北师大版九年级数学上册 矩形的性质与判定 每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

1.3矩形的性质与判定（课时1）

一、教学目标

1.探索并证明矩形的性质定理；

2.能应用矩形的性质定理解决相关计算或证明问题；

3.根据矩形的性质推导出直角三角形斜边中线定理，体会矩形与直角三角形之间的相互转化.

二、教学重点及难点

重点：掌握矩形的性质与直角三角形斜边中线定理，能用性质进行计算与证明.

难点：推导直角三角形斜边中线性质，灵活实现矩形和直角三角形的边角转化解题.

三、教学过程

【新知导入】

教师提出：矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象.

教师提出：你还能举出一些例子吗？

学生积极回答其他现实中存在矩形的情况.

设计意图：从窗框、课桌、地转等生活化实物图片切入导入新课，联系生活实例直观呈现矩形，

调动学生生活经脸，激发学习兴趣，自然引出矩形性质的探究内容.

【探究新知】

教师提出：回顾矩形的概念.

学生回答：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

教师提问：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你知道有哪些吗？

学生回答：矩形对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分.

教师追问：除此之外，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

设计意图：以菱形学习思路类比，先依托平行四边形旧知铺垫基础性质，再通过递进设问，在

已有知识上制造认知疑点，引导学生聚焦矩形独有的特殊性质，实现由一般到特殊的探究过渡，

自然开启矩形边角、对角线特殊性质的探究.

教师提出：根据定义在草稿纸上画一个矩形，度量矩形的四个角，你有什么发现？

学生在草稿纸上进行作图，应用量角器度量矩形的四个角.通过度量发现矩形的四个角均为90。.

猜想：矩形的四个角都是直角.

连接你所画矩形的对角线，测量两条对角线的长度，你有什么发现？

学生测量并回答：矩形的两条对角线的长度相等.

猜想：矩形的对角线相等.

设计意图：让学生动手画图、测量角度与对角线，从实操数据中归纳猜想矩形性质，亲身经历

探究过程，培养几何直观.

教师引导学生对猜想进行验证，并规范解题步骤.

己如：如图，四边形ABCO是矩形，ZABC=90%对角线AC与。8相交于点0.

求证：（2）AC=DB；

证明：（1）・・,四边形A8CQ是矩形，

AZABC=ZCDA,ZBCD=ZDAB（矩形的对角相等），AB//DC（矩形的对边平行）.

，ZABC+ZBCD=\SO0.

又•・•NABO90。，・・・Z^CD=90°.

・•・ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°.

（2）・・•四边形A4CQ是矩形，・・・A8=O。（矩形的对边相等），

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在△ABC和△OCB中，：AB=DCt/ABC=/DCB,BC=CB.

：.4ABC咨/\DCB.：.AC=DB.

通过证明，归纳总结矩形的性质及符号语言，学生做笔记.

矩形的性质：矩形的对角线相等.；矩形的四个角都是直角.

符号语言：•・•四边形ABC。是矩形，/.ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°；AC=BD.

设计意图：依托严谨推理证明猜想，规范几何书写格式，归纳矩形性质与符号语言，帮助学生

从直观猜想过渡到严谨论证，锻炼逻楫推理素养.

教师提出：如左图，在矩形纸片ABCO中，对角线AC与30相交于点E.将矩形纸片沿AC剪

开，得到右图所示的图形，3E是RtZXABC中一条怎样的线段？它与4c有什么大小关系？由

此弥能得到什么结论？

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教师引导学生对猜测进行证明.

证明：・・•四边形ABC。是矩形，矩形的对角线相等），・・・8E=QE=AE=CE,

・••在RtAABC中，AC为斜边，BE为斜边上中线且BE二1AC.

通过证明，验证猜想，进行总结，学生做笔记.

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

符号语言：在RtZXABC中，VZ>4BC=90°,OA=OC,：,BO=-AC

设计意图：借助矩形剪纸动手拆分的探究活动，依托已学矩形对角线性质推导新定理，实现矩

形与直角三角形知识转化，经历猜想、证明、归纳全过程，深化逻辑推理.

【例题练习】

如图，在矩形ABCQ中，两条对角线相交于点O,ZA0Z>120o,AB=2.5,求这个矩形对角线

的长.

解：•・•四边形A8CQ是矩形，

・•・/。相=90。（矩形的四个角都是直角），AC=BD（矩形的对角线相等），

OA=OC=-AC,。8=。。='以）（矩形的对角线互相平分），

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：.OA=OD.

ZAOD=120°,I.ZODA=ZOAD=1（180°-120°）=30°.

：.BD=2AB=2x2.5=5.

教师提出：你还有其他的解法吗？课下试一试.

设计意图：借助例题巩固矩形边角、对角线相关性质，活用直角三角形边角结论解题，一题多

解拓展思路，夯实新知并提升灵活运用能力.

四、随堂练习

通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.

设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.

五、课堂小结

今天我们学习了哪些知识？

1.矩形的性质；

2.直角三角形斜边中线定理.

六、板书设计

矩形的性质

J直角三角形斜边上的中鳍于斜边的T1

13矩形的性质与判定（课时2）

一、教学目标

1.理解并掌握矩形的判定方法；

2.能熟练运用矩形的判定知识进行计算和证明；

3.经历矩形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.

二、教学重点及难点

重点：掌握矩形两种判定定理并能规范应用.

难点：灵活选取合适判定方法进行推理证明.

三、教学过程

【新知导入】

学生自主完成表格.

矩形的定义和性质

定义____________的平行四边形叫作矩形.

边对边平行且相等.

角四个角都是________.

对角线对角线_______.

教师提出：根据矩形的定义，可得矩形的第一个判定的方法：有一个角是直角的平行四边形叫

作矩形.除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗？

设计意图：借助填表回顾矩形定义与性质，唤醒旧知，由定义引出矩形第一种判定，顺势设问

催生探究需求，自然过渡到新课矩形其余判定定理的学习，实现新旧知识衔接.

【探究新知】

教师提出：我们知道，矩形的四个角都是育角.你能说出它的逆命题吗？

学生回答：逆命题为四个角都是直角的四边形是矩形.

教师追问1：你认为这个逆命题成立吗？

学生回答：成立.

教师追问2：你认为至少有几个角是直角的四边形是矩形？有一个角是直角的四边形是矩形吗？

有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？

学生小组讨论1-2分钟，自由发言，教师对学生的回答进行反馈，并通过ppt展示例子.

D

DD

A■______

A■---------hA■-------W

（有三个角是直角）

（有一个角是直角）（有二个角是直角）

猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.

设计意图；从矩形性质逆向引出逆命题，以阶梯式设问逐步缩减直角数量，配合图示举反例、

组织小组研讨辨析正误，在思辨中归纳猜想，渗透逆向推理与举反例的数学思想，自然生成矩

形角判定的探究结论.

教师引导学生对猜测进行证明.

己知：如图，在四边形43C。中，ZA=ZB=ZC=90°.

求证：四边形A5C。是矩形.

4口--------------

-----------------nc

证明：VZA=ZB=ZC=90°

AZA+ZB=180°,ZB+ZC=180°,

:.AD//RC,AR!ICD.

・・・四边形A8CO是平行四边形.

又「ZA=90°,

・•・四边形A8C。是矩形.

通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.

矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.

符号语言：在四边形ABCQ中，・・・/A=NB=NC=90。,

・・・四边形A8CQ是矩形.

设计意图：立足猜想开展严谨几何证明，利用平行线判定先证四边形为平行四边形，再依托矩

形定义完成定理推导，实现猜想到定理的转化；同步梳理定理文字与符号表达，引导学生整理

笔圮，规范几何书写范式，锤炼学生严谨的逻辑论证素养.

教师提出：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.你能说出它的逆命题吗？

学生回答：逆命题为对角线相等的平行四边形是矩形.

教师追问：你认为这个逆命题成立吗？

教师引导学生进行证明，验证上述逆命题的真假.

己知：如图，在D4BC7）中，AC,是它的两条对角线，且

求证：D4BCQ是矩形.

证明：•・,四边形43co是平行四边形，：.AB=DC,AB//CD.

又〈AC=DB,BC=CB,:AABCqADCB.

:./ABC=NDCB.

VAB//CD,/.ZABC+ZDCB=]SO\

：./ABC=NDCB=90。.

是矩形.

通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.

矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.

几何语言描述：在乙WCO中，'：AC=BDf.・・38C7）是矩形.

设计意图：沿用性质逆推的探究模式，从矩形对角线原有性质出发构造逆命题引发猜想，借助

平行四边形的性质结合公共边证三角形全等，推导直角后利用矩形定义完成证明，完整复刻“提

出猜想一逻辑求证一提炼定理”的探究路径，整理文字与符号语言，强化学生规范书写与逻辑

推导能力.

教师提出：现在你知道如何判定一个四边形为矩形了吗？

学生积极回答，教师梳理归纳学生的回答.

三个角是直角

设计意图：借助层级思维导图梳理判定路径，区分从四边形直接判定、先证平行四边形再判定

矩般两种思路，帮助学生理清知识逻辑层级，打通四边形、平行四边形、矩形三者的从属关联，

完善知识框架，实现当堂内容归纳内化.

【例题练习】

如图，在04BCO中，对角线AC和3。相交于点O,△回。是等边三角形，AB=4.

求UABCD的面枳.

解：•・•四边形A8CO是平行四边形，・・・0A=。C,OB=OD.

又「△AB。是等边三角形，・・・0A=0B=AB=4.

：.0A=0B=0C=0D=4.

：.AC=BD=2OA=2x4=S,

：.UABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.

・•・/A8O90。（矩形的四个角都是直角）.

在RtZVWC中，由勾股定理，得A82+3（T=AC2,

・・・BC=ylAC2-AB2=V82-42=45/3

.•・SC:ABCD=ABBC=4X4^=1673.

设计意图：在综合题型中巩固新知，提升学生筛选条