北师大版九年级数学上册 正方形的性质与判定每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

1.4正方形的性质与判定（课时1）

一、教学目标

1.理解并掌握正方形的性质定理；

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；

3.能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.

二、教学重点及难点

重点：掌握正方形边、角、木角线的性质，理清它与矩形、菱形、平行四边形的从属关系.

难点：灵活融合多种图形性质进行几何推理与计算.

三、教学过程

【知识回顾】

教师提出：菱形的性质有哪些？矩形的性质有哪些？

学生回答：菱形的对角相等；菱形的对边平行且四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，

并且每一条对角线平分一组末角.

矩形的四个角都是直角；矩形的对边平行且相等；矩形的对角线互相平分且相等.

设计意图：通过回顾菱形与矩形的性质，巩固旧知、形成对比，为后续学习正方形的性质做好

知浜铺垫，帮助学生构建特殊平行四边形的知识体系，涪养归纳梳理能力.

【新知导入】

教师提出：还记得正方形的定义吗？

学生回答：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

教师追问：正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？

设计意图：从正方形定义切入，依托已有矩形、菱膨旧知设问关联，顺势搭建平行四边形、矩

形、菱形、正方形的知识脉络，为推导正方形兼具两类图形的全部性质做好铺垫.

【探究新知】

教师提出：正方形是矩形吗？是菱形吗？

教师引导学生回答：由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形.

教师提出：你认为正方形有哪些特殊的性质？

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师梳理归纳学生的回答.

正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质

设计意图：依托从属关系设问厘清正方形与矩形、菱形的包含关联，以小组研讨调动学生自主

归纳性质，结合思维导图整合三类图形性质，让学生依托已有旧知自主推导出正方形兼具矩形、

菱形全部性质，循序渐进完善知识体系.

定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.

定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分.

教师引导学生证明上述两个定理.

己知：如图，四边形ABC。是正方形.

求证：ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AB=BC=CD=AD,AC1BD.AC=BD,

OA=OB=OC=OD.

区

证明：•・,四边形4BCD是正方形，

・・・/84。=90。，=AD（正方形的定义）.

又•・•正方形ABCD是平行四边形，

・・・正方形ABCD是矩形（矩形的定义），正方形ABCD是菱形（菱形的定义）.

:./BAD=NABC=NBCD=NADC=90°,AB=BC=CD=AD,ACLBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD.

设计意图：立足正方形兼具矩形、菱形的从属关系，依托定义与已学图形性质完成定理推导，

省去繁琐的重复证明，让学生借助原有知识完成逻辑论证，规范几何证明书写格式，巩固正方

形融合矩形、菱形全部特征的知识点，强化利用图形从属关系推理的思维方法.

【例题练习】

如图，在正方形ABCO中，E为CD上一一点、,尸为3c延长线上一一点，且CE=CF.BE与DF之

间有怎样的关系？请说明理由.

解：BE=DF,且理由如下：

(1)V四边形ABCQ是正方形，

：・BC二DC,NBCE=90。(正方形的四条边都相等，四个角都是直角).

/。。/=180。・/8。£=180。-90。=90。.・・・ZBCE=ZDCF.

又VCNCF,：・/\BCE迫4DCF.

：.BE=DF.

(2)延长BE,交DF于点、M.?

VAAC修ADCF,：./C.RF=/CDF.\

ZDCF=90°,・,.ZCDF+ZF=90°.¥

・・・/C3E+N尸=90。，ZBMF=90°.jC'

：.BE±DF.

设计意图：本题从线段数量与位置双重关系设问，综合运用正方形边角性质与全等三角形判定,

分步证明线段相等、垂直，在实操中活用正方形性质，殿炼几何综合推理与数形分析能力.

【探究新知】

根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打7”.

性质'图形平行四边形矩形菱形壬方形

对边平行且相等

边

四边相等

角四个角都是直角

对角线相互平分

对角线相互垂直

对角线

对角线相等

每条对角线平分一组对角

教师引导学生完成表格.

设计意图：借助表格横向对比四类四边形的边、角、对角线特征，梳理异同点，系统化厘清四

者从属与包含关系，在填表梳理中巩固各类图形性质，帮助学生区分易混知识点，构建条理清

晰的知识框架.

如图，四边形A8CQ是正方形.

(1)在正方形中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点4,C重合，则菱形的另外两个顶点需

要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由.

At---------------------\D

B'------------C

学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈.应用ppt展示正确答案及作法.

连接对角线4C、DB交于点、0.

条件：另外两个顶点在正方形对角线B。上，且关于对角线AC对称.

理由：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，因此四边形AMCN是菱形.

(2)在正方形中画一个矩形EFG”，使矩形的四个顶点EF,G,”依次在正方形A8CQ的边

AB,BC,CD,AO上，则矩形E/G”的四个顶点需要满足什么条件？

学生在草稿纸上进行作图，教师进行巡视,观察学生的作图进度，在绝大多数学生完成作图后，

应用ppt展示正确答案及作法.

连接对角线AGDB交于点、0.

条件：点E与点G；点产与点”关于点。对称，且这四个顶点到正方形中心点的距离相等.

理由：对角线相等的平行四边形是矩形，因此石"GH为矩形.

设计意图：以正方形内动手画图为探究载体，依托菱形、矩形的判定定理反向限定顶点位置，

借助小组合作探究画图条件，打通图形判定与实操作图的关联；紧扣正方形中心对称、对角线

的固有特征，深化正方形和菱形、矩形的从属关联，锻炼学生逆向推理、学以致用的几何实操

能力.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.正方形的性质；

2.应用正方形的性质解决问题.

六、板书设计

正方形的性质

-|边:对边平行，四边相等］

野角:「四个角都是直角

对角线：两条对角线互相垂宜平分且相等

1.4正方形的性质与判定（课时2）

一、教学目标

1.理解并掌握正方形的判定定理和推导过程；

2.能熟练运用正方形的判定定理进行计算和证明；

3.经历正方形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.

二、教学重点及难点

重点：掌握正方形的判定定理，能应用正方形的判定定理进行计算和证明.

难点：根据题干条件灵活择优选用判定定理完成几何推证.

三、教学过程

【知识回顾】

教师提出：14顾正方形的定义及其性质.

学生回答：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.

正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.

设计意图：温习正方形定义与已有性质，为本节课由矩形、菱形推导正方形判定定理铺垫知识

根基，搭建新旧内容的衔接桥梁.

【新知导入】

一组邻边相等，

平行四边形

目有一个角是直角

教师提出：正方形既是矩形，又是菱形.你知道满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件

的菱形是正方形？

设计意图：立足正方形与矩形、菱形的从属关系设问，依托原有图形性质逆向推导判定条件,

自然引出本课正方形判定的探究主题，实现由旧知向新知的平稳过渡.

【探究新知】

教师提出：矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？

学生回答：矩形的对边平行且相等；正方形的对边平行且四边相等.

教师追问：矩形添加邻边相等能否得到正方形？即有一组邻边相等的矩形是否为正方形？

教师引导学生进行证明.

已知：如图，在矩形A3C。中，AB=AD.

求证：矩形4BCO是正方形.

证明：•・•四边形A8CO是矩形，・・・NA=90。.

又・・・A8=AO,・•・矩形A8CD是正方形.

教师提出：你知道证明的依据是什么吗？

学生回答：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

设计意图：从矩膨与正方形的边的特征对比切入，通过递进式提问引出判定猜想，依托正方形

定义完成严谨证明，让学生亲历“对比特征一提出猜想一推理论证”的探究过程.

教师提出：矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？

学生回答：矩形的对角线相等且互相平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分.

教师追问：矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？如何证明呢？

教师引导学生进行证明.

已知：在矩形A8CQ中，AC,OB是它的两条对角线，3.AC.LDB.

求证：四边形A8CQ是正方形.

,a-

1fc___________

■I区C

证明：:四边形A3c。是矩形，・•・08=00.

*：AC±BD,：.AC是线段BD的垂直平分线.二.48=4).

・•・矩形43co是正方形.

教师提出：你知道证明的依据是什么吗？

学生回答：有一组邻边相等的矩形是正方形.

设计意图：对比矩形与正方形对角线的区别，以增加对角线垂直条件生成猜想，借助垂直平分

线性质推导出邻边相等，沿用刚刚得出的判定定理完成证明，层层递进完善矩形判定正方形的

第二条结论，在连贯推导中实现定理前后呼应，锻炼学生迂移新知、逻辑推导的能力.

根据上述探究，归纳总结正方形的判定定理及其符号语言，学生做笔记.

定理1:有一组邻边相等的矩形是正方形.

符号语言：・・•四边形ABCO是矩形，AB二BC,・,•四边形ABC力是正方形.

定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.

符号语言：•・,四边形A8CO是矩形，AC1BD,・・・四边形ABCO是正方形.

区

设计意图：整合前面探究内容，梳理归纳两条由矩形判定正方形的定理与规范几何符号语言，

引导学生整理笔记固化知识点，规范几何书写格式，形成条理化的判定知识.

教师提出：菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？

学生回答：菱形的对角相等；正方形的四个角相等，都为90“.

教师追问：菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？

/“/夔形添加有一个角为■।mJ

//菱形//i--篇--能---否-得到正方形？|防形|

教师引导学生进行证明.

已知：如图，在菱形A5CO中，ZA=90°.求证：菱形4BCO是正方形.

证明：•・,四边形ABC。是菱形，"A/X

又..・N4=90。，・•・菱形ABCQ是正方形.

教师提出：你知道证明的依据是什么吗？

学生回答：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

设计意图：对比菱形与正方形内角特征引出猜想，依托正方形定义完成证明，归纳从菱形判定

正方形的方法，承接前面矩形证正方形的探究思路，完善判定体系，培养类比探究的数学思维.

教师提出：我们知道菱形的木角线垂直且互相平分，正方形的对角线相等且互相垂直平分.

若菱形的对角线相等，能否得到该菱形为正方形？

教师引导学生进行证明.

已如：在菱形ABCQ中，对角线

求证：四边形A8CQ是正方形.

证明：:四边形A3c。是菱形，：.OA=OC,OB=OD,ACLBD.

VAC=BD,：.OA=OB=OC=OD.

△8OC是等腰直角三角形.

・•・ZABO=ZCBO=45°,:.ZABC=900.

・•・菱形ABC。是正方形.

教师提出：你知道证明的依据是什么吗？

学生回答：有一个角是直角的菱形是正方形.

设计意图：沿用类比探究的授课思路，对照菱形与正方形对角线的差异提出猜想，依托上一定

理完成证明，补充菱形判定正方形的第二条定理，完善正方形的判定框架，让学生体会类比推

理的探究方法.

根据上述探究，归纳总结正方形的判定定理及其符号语言，学生做笔记.

定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.

符号语言：・・•四边形ABCD是菱形，ZABC=90%,四边形ABC。是正方形.

定理4：对角线相等的菱形是正方形.

符号语言：•・•四边形ABC。是菱形，AC=8。，・・・四边形ABCD是正方形.

.JK.._______/

设计意图：系统归纳由菱形判定正方形的两条核心定理及标准符号语言，承接前面矩形判定正

方形的知识内容，完善正方形的判定体系.

教师对平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定进行总结，梳理知识，理清脉络.

设计意图：梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，帮助学生理清四类图形的判定

逻辑，整合零散知识，构建完整的特殊平行四边形知识体系；强化对判定定理的理解与记忆,

避免知识点混淆，培养学生归纳梳理、融会贯通的能力.

【例题练习】

己知：如图，在矩形ABC。中，BE平分NA3C,CE平分NDCB,BF//CE,CF//BE.

求证：四边形尸是正方形.

证明：*：BF//CE.C/〃・••四边形SECT7是平行四边形.

•・•四边形A8CO是矩形，ZABC=90°,ZDCB=90°.

又・・・3七平分NA8C,CE平分NDCZL

：・/EBC=L/ABC=45°,ZECB=-ZDCB=45°.

22

:./EBC=/ECB.

：.EB=EC.

・・・UBECF是菱形（菱形的定义）.

在△£水：中，VZEBC=45°,ZECB=45°,

JZBEC=90°.

・•・菱形8ECE是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.

设计意图：引导学生掌握层层递进、逐级判定的几何推理逻楫，打破单一定理套用模式，训练

学生根据题干条件灵活选取判定方法的能力，提升学生几何综合证明与逻楫推导的素养.

【探究新知】

教师提出：如图，四边形ABC。是正方形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？

AB

DC

学生在草稿纸上画图，完成后，同桌之间进行对比，形成共识后教师选取学生代表进行回答.

猜想：得到一个正方形

教师引导学生对猜测进行证明.

己知：如图，点4,BT,CI,Oi分别是正方形ABC。各边的中点.

求证：四边形为正方形.

证明：连接AC,BD,

VAi,乱分别是AS和8c边中点,

・・・Ai8i〃AC且48・一AC.

2

同理可证GQ|〃AC且GO产,AC,4。1〃8。且4。二‘8。，31G〃8。且8G='BQ.

222

・・・四边形A^iCiDi为平行四边形.

又「四边形ABCD是正方形，

，AC=45正方形的对角线相等）；4c_L6Q（正方形的对角线互相垂直），

：.A\B\=A\D\=BiCi=C\D\fZI=90°.

・•・四边形ABGA是菱形，Z2=90°.

・・・四边形AB。。为正方形.

设计意图：借助中点作图猜想内接四边形形状，依托三角形中位线定理完成推证，串联正方形

对南线性质、平行四边形、菱形、正方形逐层判定定理.让学生经历动手猜想一逻辑证明的探究

过程，融会贯通已学判定方法，提升综合识图与几何推理能力.

教师提出：如果四边形48CZ）是矩形呢？连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？

学生动手画图，完成后，观察所画图形进行回答.

教师引导学生对猜测进行说明.

已知：如图，点E,F,G,〃分别是矩形A8CD各边的中点.

求证：四边形EEG”为菱形.

VE,产分别是4B和8C边中点，・•・£：尸〃AC且工C.

2

同理可证”G〃AC且HG='AC,EH〃BD且EH'BD,FG〃BD且FG='BD.

222

・・・四边形EFGH为平行四边形.

又•・•四边形A3C。是矩形，

・・・AC=8D（矩形的对角线相等），・・・七/二七”.

・・・四边形EFGH是菱形（菱形的定义）.

设计意图：延续“动手画图一大胆猜想一推理论证”的探究模式，类比正方形中点四边形的探究

思路开展学习.结合矩形对角线相等的独有性质，利用三角形中位线定理完成证明，引导学生

对比、迁移新知，体会图形性质的传承与变化，培养学生类比探究、举一反三的数学思维，进

一步巩固平行四边形、菱形的判定方法.

如果四边形48co是菱形呢？连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？

学生动手画图，完成后，观察所画图形并回答.

得到一个矩形.

根据上述探究，归纳总结中点四边形的相关知识.

顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形叫作中点四边形.

（1）连接平行四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；

（2）连接矩形各边中点所得到的四边形是菱形；

（3）连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形；

（4）连接正方形各边中点所得到的四边形是正方形.

设计意图：通过层层递进的系列探究，完整梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的中点四边

形规律，系统归纳中点四边形的核心知识点，构建完整的中点四边形知识体系.

教师提出：观察下面各个图形的对角线的特点以及连接它们各边中