空间向量与立体几何-2025高考数学一轮复习（含解析）

【易混点梳理】

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

多而体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.

多面体侧面展开图面积公式

棱柱

S梭柱表=S梭柱偏+2s底

(如三棱柱)

棱锥

s=V+S

楼推表极推傀底

(如三棱锥)

棱台

s棱台表=s极台fjj+s上底+S下底

(如三棱台)

2.圆柱、圆锥、圆台的表面积

旋转体侧面展开图面积公式

底面积：黑=+

圆柱侧面积：S『2w/

表面积：S=2nr(r+Z)

底面积：S底=兀/

◎

圆锥侧面积：与二兀"

表面积：S="(/,+/)

,O'2呼、上底曲面积：$上底=兀/

留台

*下底面面积：s卜.底二"2

侧面积:S-=♦/（♦+/）

表面积：S=71（/2+/+尸7+

3.柱体、锥体、台体的体积

几何体体积公式

"柱体二S"（S为底面面积，〃为高），（〃为底面半径，〃

柱体

为高）

。体=严（S为底面面积，〃为高），％锥二尸厂6（一为底面半径，

锥体

〃为高）

%体=9（s'+厩+s）（S1S分别为上、下底面面积，〃为高；，

台体

%台=7词/2+八+/）（心〃分别为上、下底面半径，人为高）

4.球的表面积和体积

（1）球的表面积：设球的半径为R,则球的表面积为S=4兀川，即球的表面积等于它的大圆

面积的4倍.

4

（2）球的体积：设球的半径为R,则球的体积为厂=5兀炉.

5.直线与直线平行：

基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.

6.号角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

7.直线与平面平行的判定定理

自然语言图形语言符号语言

如果平面外一条

直线与此平面内

Qua,bua,且

的一条直线平

行，那么该直线«

与此平面平行.

该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.

8.直线与平面平行的性质定理

自然语言图形语言符号语言

一条直线与一个

平面平行，如果过

a

。IIQ,〃u0,

该直线的平面与

此平面相交，那么baAP=ba\\b.

该直线与交线平a

行.

该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.

9.平面与平面平行的判定定理

自然语言图形语言符号语言

b

P

如果一个平面内的两条相

aua,6ua,aC\b=Pt

交直线与另一个平面平行，

allP,b||Bna||p

那么这两个平面平行.

该定理可简记为“若线面平行,则面面平行”.

10.平面与平面平行的性质定理

自然语言图形语言符号语言

两个平面平行，如

果另一个平面与这〃口||B,aAy=a,

两个平面相交，那B=A=>4||人.

么两条交线平行.£

该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.

11.异面直线所成的角：

(1)定义：已知两条异面直线a,以经过空间任一点。分别作直线"IIa"'II"我们把"与

6所成的角叫做异面直线4与/7所成的角(或夹角).

a1

aaO

o.ci'Oa

(2)异面直线所成的角8的取值范围：0°<ew90。.

(3)两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即6=90为寸，〃与力互相垂直,

记作aLb.

12.直线与平而垂直的概念

如果直线/与平面Q内的任意一条直线都垂直，我们就说直线

/与平面a互相垂直，记作/I。，

定义

直线，叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面.它们唯一

的公共点。叫做垂足.

画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边

形的一边垂直，如图所示

1

画法图示

歹

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫

点到面的距离做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平

线到面的距离面的距离.

两面间的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面

的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.

如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个

平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

13.直线与平面垂直的判定定理

自然语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个

"UQ,ZJUQ,

平面内的两条相交直

bPaCb=P,/la,

线垂直，那么该直线

/1/?=>/1a.

与此平面垂直.

该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.

14.直线和平面所成的角

有关概念对应图形

一条直线/与一个平面o相交，但不与这个平面0垂

斜线

直，图中直线

P

斜足斜线和平面的交点，图中点A

O

过斜线上斜足以外的一点P向平面Q引垂线pO,

射影过垂足。和斜足A的直线力O叫做斜线在这个平面

内的射影.

直线与定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角；

平面所规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；

成的角一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0粕角.

取值范

[0°,90]

围

15.直线与平面垂直的性质定理

自然语言图形语言符号语言

ab

垂直于同一个平面的两

〃1Q,bLaa\\b

条直线平行..

16.二面角的概念

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫

概念

做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

面

棱。・

图示

棱为/,面分别为Q，B的二面角记为

记法也可在a，B内(棱以外的半平面部分)分别取点R。，记作二面角

P-1-Q.

在二面角a-/-B的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半

文字平面a和B内分别作垂直于棱/的射线04和08,则这两条

射线构成的角403叫做这个二面角的平面角.

图示^7

平面角

OAua,O8u|3,aAp=/,Owl,041/,OBII,

符号

=>408是二面角a-/-P的平面角.

范围0WN4O8W180°

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是

规定多少度，就说这个二面角是多少度.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

17.平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互

相垂直.平面Q与平面B垂直，记作Q1B•如图

aa

(2)判定定理:

自然语言图形语言符号语言

如果一个平面过另

P

一个平面的垂线，

bbla,P=>P1a.

那么这两个平面垂

a

直.

该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.

18.平面与平面垂直的性质定理

自然语言图形语言符号语言

两个平面垂直，如果一

个平面内有一直线垂'alp,aAp=/>6rca

直于这两个平面的交，’

aa1/=>^1P.

线，那么这条直线与另aa

一个平面垂直.

该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.

19.一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就

是说，若异面直线4，,2所成的角为8，其方向向量分别是〃，乂则

U»V_Iw•VI

cos9=|cos<uv>\=

l«l|v|=r*dM

20直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如下图，直线

与平面a相交于点8,设直线.48与平面a所成的角为9,直线48的方向向量为〃，平面a的法

u.n_\u»n\

向量为",则sin9=|cosv“，”|=

A

a

21.平面a与平面口相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面角称为平面

a与平面夕的夹角.若平面凡夕的法向量分别是力和，，则平面。与平面夕的夹角即为向量叫和，

的夹角或其补角.设平面。与平面夕的夹角为8,则8sB=|cosv%%>|=1；"二七十

\n\\\n2II"ill叫：I

【易错题练习】

1.一个五面体4BC-DEF.已知4D//BE//CF,且两两之间距离为1,AD=\,BE=2,CF=3,

则该五面体的体积为（）

A.正B.至+LC,正DM-1

642242

2.已知空间中有两个不重合的平面a,p和两条不重合的直线〃?，凡则下列说法中正确的

是（）

A.若a1p,相1Q,〃iB,贝ij〃zi〃

B.若Q10,"?1a,m1〃，则〃10

仁若。〃|3,m//a.,；?//p,则〃"/〃

D.若Q//|3,w//a,mlln,则〃〃（3

3.如图，四棱锥4-8C。上.是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥"-CDA'是正四面体，G为BE

的中点，则下列结论错误的是（）

A.点4B,C,产共面B.平面力〃平面CQb

C.FGICDD.£Gi平面4co

4.如图，在正方体力8。。-44GB中，。是“c中点,点p在线段4G上，若直线。。与平面

4BG所成的角为9,则sine的取值范围是（）

11

D.

4'34'3

5.已知RQ/8C中，AB=BC=2,。为4c的中点.将△居（7沿8。翻折，使点。移动至点瓦

在翻折过程中，下列说法不正确的是（）

A.平面BED1平面ADE

B.三棱锥B-ADE的体积为定值

7T

C.当二面角/-3O-E的平面角为4时，三棱锥£-48。的体积为

4-23

D.当二面角力-8O-E为直二面角时，三棱锥力8。的内切球表面积为3,兀

6.（多选）已知正方体力8co的棱长为4,Q是棱/出上的一条线段，且£/=1,

点。是棱42的中点，点尸是棱GA上的动点，则下面结论中正确的是（）

B.二面角P-EF-Q的正弦值是”

A.P。与即一定不垂直

C.△庄尸的面积是2户D点P到平面QEF的距离是定值

7.（多选）如图，在正方体/8CQ-44GR中，点。在线段BQ上运动，有下列判断，其中

正确的是（）

A.平面PBQ1平面NCR

平面/C2

C.异面直线4P与AD｝所成角的取值范围是（0,g

D.三棱锥2-4PC的体积不变

8.如图，在棱长为2的正方体48CO-中，〃为棱44的中点，4G与相交于点N,

P是底面48。。内（含边界）的动点，总有透尸iA/N,则动点尸的轨迹的长度为,

9.已知四棱锥的底面44。是边长为2的正方形，侧面P481底面力BCO,且

PA=PB=4,贝IJ四棱锥的外接球的表面积为.

10.如图所示，圆台，。2的轴截面44CG为等腰梯形，AC=2AA,=2A^=4,8为底面圆周

上异于4C的点，且川5=8C,尸是线段的中点.

(1)求证:G尸〃平面4彳3.

(2)求平面4/8与平面GCB夹角的余弦值.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为4。BE,Cr两两平行，且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为

1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱锥的体积,

四棱锥的高为手，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积

V=—X1XX1+-X-X古攵C.

223222

2.答案：A

解析：若a，B，m，Q,则加用或〃zu。，又〃1[3,所以〃il〃，故A正确；

若Q1(3,mla,则〃2〃。或机u0,又〃?1〃，则〃u0或〃与B斜交或〃i0均有可能，

故B错误；

若Q//0,血/Q,则〃7U0或〃?〃B，又〃〃0,因此〃7和〃的位置关系可能为平行、相交或异

面，故C错误；

若a//。,m//a,ml/n,则〃〃。或〃u|3,故D错误.

综上，选A.

3.答案：D

解析：A选项：如图，取C。的中点〃，连接G〃，FH,AG,AH,易得CDIGH,CD1AH,

CD1FH,则CO1平面力G”，CQi平面4切，所以4,G,H,产四点共面，由题意知

AG=HF=y/3,GH=AF=2f所以四边形AGHF是平行四边形，所以GH//AF,因为BC//GH,

所以BC//4F,所以力，B,C,厂四点共面，故A正确；

B选项：由选项A知4G〃?〃，又NG仁平面8尸，尸〃u平面C0F,所以力(7〃平面C。尸,

因为CDMBE,且8E之平面COu平面所以3E〃平面CDF,又力Gu平面力BE,

BEu平面4BE,且ZGCBE二G,所以平面/8£7/平面COP,故B正确；

C选项：由选项A可得CD1平面力G"f又R7u平面4GHQ所以QGiCO,故C正确；

D选项：假设bG1平面4。，则厂G1ZH,由选项A知四边形力G”厂是平行四边形，所以

四边形/G斯是菱形，与4G=6G〃=2矛盾，故D错误.

4.答案：A

4P一——

解析：如图，设正方体的棱长为1,-^r=X(0<X<l),则神=入祠以。为原点，DA,DC,

4d

则力(1Q0),C(0,l,0),O(J$，0)，故祠=定=(-1/,0),神=(-入，入,0),又/(1Q1),则

P(l-入，入,1),所以加=(;一人,人一

在正方体/8CO-44GR中，连接6Q,可知体对角线4。1平面48G，所以璃=(1,1,1)是

平面48G的一个法向量所以

sin0=kosOP,DB^1.所以当人=1时,sin®取

得最大值,，当入=0或1时，sinB取得最小值.所以sinB

，故选A.

5.答案：B

解圻：如图:

A选项，BDIDE,BDLAD,DECAD=D,所以5。1平面力。石，因为BDu平面

故平面平面力。E,A正确，不符合题意.

B选项，由A知8。1平面力。石，但△4OE的面积不是定值，故三棱锥的体积不是定值，B

错误，符合题意.

C选项，二面角力一8。一£的平面角为当N4)E=g时，1x1=；,

三棱锥E-48。的体积为=W，C正确，不符合题意•

D选项，当二面角力-8。-七为直二面角时，^ADE=-,三棱锥E-45。的表面积为

2

s3+V3

5==，

设内切球半径为瞑则由等体积法知/YQ=7=^XEX〃，解得尸=_^,所以内切球表面积

636

S,=4兀/=4-2/兀D正确.

-3

6.答案：BCD

解析：对于A,当点。与点A重合时，PQ^EF,故选项A错误•

对于B,由于点尸是棱CQ上的动点是棱48上的一条线段，所以平面产”即为平面/4CQ,

平面QEF即为平面QAB.

建立如图所示的空间直角坐标系，则。(2,0,4),力(4,0,0),8(4,4,0),4(0,0,4),

所以(2,0,-4),方=(0,4,0),西=(—4,0,4).

n-QA-0,2演一4zj=0,

设平面QAB的一个法向量为"=(%，%*J,则_即1

〃•48=0,4%=0,

令马=1,则"=(2,0,1).

设平面“AC】。［的法向量为附=(x2,y2,z2),

m•AD\=0,f-4.r2+4z2=0,

则wt-Z5=0,即j4y2=0,

令Z2=l,则m=(l,0J).

设二面角P-仪-°的大小为8,所以|cos8|=|cos〈肛必二］二］；广，故

/r［zx\2［z\

2

sine二l-cos9=1-10=1O,故选项B正确.

\/

对于C,由于481平面3&GC,4C|U平面44GC,所以4314a，所以1打，所以4G

是△阳的高，所以S△叼=；历依=卜支42=22,故选项C正确.

对于D,由于G。〃七尸，且GRU平面0£/，EEu平面。所以CQ"平面QEF,又点尸

在CQ上，所以点P到平面。环的距离是定值，故选项D.正确.故选BCD.

7.答案：ABD

解亦对于A,连接。8,如图，因为在正方体力8CO-48cA中，叫1.平面4BCD,又彳Cu

平面力BCD,所以网1/C,因为在正方形/BCD中，DBLAC,乂。3与为平面。防Q

内的两条相交直线，所以力Ci平面。5片"，又因为u平面Q84A，所以同

理可得。，14A,因为4功与4c为平面4cA内两条相交直线，所以。41平面力C。，又

DB】u平面PBQ,从而平面P3Q1平面4CR,故A正确；

对于B,连接力避，4G，如图，因为44〃CG，/4=cq,所以四边形44GC是平行四边

形，所以4G〃4C,又4£金平面4Cu平面/C。，所以4G〃平面4C。，同理8C”

平面ACD],又4cl、Bq为平面34G内两条相交直线,所以平面84£〃平面ACDX，因为吊尸u

平面84G，所以4P〃平面力cq,故B正确；

对于C,因为4V/3G,所以4尸与力。所成角即为//与8a所成的角，因为A1B=Bq=AC，

所以△84G为等边三角形，当尸与线段3G的两端点重合时，40与力。1所成角取得最小值最

当「与线段4G的中点重合时，4P与42所成角取得最大值上，所以4尸与4％所成角的范

围是义白，故C错误；对于D,由选项B得3C"平面.4。。，故3G上任意一点到平面4)C

的距离均相等，即点尸到平面力。口的距离不变，不妨设为〃，则L-APC=Pp-gC=14ADjC'卜,

所以三棱锥2-4PC的体积大变，故D正确.故选ABD.

&答案：20

解析：如图，连接/G，4巳4，AC,BD,因为M必分别是4G，44的中点，所以

1

MV"4G.由正方体的性质易知CGBD,