苏科版九年级数学上册：圆的对称性（基础达标）

3.3园的对称性

题型一弧、弦、圆心角间的关系

1.如图，在扇形。48中，点C在加上，连接OC,AC,BC,^ACB=132°.若乙BOC=2乙AOC,则此的度

数为（）

C.32°D.36°

【答案】C

【详解】解：■:AO=OC,OC=OB,

.'-Z-OCA=Z.OAC,Z.OCB=乙OBC,

"CB=Z.OCA+Z.OCB=Z.OAC+乙OBC,

-Z.AOB+Z,OAC+Z.OBC4-Z-ACB=360°,

:.乙AOB+2Z.ACB=360°,

二乙40B=360°-2^ACB=96°,

SOC=24AoC,

：.LA0C=-^AOB=32°.

J

则前的度数为32。.

2.如图，点A、B、C、。在O。上，^AOC=150°,点4是/It的中点，则乙。的度数是（）

A.75°B,37.5°C.30°D.60°

【答案】B

【详解】解：如图,连接。氏

•••点B是At的中点，

:.脑=因，

:，LAOB=Z.BOC=-Z.AOC,

2

•••LAOC=150°,

•••LAOB=75°,

•••LD=-^,AOB=37.5°.

2

3.如图，射线AM交一圆于点B,C,射线4N交该圆于点D,凡且玩l=此.

（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与4MCE的平分线，两线交于点尸（保留作图痕迹，不写作法）

求证：EF平-分4EN

【答案】见解析

【详解】（1）证明：如图，作0P_L4M,OQ_L/1N于Q,连接力0,BO,00,

.1

•••阮=困

:.BC=DE,

•••OP1AM,OQ1AN

...8P=泗=泗=DQ,

0D=0D,

RM08P三RtaODQ(HL),

OP=OQ,

vAO=AO,

Rt△APO三Rt△4Q0(HL).

AP=AQ,

vCP=EQ,

.-.AP+CP=AQ+QE,即4C=AE：

(2)解：作图如下：

证明：-AC=AE,

Z.ACE=Z.AEC,

4ECM=乙CEN,

••・力尸是CE的垂直平分线，

CF=EF,

AZ.FCE=乙FEC=MMCE=品CEN.

22

...EF平分4CEN.

4.如图，48是直径，BC=CD=DE,ABOC=40°.求乙/OE的大小.

【详解】解：；BC=CO=OE,LBOC=40°,

乙DOE=Z.DOC=乙BOC=40°,

•••48是直径，

二Z.AOE=180°-(ZDOE+Z.DOC+乙BOC)=180°-(40°+40°+40°)=60°.

题型二求圆弧的度数

1.已知/B,CO是00的直径，弦CEII/18,ZCOE=40。，则防的度数是（）

A.70°B.110°C.40°D.70°或110。

【答案】D

【详解】如图，

E

-OC=0E,

■,•Z.1=42,

“COE=40°,

.-.zl=Z2=-x(180°-乙COE)=-x(180°-40°)=70°,

22

•••弦CEIIAB,

:.LAOE=Z2=70°,

“BOD=LAOC=乙COE+^AOE=110°

郎的度数是110。；

•••Z.C=z_E,

"COE=40°,

.-.ZC=ZE=1x(180°-乙COE)=^x(180°-40°)=70°,

•.•弦CEII/3,

LAOC=ZC=70°,

：/30D=LAOC=70°

•••帅的度数是70。；

综上可知：股的度数是70。或110。，

故选：D.

2.如图，是半圆。的直径，点C,。在半圆上，且。为命的中点，^Z.CBA=50°,则乙BCD等于()

【答案】D

【详解】解：以8是半圆。的直径,

心CB=90°,

•：4BA=50°,

=90°—4C84=40°,

•••四边形ABDC是半O。的内接四边形，

：，BDC=180。-〃=140°,

・••Q为此的中点，

.'.CD=帅，

•••CD=BD,

:/BCD=Z.DBC=1(180°-140°)=20°,

故选:D.

3.如图，在扇形AOB中，点C、D在至上，连接力D、BC交于点E,若4A08=110。，◎的度数为40。,

则，DE8=°,

【答案】35

【详解】解：Z408=110°,

赤的度数为：110°,

•••能的度数为40。，

•••代,9的度数和为：110°-40°=70°,

•.ZA8C/D4B分别是女,师的度数的一半,

心EB=4ABC+Z-DAB=-X70°=35°；

2

故答案为：35.

4.如图，已知力8,C。是。。的两条直径，弦CE||A8,CE的度数为70。，则8。的度数为一°.

•:CE=70°,

:/COE=70°,

•••OC=OE,

:•乙OCE=18°5。=55。,

2

•：CE||AB,

,-.Z.AOC=LOCE=55°,

AZSOD=Z.AOC=55%

一

••.BD的度数为55。，

故答案为：55.

题型三利用垂径定理求值

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=6cm,则球的半径为

().

4E，〜R

BC

A.—cmB.4cmC.—cmD.5cm

44

【答案】A

【详解】解：如图，取EF的中点M,作MNJLA。于点M,

••・M是E尸的中点，MN1ADF点M,

••.MN经过球心。，

取MN上的球心。，连接OF,

•.•四边形4BCD是矩形，

•••4。=Z.D=90°,

"MN1AD,

••・四边形CDMN是矩形，

：.MN=CD=6cm,

设OF=ON=xcm,

：.OM=MN-ON=（6-无）cm,

,•■MF=-2EF=3cm»

••・在直角三角形。M尸中，。用2+四片二。产，gp（6-x）2+32=x2,

解得：x=f，

4

•・•球的半径为?cm.

4

2.如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为8cm,瓶内液体已经过半，最大深

D.10cm

【答案】A

【详解】解:设圆的圆心为点0,

如图，连接。力，

由题意得，0C_L718,

AC=BC=-2AB=4cm»

设半径为rem,即。力=0D=rem,

则0C=CD—。。=(8—r)cm,

在Rt△40C中，

AC2+0C2=OA2,即42+(8—7)2=丁2,

解得r=5,

•••球的半径为：5cm.

3.如图，48是O。的直径，且/1B=8,。为O。上一点，过C作。0_L4B,交A8于点。，交。。于点E.若

。为。B中点，则CE的长为.

【答案】4V3

【详解】解：连接0C,

•••48是。0的直径，且48=8,CDLAB,

:.0A=OB=0C=4,CE=2CD,

为。3中点，

ADO=-2OB=2,

根据勾股定埋，得CD=VOL-OA=2g,

:.CE=2CD=4百.

4.如图，在41。8中，按下列步骤作图：①在04边上取一点C:以C为圆心，。。长为半径画0C,交X)B

于点。;②分别以。,。为圆心，大于^。0长为半径画弧，两弧交于点G,连接CG交。。于点心交OC于

点、F,若0C=5,。。=8,则EF的长为.

【答案】2

【详解】解：由作图步骤①可知，点。、0在O