人教版八年级数学上册：整式乘法（讲义+练习）学生版

整式乘法

知识点1、同底数幕的乘法；幕的乘方;积的乘方

2、单项式乘以单项式;单项式乘以多项式;多项式乘以多项式

3、同底数幕的除法；零指数指数幕

教学目标1.熟记同底数幕的乘法、器的乘方、积的乘方的运算法则，会结合实际问题进行基本

运算；发展推理能力和有条理的表达能力。理解单项式与单项式、单项式与多项式、

多项式与多项式相乘的乘法法则，并能熟练地运用这些法则进行相关的运算；了解同

底数幕的除法运算性质，并解决一些实际问题，通过归纳规律猜想出零指数幕的意义

2.通过自己的计算和归纳概括，得到同底数幕的乘法、幕的乘方、积的乘方的运算法

则；发展学生的推理能力和表达能力，能熟练灵活地运用法则进行整式的运算，培养

学生的数学能力。通过同底数幕除法运算法则的导出及运用，让学生体会知识具有普

遍联系性和相互转化性，通过同底数帚除法运算，培养学生的运算能力

3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学

的信心。

教学重点同底数幕的乘除法、靠的乘方、积的乘方的运算法则；单项式与单项式、单项式与多

项式、多项式与多项式相乘的乘法法则的灵活运用；同底数幕除法法则的探索和应用，

理解零指数指数鬲的意义

教学难点同底数幕的乘除法、幕的乘方、积的乘方的综合应用；多项式与多项式相乘的乘法法

则的运用；理解零指数指数幕的意义

【知识导图】

整

式

乘

法

一、导入

复习预习

1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做塞。例如1这个表达式中，a是

底数，n是指数，T又读作a的n次豪

2.乘方的性质：负数的偶次寤是正数，负数的奇次幕是负数，正数的任何次幕都是正数，（）

的任何正整数次塞都是零，例如（-1广=-1等

二、知识讲解

同底数呆的乘法法则：一般地，对于任何底数a与任何王整数m、n,

（axax…x。）x（ax。x…x。）=（。x。x…x。）=

YV

加个4〃个。（,”+；）个a因此我们有d"-/=&川（||b（|都

是正整数）

即同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

注意：（1）三个或三个以上同底数靠相乘，法则也适用。即1><4义...Xa'a"

（m,n,...,p都是正整数）

（2）不要忽略指数为1的因数

（3）底数不一定只是一个数字或一个字母

注意法则的逆用，即a"'/.]（m,n都是正整数）

幕的乘方的的意义：塞的乘方是指几个相同的事相乘.

哥的乘方法则：一般的，对于任意底数a与任意正整数m,n,

____n^m____

(a"n)"=a"'xa'"x•••xa,n=am+a；…+〃；=an,n

~因此，我们有gm)n=amn(m,n都是正整数)

即弃的乘方，底数不变，指数相乘。

注意：⑴法则可推广为[(am)n]P=amnp(m,n,p都是正整数)

(2)此法则可以逆用amn=(am)n=gn)m(m,n都是正整数)

积的乘方法则：一般的，对于任意底数a,b与任意正整数n,

(ab)"=(ob)x(ab)x…x(")="4xqx”丝…xp=anbn

"个(岫)"个。〃个3

因此,可得出(ab)n=a%n(n是正整数)

即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的辕相乘。

注怠：(1)三个或三个以上因式的积的乘力，也具有这一性质.例如(abO-anpcn

(2)此法则可逆用：anb"=(ab)n

发现、总结

1.问题：光的速度约为3X1(/千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5X102秒,

你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

解答：(3X105)X(5X102)=(3X5)X(10sX102)=15X107

如果将上式中的数字改为字母，即ac5-bc2,我们可以得到

ac°•be"=(a•c)•(b•cJ)=(a•b)•(c3•c")=abc3*2=abc，根据上式总结出单项式与单项

式相乘的方法

2.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售

量(单位：瓶)，分别是a,b,c。请用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入

一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，即总收入为m(a+b+c),另一种方法是

先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为ma+mb+mc,所以：

m(a+b+c)=ma+mb+mc，根据上式总结出单项式与多项式用乘的方法

3.问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米,

加宽n米，求扩地以后的面积是多少？用两种方法表示扩大后绿地的面积。

।一。一1一6一।

m

n

方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米

方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米2、an米2、bm米：、bn

米’,故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米(<i+b)(n+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿

地的面积，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,根据上式总结出多项式与多项式相乘的方法

结合以上情形，我们可以得到单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘

法法则，即

1.单项式与单项式相乘的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数寻分别相

乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2.单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是先用单项式去乘多项式的每

一项，再把所得的积相加,用式子表示为m(a+b+c)=ma+nib+mc(m,a,b,c都是单项式)

3.多项式与多项式相乘的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另

一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

同底数靠的除法法则：•般地，我们有1：求=&皿(a/O,m,n都是正整数，并且m>n]

即同底数幕相除，底数不变，指数相减。

注意：

(1)底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数&不能为0,则除数为零，除法就没

有意义了

(2)当三个或三个以上同底数塞相除时,也具有这一性质，例如aTa=2。=8'仆6里0,111,

n,p是正整数，并且m>n+p)

(3)应用这一法则时■，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按照同底数幕除法法则进

行计算

(4)同底数鼎的除法和同底数鼎的乘法是互为逆运算

零指数基的性质：同底数幕相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如疝・求，根据除

法的意义可知所得的商为1,另一方面，如果按照同底数幕的除法来计算，又有不。&'=/0

=a°

于是规定：a°=l(a=#=0)

即任何不等于0的数的()次寤都等于1

注意：任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是。次单项式

类型一同底数骞相乘

计算(1)104X102(2)(-b)3x(-b)2(3)x"+2.x"”.X”.X

计算(l)(a+3).(a+3)2.(a+3)5(2)(-x).x2.(-x)3(3)(2a-3b)3•(3b-2a)4

注意：（1）同底数某相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式

（2）哥的运算中经常用到的变形

/（〃为偶数）«-。）〃（〃为偶数）

（一。）"(a-by

（n为奇数）一（〃一。）"（〃为奇数）

⑴若a=2,an=5,则a""=.(2)已知3=4,则3咚—

类型二赛的乘方

计算⑴O⑵(X“T)3(3)[(-y)4]5

已知1=2,求a'a%勺值。

计算⑴(-2a2b)2(2)-(-3xy2)4(3)(-a3b2)3

类型三积的乘方

计算⑴4叹(0.25)6(2)严x(1：尸3

计算(l)3x?.4x(2)2xy2.6x"y

it®(1)(-xy2z3)2.(-x2y)1(2)(2x3y)2.x3y+(-4x6)(-xy)3

类型五单项式乘多项式

计算(l)3x(xT)(2)2x(3a+4b)(3)(xJy-2xy+yJ).(4xy)

计算(1)(3a+l)(a-3)(2)(2a+b)(a-2b)(3)(x-y)(x2+xy+y2)

计算：

①(—3a。).(—2a).(—42。)；②(—3/y)•(—2xy?)；

③(-2c/y•(-2//了.④(_8苏卜卜，J—(J加

计算⑴(x-2y)5+(2y-x)2(2)(-a)54-a2⑶Qab；=(-a2b2)

若式子(x-2)°有意义，求x的取值范围

已知a'=6,ay=2,求知\a2x-y.

若32.924十:27'=81，求。的值.

四、课堂运用

/M2/n+,26

1、计算：(1)/.),；(2)X-x；(3)-a-a

25

2、计算：(1)(Q丫；⑵(/J；(3)一那].(4)(aJ-a

/•]\2

3、计算：⑴⑹6；(2)-p；(3)(-3x2y3)2

13)

1、计算：（1）（一(2)2xy.一#")(-3位2)

kJ

2

2、计算(1)—3xy•2x"■+—xy~~y~+1；(2)(3ab-ab+ab)

<3

3、计算：(x+2yX4x+3y)

1、计算：(1)(y+2)(y—2)；(2)(3x+2)(3x-2)；

(3)(2+3。43〃—2)；(4)(2+〃“—2+/九)

2、计算：⑴（x+2）2；（2）（5x-4y）＜（3）1992（用简便运算）

3、计算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(a+b+c)~

五、课堂小结

1.同底数幕的乘法法则：司底数哥相乘，底数不变，指数相加，即aLa=ar'n(m,n都是正

整数)

2.塞的乘法法则：即帚的乘方，底数不变，指数相乘，UO(an)n=am(m,n都是正整数)，

3.枳的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的哥相乘，即

(ab)n=aE(n是正整数)

六、课后作业

1.下列计算正确的是()

3、25

A.x+x=2x2nB.X”=XC.(x2)=x51).(2x)=2x2

2.先化简，再求值：