2027高考数学总复习：直线、平面平行的判定与性质

7.3直线、平面平行的判定与性质

考点直线、平面平行的判定与性质

LAA*（2024新课标I,17,15分）如图,四楂锥P-A6co中，尸A_L底面

ABCD,PA=AC=2,BC=\tAB=\f3.

（1）若AO_LPB,证明:4。〃平面PBC；

⑵若AD1DC,且二面角A-CP-D的正弦值为半，求AD.

解析（1）证明:•・•PA_L平面48cO,AOu平面ABCD,PA_L4D乂ADLPB,PAA

PB=P,PA,PBa^P48,・・・AOL平面PAA又ABu平直PAB,：,ADLAB.

AC=2,BC=\,AB=V3,：,AC2=BC2+AB2,：,ABLBC.y,AD1AB,R

都在平面八BC。内,・"O〃4C.又AW平面PBCBCu平面PBC,・"。〃平面

PBC.

⑵以D4,。。所在直线分别为x轴,），轴，过。作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示

的空间直角坐标系D-xyz,

则0（0,0,0）.

XH'

设AD=/,/>()厕DC=>/4*,A(f,0,0),P(f,0,2),C(0,V5T,0)则前二(・

/,"^不。),"=(0,0,2),加二〃,0,2),沆=(0,^^,0),

设平面ACP的法向量为/7i=(.rhyi,z,),

则(由•丝二0,即(-tX1+V4-=0,

=0,12zi=0,

令xi=V4-t2,Myi=z,

则/?i=(V4-t2,z,0),

设平面CPD的法向量为〃尸(M”,z)

"几2.加=0,・产2+2Z2=0,

(n2.反=0,.'卜4T2y2=0,

令Z2=1,则*=-2,则/?2=(-2,0,/),

•・•二面角A-CP-。的正弦值为詈，且由图可知二面角4cp为锐二面角,J二面角A-

CP-D的余弦值为J1-(孚)2=条•邛=lcos<m,&>|

.•・/=百(舍负),・"D=VI

2$支虫2022新高考H,2D,12分)如图,PO是三棱锥RA8C的高,PA=P8,A8J_ACE为PB

的中点.

⑴证明：OE〃平面PAC；

⑵若乙48O=NC8O=30"83/4=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

解析⑴证法一连接。A,

,?PO是三棱锥P-ABC的高,••・PO_L平面ABC,：.POLOAtPOLOB.

••・NFCM=NHM=9(T,

又PA=PI3,PO=PO,•••△尸04g"0年

・•.OA=OB,

取A8的中点。，连接OD,DE,

则ODLAB,

又.・・A8_LAC.・.OO〃AC

XVOOQ平面PAC,ACu平面PAC,

••・0。〃平面PAC,

又力，七分别为A8,P8的中点，

J.DE//PA,

乂皿平面PAC/Au平面PAC,

・・・OE〃平面PAC,

又ODQ£u平面ODE,ODODE=D,

,平面0。£〃平面PAC,

又。氏平面OOE,・・・OE〃平面PAC.

证法二连接OA：：P0是三棱锥尸-A8c的高,J尸0_L平面ABC,

PO±OA,PO±OB,

・•・ZPOA=ZPOB=90°,

又PA=PB,PO=PO,I.△POA9XPOB、：.OA=OB,

延长BO交AC于点£连接PF,

易知在RtAA^F+,0为8厂的中点，

•：E为PB的中点,，OE〃PF,

又0政平面PAC,巴七平面PAC,・・・0E〃平面PAC.

⑵取A8的中点M,连接0M04,以M为坐标原点,M8,MO所在直线分别为乂），轴，过点

M且与平面A8C垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

•・,PO=3iPA=5,二结合(1)可知OA=OB=4ty.ZABO=ZCBO=30°,：.0M=2,8=2后

P(0,2,3),8(275,0,0),A(・2日,0,0),E(g，W)

AB±AC,ZCBA=a)°,AB=4\[3,

*

..AC=12>C(-2V3,12,0).

设平面AEB的法向量为n\=(x\,y\,z\),

^=(4V3,0,0),AE=(36,1,1),

.%=°*|i|jP1=0，w

S・九i=0,(3百々+yi+-Zi=0,

令yi=3,则zi=-2,/./7I=(O,3,-2).

设平面AEC的法向量为应=（MJ2,Z2）,

前二(0,12,0),

..您•电=。,即了2=。，

3y/3x2+旷2+|4=°，

{AE-n2=0,

令X2=V5,则Z2=-6,Bfl2=(V3,0,-6),

由力2124>/3

COS</?|,Zb>=-------------=—==

|川・出1----->H3xV3913'

设二面角C-AE-B的平面角为6>,则sin^=V1-cos2G-亮

X«3

・•・二面角C-AE-B的正弦值为卷

1.★★（2026届河北衡水二中三模,4）己知直线〃力,平面见且“区则是Z〃屋'

的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案D

2.★★★（2025届湖北八校三模,17）如图,四棱锥RA8CZ）的底面为菱形，/

/WCW，/W=AP=24A_L底面48CQ,E是线段PB的中点,G,”分别是线段PC上靠近P,C

的三等分点.

⑴求证:平面AEG〃平面BDH\

⑵求点A到平面8DH的距离.

解析⑴证明:连接AC,交8。于点0,连接0H,在△PB"中,E,G分别为的中点,

所以EG〃BH,乂因为反双平面平面BDH,

所以EG〃平面BDH,

同理,AG〃平面BDH,

因为AG,EGu平面AEG,AG0EG=G,

所以平面AEG〃平面8。”.【面面平行的判定定理】

⑵记点A,H到平面BDH,平面ABD的距离分别为例,机

由题意知S&.加产：x2x2xq=V3.

因为PA_L平面A8CZ),所以PALACE尸所以历产条

易知PB二PC=2&、AC=2、CH与、

在△P8C中,由余弦定理的推论得cos/PCB二嘉=乎，

在△BC77中，山余弦定理得I3H2=BC2+CH2-2BCCHCOSZHCB^-,P'lJBH=—,

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同理刀〃二竽，则BH二DH：又因为。为BD的中点，所以0HLBD.

在△80〃中,8D=2V5,SM/X2V5X栏-3=W

连接AH,

因为VABDH=VHABD,

所以自二浮3=萼=等.

SABDH5

3

3$山X2026届山东青岛阶段检测,16)如图，在四棱锥P-A5C。中，底面48C。为直角梯

形,48_1_4。/。〃8。4力:/\尸=248=28。=2/4_1平面/\8。。,七为棱P。上的动点.

⑴当石为棱，。的中点时，证明:EC〃平面PAB\

⑵若PE=2ED求平面E4c与平面A48夹角的余弦值.

解析(1)证明:取PA的中点居连接EF,BF,

因为E为PO的中点，

所以EF//AD,EF=K\D,

因为AQ〃8cAQ=24C,所以所〃4C,EF=3C,所以四边形£7由C为平行四边形，所以EC

//BF.

又引七平面PA8,ECV平面PAB,

所以EC〃平面PA8.

(2)因为A8J_AO,PA_L平面A8CD,所以AB,AD,AP两两垂直，

故以4为原点所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(l,1,0),所以而二(1,1,0),而二(0,2,0),因为PE=2ED,所以

所以而=(o,%|).

设平面EAC的法向量为n=(x,y,z).

AC=x+y=0,

则

荏=：y+£=0，

取产1,得m/,z=2,

所以/尸(-1,1,-2).

易矢I而二(0,2,0)为平面PAB的一个法向量.

设平面EAC与平面PAB的夹角为0.

贝JIcos0=\COs<n,AD>|=髓=盍=*

所以平面E4C与平面夹角的余弦值为4.

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4.★★★★(2026届山东德州禹城综合实验高中期中，17)如图，在四棱锥P-ABCL)中，底面

AAC。是正方形，侧面PAD,底面A8CD,且PA=PD=AD=3.

(1)若点E为线段P。的中点，求证:4£_1_平面PDC；

⑵若丽=-［而,则线段AB上是否存在一点凡使得E/〃平面P8C?若存在，请确定点

F的位置，并求三棱锥F-PBC的体积.

解析⑴证明:因为四边形A8CO为正方形，所以CD1AD,

因为侧面PAOJ•底面A8CO,侧面PAOn平面A8C£HW,C