2026年浙江省苏教版高中数学选修第2册第10章数列习题

2026年浙江省苏教版高中数学选修第2册第10章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.(n-1)•2^n+1解析：由递推式b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可知{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n。故b_n=2^n-1，S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，结合b_n表达式验证选项C正确。3.在等比数列{c_n}中，若c_2•c_8=64，且公比q≠1，则该数列的通项公式c_n等于（）A.2^(n-1)B.2^(n+1)C.4^nD.4^(n-1)解析：由等比数列性质c_2•c_8=c_5^2=64，得c_5=±8。若c_5=8，则c_1=2，q=2^(4/1)=16，通项c_n=2•16^(n-1)=2^(n+1)。若c_5=-8，则c_1=-16，q=-1/2，通项c_n=-16•(-1/2)^(n-1)=2^(n+1)。故统一为c_n=2^(n+1)。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的第5项a_5等于（）A.30B.31C.32D.33解析：a_5=S_5-S_4=3•5^2-2•5-[3•4^2-2•4]=75-10-48+8=25。5.若数列{d_n}满足d_1=2，d_n+1=√(d_n+d_n+1)（n∈N），则该数列的极限为（）A.1B.2C.3D.不存在解析：设极限为L，则d_n→L，d_n+1→L，代入递推式L=√(L+L)，得L^2=2L，解得L=2。6.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9等于（）A.24B.27C.30D.33解析：由等差数列性质a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，代入数据得18=12+9d，解得d=2/3。故a_7+a_8+a_9=a_4+a_5+a_6+9d=18+6=24。7.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则该数列的第10项e_10等于（）A.19B.20C.21D.22解析：e_n=S_n-S_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=2n，故e_10=2×10=20。8.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=256，且公比q>1，则该数列的通项公式f_n等于（）A.2^(n-1)B.2^nC.4^(n-1)D.4^n解析：由等比数列性质f_2•f_8=f_5^2=256，得f_5=16。若q=2，则f_1=4，f_n=4•2^(n-1)=2^(n+1)。若q=4，则f_1=4，f_n=4•4^(n-1)=4^n。结合q>1条件，通项f_n=4^n。9.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=2g_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.(n-1)•2^n+1解析：由递推式g_n+1=2g_n+1，变形为g_n+1+1=2(g_n+1)，可知{g_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即g_n+1=2^n。故g_n=2^n-1，S_n=1+2+…+(2^n-1)=2^n-1。10.若数列{h_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第3项h_3等于（）A.7B.8C.9D.10解析：h_3=S_3-S_2=9+3-[4+2]=6。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。解：由a_10=a_5+5d，代入数据25=10+5d，解得d=3。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则该数列的通项公式b_n=______。解：由递推式b_n+1=3b_n，可知{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，即b_n=2•3^(n-1)。3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_6=64，则该数列的公比q=______。解：由等比数列性质c_6=c_3•q^3，代入数据64=8•q^3，解得q=2。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则该数列的第4项d_4=______。解：d_4=S_4-S_3=[2•4^2-3•4]-[2•3^2-3•3]=32-12-18+9=11。5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n∈N），则该数列的前5项和S_5=______。解：由递推式e_n+1=2e_n+1，变形为e_n+1+1=2(e_n+1)，可知{e_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即e_n+1=2^n。故e_n=2^n-1，S_5=1+2+…+16=31。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_5=15，则该数列的前10项和S_10=______。解：由a_5=a_1+4d，代入数据15=5+4d，解得d=2.5。故S_10=10×5+(10×9/2)×2.5=275。7.若数列{g_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第6项g_6=______。解：g_6=S_6-S_5=36+6-[25+5]=12。8.在等比数列{h_n}中，若h_2=4，h_4=16，则该数列的公比q=______。解：由等比数列性质h_4=h_2•q^2，代入数据16=4•q^2，解得q=±2。9.已知数列{i_n}满足i_1=3，i_n+1=i_n+2（n∈N），则该数列的前8项和S_8=______。解：由递推式i_n+1=i_n+2，可知{i_n}是公差为2的等差数列，即i_n=3+2(n-1)=2n+1，S_8=8×3+(8×7/2)×2=98。10.若数列{j_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的第5项j_5=______。解：j_5=S_5-S_4=75-10=65。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（×）解：a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故{a_n}是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则该数列是递增数列。（√）解：由等比数列性质a_n=b_1•q^(n-1)，因b_1>0，q>1，故数列递增。3.若数列{c_n}满足c_n+1/c_n=2，则该数列是等比数列。（√）解：由等比数列定义，若c_n≠0，则{c_n}是公比为2的等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_2=4。（×）解：a_2=(a_1+a_3)/2，仅知三数和无法确定a_2值。5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解：a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故{a_n}是等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_8=64，则该数列的公比q=2。（×）解：f_5^2=64，得f_5=±8，故q=2或q=-2。7.若数列{g_n}满足g_n+1=g_n+1（n∈N），则该数列是常数列。（√）解：由递推式g_n+1=g_n+1，得g_n+1=g_{n+1}，故g_n=常数。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=5，a_5=15，则该数列的公差d=5。（×）解：由a_5=a_1+4d，代入数据15=5+4d，解得d=2.5。9.若数列{i_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列是等比数列。（×）解：a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5，故{a_n}是等差数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_4=16，则该数列的公比q=±2。（√）解：由等比数列性质j_4=j_2•q^2，代入数据16=4•q^2，解得q=±2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=2-3=-1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。故a_n=4n-5。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，求该数列的通项公式b_n。解：由b_3=b_1•q^2，代入数据8=2•q^2，解得q=±2。故b_n=2•(±2)^(n-1)。3.若数列{c_n}满足c_n+1=2c_n+1（n∈N），求该数列的通项公式c_n。解：变形为c_n+1+1=2(c_n+1)，可知{c_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，即c_n+1=3•2^(n-1)。故c_n=3•2^(n-1)-1。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的前10项和S_10。解：由a_5=a_1+4d，代入数据15=5+4d，解得d=2.5。故S_10=10×5+(10×9/2)×2.5=275。5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的第5项e_5。解：e_5=S_5-S_4=25+5-[16+4]=10。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=4，f_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列性质f_4=f_2•q^2，代入数据16=4•q^2，解得q=±2。7.若数列{g_n}满足g_n+1=g_n+2（n∈N），求该数列的通项公式g_n。解：由递推式g_n+1=g_n+2，可知{g_n}是公差为2的等差数列，即g_n=常数+2(n-1)。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，求a_7+a_8+a_9。解：由等差数列性质a_4+a_5+a_6=a_1+a_2+a_3+9d，代入数据18=12+9d，解得d=2/3。故a_7+a_8+a_9=a_4+a_5+a_6+9d=18+6=24。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂第一年产量为100万件，计划以后每年比上一年增产20%，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列性质，产量构成首项为100，公比为1.2的等比数列，第5年产量a_5=100×1.2^4≈207.36万件。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=10，求该数列的前10项和S_10。解：由a_4=a_1+3d，代入数据10=2+3d，解得d=8/3。故S_10=10×2+(10×9/2)×(8/3)=180。3.若数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的第6项b_6。解：b_6=S_6-S_5=36+6-[25+5]=12。4.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4=c_2•q^2，代入数据54=6•q^2，解得q=3。5.若数列{d_n}满足d_n+1=3d_n（n∈N），且d_1=1，求该数列的前5项和S_5。解：由递推式d_n+1=3d_n，可知{d_n}是首项为1，公比为3的等比数列，即d_n=3^(n-1)。故S_5=1+3+9+27+81=121。6.在等差数列{e_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的第10项a_10。解：由a_5=a_1+4d，代入数据15=5+