°-ZABC=180°-90°=90°,

又・.・AM_LMMCNLMN,

M=/N=90°,Zl+Z3=90°,

Z1=Z2.；・△ABMs/\BCN.37⑴答题图

(2)过P点作PN_LAP交AC于N点，过N作NM_L8c于M点,

*：ZBAP+ZAPB=90°,/AP4+NNPC=90。，

:・/BAP=/NPC,△BAP-XMPN,

APBA_BP

~PN~~MP~~MN™啜考

设MN=2«。，PM=2®,则8P=5。，AB=5b,37(2)答题图

又•：4BAP=4BCA,：,dPC=4BCA,：.NP=NC,PC=2PM=4舟

RA

又丛BAPsXBCA,—=—,：.BA2=BPBC,

BPBA

(5嫩=5电+4后)，解得:"鸟，；.由/=黑=祟*冬

(3)过A作交E8于〃，过。作CK_LE3交的延长线于K

FHDA2

VAE=AB:.EH=HB,易知AAHBs^BKC,——=—=-

HKAC5

设CK—3x>*.*△AHBs△BKC,；•----=-----,・・・HB=EH=4X

BCCK

....5EH20x.____CK3

—=——=lUx,・'・tanNC七6二——=一

22EK14

37(3)答题图

每日一题23答案

【解答】解：(1)如图1中，过点A作ADJ_BC于D.

在RQABD中，AD=AB・sin450=4.

(2)①如图2中，

VAAEF^APEF,/.AE=EP,VAE=EB,ABE=EP,/.ZEPB=ZB=45°,/.ZPEB=90°,

AZAEP=180°-90°=90°.

A

②如图3中，由（1）可知；AC=---------=------，

sin6003

*

VPF1AC,..ZPFA=90°；VAAEF^APEF,AZAFE=ZPFE=45°,

・・・NAFE=NB,VZEAF=ZCAB,AAAEF^AACB,

.AFAEniIAF2j2.昌v

・・——=——，即一7==-——，・・AF=2j3,在RiaAFP,AF=FP,

ABAC4V28陋

.\AP=V2AF=2A/6.

每日一题24答案

【解题过程】⑴发现点石沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有AABE丝ACBF.

由图1知，aABC与ZkEB尸都是等边三角形，所以4B=CB,BE=BF,

乂ZCBF=ZABE=60°-NCBE,所以△A3Eg△CBF.

(2)由(I)知点石在运动过程中始终有△A8E0△CBF,

VS四边形BEC产S△BCr+S&BCE，

S困成形BECF=Sa\BC，:△ABC的边长为2,贝ljS,M8C=G，

7Fx

所以四边形BECk的面积为&,又四边形Ab卜C的面积是长，

所以S.,后空，在三角形A8E中，因NA=60。，所以边AB上的高为AEsin60。,

4

M/\ABE=-AB-4Esin60°=-x2xAE=—,则

22242

⑶S2—s产G

由图2知，△ABC与ZXEB/都是等边三角形，所以A8=CB,BE=BF,

又ZCBF=N/1BE=60°+ZCBE,所以△/!BE/△CBF,

**.S,、AB£=SbCBF,S^FDff=Sr,ECD+Sr.ABC,

贝！JS△尸/用一SAEC/kSMBC=>/3»则5?—Si=G.

—

(4)由(3)知S?一Si;也,即SA™5AECD=X/3,

由S.ECD=立，得S.BD产包3,因

66

所以4斤。/，NBAE=NBCF=60°,

又NBAE=N4BC=60。，得NABGNBCT,所以C/〃AB,则△B。尸的高是逐，

771

则。辰一，设CE=x,则2+尸CZHOF=CD+—,所以。。二%一—，

333

CDCFr-l

在△A8£中，由CQ〃A3得，—=—,即3_x，

A"AE丁=有

2

化简得39—x—2=0,所以尸1或Q(舍)，

即CE=1,所以AE=3.

每日一题25答案

【解题过程】

(1)VBD/7ACAZBDO=ZOAC=75<>,