基本不等式及其应用（练习）解析卷-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第4讲基本不等式及其应用•分类练习（解析卷）

答案速查表

12345

DBBCCC

678910

(Dm=—

（1）见解析

见解析l,n=-1(2)AC

（2）见解析

见解析

1112131415

DBC2[9,+oo)B

1617181920

02V5+4ACABC

2122232425

2&BBCC

2627282930

BD2V222+2>/2D

3132333435

BBCD-3BACD

36373839

(1)400吨

(1)6.93h

8D(2)不获利,

(2)见解析

40000元

考点一：基本不等式的理解与证明

考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件

1,已知X,y都是正数，且X羊y,则下列选项不恒成立的是（）

A.——>\[xyB.—+—>2C.<\fxyD.xy+--->2

2v，yxx+yvxy

【答案】D

【解析】x，y都是正数，由基本不等式，等之历，（+：之2,篝工患=收，这三个不等式

都是当且仅当x=y时等号成立，而题中因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立:

xy+->2中当且仅当xy=1时取等号，如％==2即可取等号，D中不等式不恒成立.

xyL

【点拨】本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件是解题的关键.

2.（2026•湖北随州•三模）己知Q>0,b>0,贝ij“a+b>2”是“工+:V2”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】利用基本不等式2枚Wa+b,举反例，应用必要不充分条件定义的判断.由a>0,b>

0,a+b>2,令a=b=2,得：+：=|>2,则：+"<2不成立，所以“Q+匕>2”是3+

：<2”的不充分条件；因为Q>0,b>0,-+y<2,即当V2,得a+b〈2ab,又因为

2^<a+b,所以4%Ml,所以a+b>2QbW由等，所以a+b>2,所以“Q+力>2”是

（a+by2

“工+；<2”的必要条件；综上，“Q+b>2”是“工+<<2”的必要不充分条件.

【点拨】本题考查充分必要条件的判断，结合基本不等式及举反例的方法是解决此类问题的有效

途径.

3.（2026•湖北圆创•一模）1多选）下列说法中正确的是（）

A.若x>1,则x+工的最小值为2

X

B.若%V0,则％+工的最大值为一2

X

C.若a>0,b>0,且Q+b=l,则8+VF的最大值为近

D.若a>0,则，+的最小值为2

【答案】BC

【解析】对于A,x+->2/Ti=2,当且仅当x=l时等号成立，但无>1,所以等号取不到，

xyjx

故A错误；对于B,因为XV0,所以一%>0,所以一%+所以％+工工一2,当且仅当％=

-TX

-1时等号成立，所以最大值为一2,故B正确；对于C,v«+=y/a+b+2y/ab<

y/1+a+b=V2,当且仅当a=b=g时等号成立，故C正确；对于D,若Q>0,b<0,则£+

-<0,最小值为2不成立，故D错误.

a

【点拨】本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件以及变量的符号.

考法2：利用几何意义理解基本不等式

4.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形，在等

腰直角三角形△4BC中，点0为斜边4B的中点，点。为斜边4B上异于顶点的一个动点，设

/D=a,BD=b,用该图形能证明的不等式为【图片】（）

A.半>Vad（a>0,d>0）B,罄<VaF（a>0,b>0）

C.等WJ^(a>0">0)

D.a2+b2>2ab(a>0,b>0)

【答案】C

【解析】由图知：。。=；48=竽，0。=|08-8。|=|?一切=|芋在RtaOCD中,

法叵，所以。CWCD,即等4/p(a>0,b>0).

CD=yj0C2+OD2=

【点拨】本题考查基本不等式的几何意义，通过构造直角三角形利用斜边大于直角边进行证明.

考法3：利用基本不等式证明不等式

5.(2026•山东师大附中-3月检测)己知实数a,b满足aV0<b,贝ij()

[[hnab

A.i>iB.lg(-a)<IgbC.-+7<-2D・&V&

ahD、/Dab

【答案】c

【解析】对于A,a<0<b,则：<()5>0,所以该选项错误；对于B,若a=-10,b=

10,满足a<0C人但出(一“)=也匕，该选项错误；对于C,因为a<0Vb,所以£<0,£<0，

贝哈+苇=_[(_')+(_/工_2](_?)乂(一三=一2,当且仅当一即a=-M,等号

hnab占<，_52

成立，所以2+?4一2,该选项正确；对于D,eb>0,e«>0,所以彳=eF,因为aV0V6,所

ab-

・.「一庐ab

以ab<0,但a?-庐跟0的大小关系不确定，不能确定eg<e°,不能得到JV而,该选项错误.

【点拨】本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，利用特殊值法及基本不等式逐项判断即可.

6•利用基本不等式证明：已知a,“c都是正数，求证:(a+b)(d+c)(c+a)>8adc.

【答案】见解析

【解析】证明：・・・a,瓦c都是正数,

a4-/?>2y[ab>0(当且仅当Q=b时取等号)；

b+c>2痴>0(当且仅当b=c时取等号)；

c+a>2yfcd>0(当且仅当c=a时取等号)；

:.(a+b)(b+c)(c4-a)>2Vab•2\[bc•2\[ca=8abe(当且仅当a=b=c时取等号),

Bl(a+b)(b+c)(c+a)>Babe.

【点拨】本题考查利用基本不等式证明不等式，多次使用基本不等式时需注意等号成立的条件是

否能同时满足.

7,已知》,y,z为正数，证明：

222

(/11、)右必大>=2n,则nu[l1111,x+y+z

(2)若2x+y+2z=9,则％2+/+z229

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】证明：(1)因为xyz=2,所以;=yz^7，

同理可研W手，3工手，

y2z2

所以2+用号+干+字

xyz222

故工+乙+工工立手，当且仅当x=y=z时等号成立.

xyz2J

(2)x24-y24-z2=1(224-I2+22)(X2+y2+22)>|(2x+y+2z)2,

因为2x+y+2z=9,所以x2+y2+z2、9,当且仅当％=2y=z时等号成立.

【点拨】本题考查基本不等式及柯西不等式的应用，巧妙地利用常数代换和不等式放缩是解题的

关键.

8.已知函数f(%)=\2x+1|+|x+m|,若f(%)<3的解集为[n,1].

(1)求实数m,九的值；

(2)已知a,b均为正数，且满足;+1+2m=0,求证：16a2+Z?2>8.

2ab

【答案】(1)m=-l,n=—1(2)见解析

【解析】(1)因为/(%)W3的解集为[几1],所以/'(1)<3,即3+|1+刈工3,所以|1+

刑<0,

又|l+m|N0,所以l+m=0,即m=—1.

所以/(%)=++

当％<-衬，/(x)=-2%-1-%4-1=-3%<3,得x>-1,则一1<x<-

当一;工工工1时，/-(x)=2x+l-x+l=x+2<3,得戈W1,则一：工无工1,

当％>1时，/(x)=2x+14-r-l=3x<3,得不成立，

综上所述:/(%)<3的解集为[-14],

因为/(%)<3的解集为所以n=-1.

(2)证明：由(I)知，m=-l,所以;+：=2(a>0,b>0),

乙au

所以2，+检2毋=备当且仅当I时,等号成立，

所以ab>1,

所以16a2+F22Vl6由2/=8abN8,当且仅当Q=g,b=2时，等号成立.

【点拨】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式求最值，利用零点分段法解绝对祖不等式

是常规思路.

考点二：基本不等式求最值

考法4：利用直接法求和与积的最值

9.(2025•河北保定•二模)已知％,y是非零实数，则/+学勺最小值为()

A.6B.12C.2D.4

【答案】A

【解析】《+奈N2柠写=6,当且仅当/=首，即y2=3%2>0,等号成立,所以《+茶的

最小值为6.

【点拨】本题考查利用基本不等式求最值，直接应用基本不等式即可.

10.(2026•河北NT205月检测)若a,b>0,且ab=a+b+4,则a+b的最小值为

()

A.12B.16C.2+2V5D.y

【答案】C

【解析】由a,b为正实数且a+b+4=ab,根据基本不等式力工(亨下，可得平之。+6+4,

艮J(a+匕)2-4(a+b)-16N0,解得a+bN2+2通或a+bW2-2遥(舍去)，当且仅当。=

b=l+V§n寸取等号，所以a+b的最小值为2+2巡.

【点拨】本题考查基本不等式的应用，利用QbW(竽/将条件转化为关于a+b的一元二次不等式

是解题关键.

11.(2024•深圳高级中学,二诊)已知都是正实数，ab+2a+b=4f则a+0的最小值

为()

A.2B.V6-2C.2V6-3D.V6-1

【答案】D

【解析】因为a,b都是正实数，ab+2a+匕=4,即(a+l)(b+2)=6,所以a+b=(a+l)+

(b+2)-3>27(«+l)(b+2)-3=276-3,当且仅当a+l=b+2,即。=通-1/=伤一

2时等号成立.所以Q+b的最小值为2V6-3.

【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题的关键.

12.(多选)若实数a,/?满足/+/=+1,则()

A.a-b>—1a—b<C.ab>—D.aZ?<

ooo

【答案】BC

【解析】•••。2+扶=。力+1,当Qb>0时，a2+b2>=>ab4-1>2ab=>czb<1,当且仅当

22

a=b=1或Q=b=—1时等号成立，得0VabW1,当abV0时，a+b>-2ab=>ab4-1>

-2ab=>ab当且仅当Q==-苧或a=-],b=?时等号成立，得一gwabcO,当

ab=0时,，由/+〃=。力+i可得。=0,b=±1或b=o,。=±1,综合可得WabW1,故C

正确，D错误；va2+b2-2ab=1-ab=>(a-b)2=1-ab=>1-(a-d)2=ab,当abZ-；时,

1-(a-b)2>-1=>(a-b)2<g=>-<a-b<雪，故A错误，B正确.

【点拨】本题考查基本不等式的应用，通过分类讨论和基本不等式求出ab的范围是解题的关键.

13.(2025•安徽淮北♦二模)若实数m和几的等差中项为1,则/^+小的最小值为

【答案】2

【解析】若实数m和九的等差中项为1,则m+几=2,m2+n2>2mn,BP2(m24-n2)>(m4-n)2,

即巾2+n2>皿y=£=2,当且仅当m=n=l取等号.故租2+几2的最小值为2.

【点拨】本题考查等差中项的性质及基本不等式求最值，利用平方和不等式即可求解.

14.(2026•山东东营•二模)若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围为

•

【答案】[9,+8)

【解析】因为a,b>0,且ab=a+b+3,由基本不等式可得a+b之2V所以ab-3=a+

b>2Vab,BP(Vab)2-2>/ab-3>0,解得VaSN3或VaS4一1(舍去)，所以ab29,当且仅

当a=b=3时等号成立，所以ab的取值范围为[9,+8).

【点拨】本题考杳基本不等式的应用，利用基本不等式将条件转化为关于病的一元二次不等式是

解题的关键.

考法5：利用凑配法求最值

15.(2026・浙江精诚•二模)已知0Va<l,则7V+?的最小值为()

2-2Qa

5Q

A・：B.；C.5D.9

22

【答案】B

2121

【解析】7r+-=1(?-+-i=1(T-4-)[(l-a)+a]=1(1+4+-^-+^^)>1(5+

2-2aa2K1-aa，2x1-aaLJ2、1-aa2、

2.戈卫)="5+4)=：当且仅当*二九上丝，即。二纲等号成立.

\J1-aa'2',21-aa3

【点拨】本题考查利用“1”的代换(凑配法)求最值，构造出积为定值的形式是解题的关键.

16.若%>-2,则/(欠)=工+焉的最小值为.

【答案】0

【解析】由%2,得x+2>0,>0,所以/'(%)=x+白；=x+2+——2之

x+2'、'x+2x+2

2J(x+2)x*—2=0,当且仅当％+2=+即％=-1时等号成立.

【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过凑项构造出积为定值的形式是常用的技巧.

17.若%>1,则立竿的最小值为____________.

A—1

【答案】2V5+4

【解析】由%>1,则]—1>0.因为%2+2%+2=(%—1)2+4。-1)+5,所以咚竿=。一

1)+三+422限-1).三+4=2遥+4,当且仅当即％=花+1时等号成立，

/X-17、'x-lX-1

故立竿的最小值为2遥+4

x-l

【点拨】本题考查分式函数求最值，通过分离常数将其转化为可用基本不等式的形式是解题关键.

考法6：利用“1”的代换求最值

18.(2026•山东泰安•二模)当0VXV3时，士+J-的最小值是()

x3—x

A.3B.4C.vD.：

33

【答案】A

【解析】当0VXV3时，:+止=：&+白)[%+(3-力]=[(4+1+卓+台)>[(5+

2.力="5+4)=3当且仅当暨产=£,即％=2时等号成立.

【点拨】本题考查利用“1”的代换求最值，将常数转化为变量之和是解题的关键.

19.(2025•河北沧州•二模)若正数％,y满足x+3y=5xy,则3%+4y的最小值是()

A・g24B.Y28C.5D.6

【答案】C

【解析】由已知可得言+白=1,则3x+4y=d+*)(3x+4y)J+g+p++

2小野■.怖=£+£=S，所以3x+4y的最小值5.

【点拨】本题考查利用基木不等式求最值，将条件等式转化为:与机勺线性组合等于1的形式是解题

关键.

20.(2025・江西上饶•二模)(多选)若正实数Q,b满足Q+b=1,则()

A.VH+4的最大值是VSB.}+的勺最小值是9C.(1+a)(l+

b)的最大值是3D.a2+2b2的最小值是：

【答案】ABC

【解析】对于A,yfa+y/b=>/a+b2>/ab<Ja+b+(a+b)=V2,当且仅当Q=b=，时取等

号，A正确；对于B,5+3=(a+b)C+Q=5+T+T?5+2J^=9,当且仅当b=2a=|

时取等号，R正确；对于C,(l+a)(l+b)W(『七W)2=，当且仅当。=占=；时取等号，C

正确；对于D,a=l-b,O<b<l,则。2+2房=(1-32+2按=382-2匕+1=3(。一/)2+

|>|,当且仅当b=g时取等号，D错误.

【点拨】本题综合考查了利用基本不等式求最值，熟练掌握“1”的代换以及二次函数求最值的方

法是解题的关键.

21.(2026•安徽A10•最后一卷)已知a>0,b>0,且ab=2,则^+；+工的最小值为

aba+b

【答案】2V2

【解析】由题意得，工+:+2=彳+七=呼+上之？母三=2鱼，当且仅当竽=上,

aba+baba+b2a+byj2a+b2a+b

ab=2,即Q=b=鱼时，等号成立.

【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过通分将代数式转化为可用基本不等式的形式是解题关

键.

考法7：利用换元法与消元法求最值

22.已知正实数a,b满足ab+2Q-2=0,则4a+b的最小值是()

A.2B.4&-2C.4V3-2D.6

【答案】B

【解析】由ab+2a-2=0,得a=2，所以4。+匕=士+6=±+(匕+2)-2工

b+2b+2b+2''

2售9+2)-2=472-2,当且仅当。=2，占="2,即。=争8=2企一2取等号・

Yb+Zb-rio+Z1

【点拨】本题考查消元法结合基本不等式求最值，将双变量问题转化为单变量问题是常用的解题

策略.

23.(2025•河北衡水3月联考)已知正数a,hc满足2a+b+3c=8,则过半:的最小

b+ca+c

值为()

A.272C.3\/2-1D.忙芳

44

【答案】D

【解析】设£=a+c,则b+c=8-2（Q+c）=8—2亡，故"：:在T■——=77-+14--^―=---■+

'/b+ca+cb+ca+c8-2t

*=需+*=溪碧+"1=*4一£+£）后+*（2+三+?+1）斗2或+

3）+g=过等，当且仅当£=4加一4时取等号.

【点拨】本题考查利用换元法和“1”的代换求最值，整体代换是简化运算的有效手段.

24.（2026・湖南新高考・3月联考）若a,b>0,且ab=a+b+4,则a+b的最小值为

（）

A.12B.16C.2+2>/5D.y

【答案】C

【解析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题.因为（半产，ab=a+b+4,所

以（手）22。+6+4,令t=a+b,£>0,所以《2-4亡一16N0,解得£工2-2遮（舍去）或

t>2+2V5,即a+bN2+2向，当且仅当a=b=1+病时取等号，所以a+b的最小值为2+

26

【点拨】本题考查基本不等式的应用，利用abW（等产将条件转化为关于a+b的一元二次不等式

是解题关键.

25.（2026•广东江门•二模）已知Q>1,b>1,且ab=a+b+3,则4a+b的最小值为

（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】由ab=a+b+3,可得（a-l）（b-1）=4,因为Q>1,b>1,所以Q-1>0,b-

1>0,则4a+b=4®-1）+（匕-1）+5N2,4（a-1）（6-1）+5=13,当且仅当4（a-1）=

b-1,即Q=2,匕=5时，等号成立，故4a+b的最小值为13.

【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题的关键.

26.（2026•安徽滁州•一模）（多选）下列选项正确的有（）

A.若x+2y=2,贝壮+2最小值为*B.若XN2,则241最小值为3

C.若工£（0,2兀），则si/x+V7T的最小值为5D.若1+y2=i,

sin4x+l4/

则2%+y的最大值为g

【答案】BD

【解析】对于选项A,x+2y=2,.•.：+；=!(：+：)('+2y)=；(1+§+仔+4)=；(§+

y+5),当町>0时，；+：=*§+亭+5)之；(2@[^+5)=%当且仅当§=与即％=y=

勺寸，等号成立；当xyVO时，假设x=-2,y=2,满足x+2y=2,而—+|=；<小故

选项A错误；对于选项B,设工一1=3,•,%N2,t21,x=t4-1,/.'-'：i=«+】)二"+1)+1=

x-lt

»+2"1一.1型=巴坦=£+1+122口+1=3,当且仅当£=工时，即t=l时取等号，则

tttyjit

'IT的最小值为3,故选项B正确；对于选项C,x€(0,2兀)，sin%£[-1,1]，二si/x+

忌7=⑸都%+1)+点n-1之2西*+1).就-1=5,当且仅当si"x+1=忌p

因siMx=2,等号成立，但是sin21=2无解，故等号不能成立，则siMx+—为>5,故选项C

siMx+l

错误；对于选项D,•*+y2=i,.•.设cosa=],sina=y,x=2cosa,y=sina,.%2x+y=

4cosa4-sina=V17sin(a+夕)，其中tan/?=4,•••sin(a+0)€[—1,1],V17sin(a+$)£[-

g,g],,・,2x+y的最大值为g,故选项D正确.

【点拨】本题综合考查基本不等式求最值、三角换元求最值，注意基本不等式成立的条件“一正

二定三相等”.

27.(2026・湖南雅礼中学・5月模拟)已知x>y>0,若d+|=y2+专则X+历的最

小值为.

【答案】2V2

【解析】因为/+刍=y+刍所以%2-y2+/一_^=0,整理可得(/一产)一卷(%2-y2)=0,

“yxyxy

由已知X>y>0,则一y2>0,可得1一金.=0,即％2y2=2,所以xy=企，所以工•&y=

2,所以x+Z2卜•75y=2四,当且仅当x=&丫时取等号，又％5y=2,所以x=

72,y=1时取到最小值.

【点拨】本题考查基本不等式的应用，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题关键.

28.若%,y€R+,(x-y)2=(%y)3,则上+工的最小值为.

*y

【答案】2

【解析】因为(x-y)2=(xy)3且％y€R+,则两边同除以(xy)2,得(L-L)2=xy,又因为(1+

yxx

1)2=(---)2+—=xy+—>2当且仅当呼=不即无=时等

y、y%/xy'xyJxy《=4,2+&/=2-a

号成立，所以工+工之〃=2.

xy

【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过代数式的恒等变形将和的最值转化为基本不等式模型

是解题关键.

29.若Q>0,b>0,c>0,Q+5+C=2,则’7+也的最小值为

a+bc

【答案】2+2V2

【解析】由题意，a>0,b>0,c>0,a+b+c=2得：a+b=2-c,设2-c=m,c=

n,（m>0,n>0）,则m+n=2,故<+山=白+三=白+2-1=±+2-1=x（±+

a+bc2-cc2-ccmn2、7n

-）-l=3+-+--l>2+2l---=2+2V2,当且仅当血2=2/，即血=4一2&,几=c=

nmnymn

2痘-2时取得等号，故士+㈣的最小值为2+2及

a+bc

【点拨】本题考查换元法与基本不等式求最值，通过整体代换将多元问题转化为双变量问题是解

题关键.

考点三：基本不等式的综合应用

考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值

30.（2026・安徽铜陵,一模）已知Q>0,b>0,Vab=-+p则/=+1=的最小值为

ablo即2log/

（）

A.3B.2C.V2D.1

【答案】D

【解析】因为a>0,b>0,疯=乙+1二岑之岑，所以当且仅当a=b=2时取等号,

ababab

所以+=log2。+log2b=log2（ab）Nlog22=1,故选：...........................D.

【点拨】本题考查基本不等式与对数运算的结合，注意对数换底公式的灵活应用.

31.（2025・江苏高邮•一模）已知a、beR,且4a+b=2,贝频6。+2b的最小值是（）

A.2x^2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】因为a、bER,且4a+b=2,MiJ16a+2b=24a4-2h>2V24a-2b=2yJ24a+b=2V27=

4,当且仅当2钠=2b时，即当a=：,b=l时，等号成立，因此，16。+2b的最小值是4.

【点拨】本题考查基本不等式与指数运算的结合，将和的最值转化为指数塞的乘积是解题关键.

32.（2026•河北石家庄一中•一模）（多选）已知Q>0,b>0,a+2b=1,则（）

A.^+第勺最小值为4B.Q2+62的最小值为g

ab5

C.logia+log山的最小值为3D.2。+4b的最小值为2&

22

【答案】BCD

【解析】对于A,5+"=q+b（Q+2b）=2+2+B+*N4+2e彳=8,当且仅当Q=2匕=

，时等号成立，故A错误：对于B,次+力2=02+（与巴）2=）/_：Q+：=：伍_，:）2+：“，当

2'2'4244'5,55

且仅当a==（时等号成立，故B正确；对于C,log』Q+log』b=log」（ab）,因为。+2力之

55222

2痂，所以。匕工右所以10gj（ab）N10g[=3,当且仅当a=2b=g时等号成立，故C正确；对

于D,2。十#=2。+22b之242".=26,当且仅当a=2b=决寸等号成立，故D正确.

【点拨】本题综合考查基本不等式在求最值中的应用，涉及“1”的代换、二次函数最值以及指对

数运算.

33.（2025•河北邢台•一模）已知2a+b=l（a>0,b>0）,则log2。+log2b的最大值为—

【答案】-3

【解析】因为2a+b=l,所以1=2a+22272ab,解得ab式：，当且仅当2a=b=1时等号成

O/

立.所以log2a+log2b=1og2（ab）4[og2：=-3.

o

【点拨】本题考查基本不等式与对数运算的结合，利用基本不等式求出时的最大值是解题的关键.

考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合

34.（2026・湖南常德•一模）已知实数b>0,若:对任意的xER,，一+2—b20恒成

立，则ab的最大值为（）

.4V68V6Q10V6「4e

'•丁BoVc--DV

【答案】B

【解析】因为对任意的XCR,%2-QX+2-bN0恒成立，所以A=-4（2一b）40,即Q2+

4匕工8.因为/?>0,要求ab的最大值，只需考虑Q>0的情况.由基本不等式可得8之/+铀=

az+2h+2h>3^a2-2b-2b=3>j4a2b2,当且仅当a?=2b=即Q=乎,b=:时等号成立.所

JJD

以4a2b24《）3=膏，解得Qbw愣=第.对应选项B.

【点拨】本题考查一元二次不等式恒成立问题以及利用导数求最值，将多元问题转化为单变量函

数求最值是解题关键.

35.（2026•河南豫东名校•二模）（多选）已知Q>0,b>0,则下列说法正确的是（）

A.若ab=Q+匕+3,则ab>9

B.头的最小值为1

Q।J

C.若a+b=9,则上+?的最小值为X

ab

D.若Vk/a+b恒成立,贝欧的最小值为历

【答案】ACD

【解析】对于A,Va>0,b>0,ab-3=a+b>2\sqrt{ab},当且仅当a=b=3时取等号，，ab

-2\sqrt{ab}-3>0,解得\sqrt{ab}N3,HPab>9,故A正确；对于B,(a八2+4)/(aA2+3)=

&2+3+1)/口人2+3)=1+1他人2+3),因为a>0,所以aA2+3>3,所以0vl/(a人2+3)v1/3,所以1v

(aA2+4)/(aA2+3)<4/3,无最小值，故B错误:对于C,因为a+b=9,所以36/a+a/b=4(a+b)/a+

a/b=4+4b/a+a/b>4+2\sqrt{4b/a\cdota/b}—8,当且仅当4b/a=a/b,即a=2b=6,b=3时,等号成

立，故C正确;对于D,(\sqrt{a}+\sqrt{5b})A2=a+5b+2\sqrt{5ab}\leqa+5b+5a+b=6(a+b),

当且仅当5a=b时取等号,所以\sqrt{a}+\sqrt{5b}\leq\sqrt{6}\sqrt{a+b},乂\sqrt{a}+\sqrt{5b}

\leqk\sqrt{a+b}恒成立,所以k\geq\sqrt{6},即k的最小值为\sqrt{6},故D正确.

【点拨】本题综合考查基本不等式及柯西不等式的应用，灵活运用不等式性质求最值是解题的关

键.

36.若关于％的不等式d+bx+c>0(b>1)的解集为R,则喑出的最小值为

【答案】8

【解析】因为不等式x八2+bx+c20(b>l)的解集为R,则A=b人2-4cW0=c2B2/4,因为b>l,

所以b-1>0,・•・(1+2b+4c)/(b-1)>(bA2+2b+1)/(b-1)=((b-1)A2+4(b-1)+4)/(b-1)=(b-1)+4/(b-1)+4

>2\sqrt{(b-l)\times4/(b-l)}+4=8.当且仅当b-1=4/(b-l),即b=3时，取到等号.

【点拨】本题考查一元二次不等式恒成立问题与基本不等式求最值的综合，利用判别式消去参数c

是解题关键.

考法10：利用基本不等式解决实际问题

37.(2026•安徽皖江•最后一卷)工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占

用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加(订货费

不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本).因此需要决定多长

时间订购一次，使每天所需平均成本费用(不包括购买原料费用)最少.设时间以天为单位，

工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为厂吨，每次订货费为G元，每天

每吨原料贮存费为。2元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费3、贮存费C2和需求

量r均为已知常数.在上述条件下，设一个订货周期为“即每7天订一次货)，则每次订货

量为Q=r.7,根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存

量为与，所以一个订货周期的贮存费为:。2-・炉，要使每天所需平均成本费用最低，则

T=()

A.J2cl.c2・丫B.2C1-C2­rC.|^D.总

【答案】D

【解析】一个订货周期的总费用为C」+l/2C_2\cdotr\cdotTA2,每天所需平均成本费用为

C1/T+1/2C2\cdotr\cdotT\geq2\sqrt{C_l/T\cdot1/2C_2\cdotr\cdotT}=Cqrt{2C_lIcdotC_2

\cdotr),当且仅当C_l/T=1