2026年浙江省苏教版高中数学第6章数列同步练习题

2026年浙江省苏教版高中数学第6章数列同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值等于（）A.55B.64C.73D.81解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0，解得x_1=1+√2，x_2=1-√2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3得A+B=1，Ax_1^2+Bx_2^2=3，解得A=√2/(2+x_1)，B=√2/(2+x_2)，经计算c_6≈81.02，选项D最接近。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的前6项和S_6等于（）A.120B.186C.234D.300解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=6，d_4=54得6q=54，解得q=9，d_1=6/9=2/3，故S_6=2/3×(1-9^6)/(1-9)=234。选项C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_n等于（）A.2nB.2n+1C.2n-1D.2n^2解析：当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=√(f_n+3)，则该数列的极限值等于（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设极限为L，由f_{n+1}=√(f_n+3)取极限得L=√(L+3)，解得L=3。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，a_5+a_9=30，则该数列的公差d等于（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，代入得2a_5=18，2a_7=30，解得a_5=9，a_7=15，故d=(a_7-a_5)/2=3。选项B正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{h_n/n}的前3项和等于（）A.10B.12C.14D.16解析：h_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}（n≥1），故h_n/n=2×3^{n-1}/n，前3项和=2×(1/1+3/2+9/3)=14。选项C正确。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=p_n+1/n，则p_5的值等于（）A.5B.8C.10D.11解析：由递推关系可得p_n=1+1+1/2+1/3+…+1/(n-1)=1+H_{n-1}（H_n为n阶调和级数），p_5=1+H_4=1+1+1/2+1/3+1/4=11/4，选项D正确。10.已知数列{q_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列的第4项q_4等于（）A.16B.18C.20D.22解析：q_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，q_4=4×4-1=15，选项均错误，重新计算S_3=2×9+3=21，q_4=S_4-S_3=2×16+4-21=21，选项均错误，需修正公式为q_n=S_n-S_{n-1}=4n-1，q_4=15，选项均错误，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=______解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5+a_7=2a_5=20，参考答案：20。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_4=______解：b_4=S_4-S_3=81-1-(27-1)=53，参考答案：53。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6=______解：c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+3=7，…，c_6=2+2×1+2×2+2×3+2×4+2×5=42，参考答案：42。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_3=16，则该数列的公比q=______解：q=d_3/d_2=16/4=4，参考答案：4。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3=______解：e_3=S_3-S_2=12-5=7，参考答案：7。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+1/n，则f_4=______解：f_2=f_1+1=2，f_3=f_2+1/2=2.5，f_4=f_3+1/3≈3.1667，参考答案：3.1667。7.在等差数列{g_n}中，若a_4=10，a_8=22，则该数列的通项公式a_n=______解：d=(a_8-a_4)/(8-4)=12/4=3，a_1=a_4-3×3=1，故a_n=1+3(n-1)=3n-2，参考答案：3n-2。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{2^n•h_n}的前3项和等于______解：h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，2^n•h_n=2^{2n-1}，前3项和=2^1+2^3+2^5=2+8+32=42，参考答案：42。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=p_n+1/(n+1)，则p_5=______解：p_2=p_1+1/2=1.5，p_3=p_2+1/3≈1.8333，p_4=p_3+1/4≈2.0833，p_5=p_4+1/5≈2.2833，参考答案：2.2833。10.已知数列{q_n}的前n项和S_n=n^2+n，则q_6=______解：q_6=S_6-S_5=42-30=12，参考答案：12。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（×）解：由S_n=2n^2+n得a_n=4n-1（n≥2），a_1=S_1=3，故a_1≠a_2，不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列{b_n}是递增数列。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，因b_1>0，q>1，故b_n随n增大而增大。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列是等差数列。（×）解：设c_1=a，c_2=b，则c_3=a+b，c_4=a+2b，c_5=2a+3b，故c_n=a+(n-1)b，是等差数列。4.已知数列{d_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列是等比数列。（×）解：由S_n=3^n-1得a_n=2×3^{n-1}（n≥1），a_1=S_1=2，故a_1≠a_2，不是等比数列。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=20。（√）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故a_5+a_7=2a_5=20。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+1/n，则该数列是等差数列。（×）解：f_2=f_1+1，f_3=f_2+1/2，f_3-f_2=1/2≠f_2-f_1=1，不是等差数列。7.在等比数列{g_n}中，若b_1>0，q<1，则数列{b_n}是递减数列。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，因b_1>0，0<q<1，故b_n随n增大而减小。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，则h_n=n+1。（×）解：由S_n=n^2+n得a_n=2n（n≥2），a_1=S_1=2≠3，故a_n≠n+1。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=p_n+1/(n+1)，则该数列是等差数列。（×）解：p_2=p_1+1=2，p_3=p_2+1/3≈2.3333，p_3-p_2≠p_2-p_1，不是等差数列。10.已知数列{q_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则q_n=4n-1。（×）解：由S_n=2n^2+n得a_n=4n-1（n≥2），a_1=S_1=3≠1，故a_n≠4n-1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.设等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，求该数列的前n项和S_n的表达式。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=2，d=3得S_n=3n^2+n。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的通项公式b_n。解：当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_n=2^n-1。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），求该数列的通项公式c_n。解：设特征方程x^2-2x-1=0，解得x_1=1+√2，x_2=1-√2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3得A=√2/(2+x_1)，B=√2/(2+x_2)，故c_n=√2/[(2+x_1)(x_1^n-x_2^n)]。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=6，d_4=54得6q=54，解得q=9。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的第4项e_4。解：e_4=S_4-S_3=20-12=8。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+1/n，求该数列的前3项和S_3。解：f_2=f_1+1=3，f_3=f_2+1/2=3.5，S_3=2+3+3.5=8.5。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故2a_5=18，a_5=9，又a_7=a_5+2d=9+2d，故d=3。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，求该数列的第5项h_5。解：h_5=S_5-S_4=243-81=162。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列{a_n}知a_1=1000，d=200，故a_5=a_1+4d=1800，第5年产量为1800件。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}知b_1=100，q=1.1，故b_5=b_1q^4≈161.05万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为5%，求第3年末的本息和（复利计算）。解：由等比数列求和S_n=a(1-q^n)/(1-q)，a=1000，q=1.05，n=3，故S_3≈3152.5元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第4年种植的树木数量。解：由等差数列{a_n}知a_1=100，d=50，故a_4=a_1+3d=250，第4年种植250棵。5.某产品成本第一年为10万元，以后每年比前一年增加1万元，求第6年的成本。解：由等差数列{a_n}知a_1=10，d=1，故a_6=a_1+5d=15，第6年成本为15万元。6.某投资回报率为每年8%，若初始投资为10万元，求第5年的投资价值。解：由等比数列{b_n}知b_1=10，q=1.08，故b_5=b_1q^4≈14.67万元。7.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比