河南信阳市某中学2025-2026学年下学期3月学情自测九年级数学（解析版）

九年级数学

1.如图，数轴上点力表示的数是2025,OA=OBt则点8表示的数是（）

BOA

---1-----------J----------1--►

02025

11

A.-2025B.2025C.-----D.

20252025

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查数轴上点表示数，根据ON=08可得点4、B表示的数是相反数解题即可.

【洋解】解：•••04=05,点力表示的数是2025,

・••点8表示的数是-2025,

故选:A.

2.我校中招埋化生实验操作考试上周圆满落琴，数据显示2025年郑州市共有125000名初中毕业生参加埋

化生实验操作考试，若用科学记数法表示该人数，正确的是（）

A.1.25xl03B.125x1()4C.1.25xl05D.125.0x10,

【答案】C

【解析】

【详解】解：125000=1.25,105.

3.下列运算正确的是()

A.(-2X)2=-4X4B.61+2/=3/

22

C.x2+2x2=3/D.x+2y『=x+4xy+2y

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，能够熟练运用乘法公式是

解决本题的关键.

根据积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，分别计算四个算式并判断其正误即可.

【详解】解：A、（-2"=4.一,故人错误，不符合题意；

B、6/♦21=3/，故B正确，符合题意;

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C、x~+2x2=3x2，故C错误，不符合题怠;

D、（x+2y）2=x2+4xy+4y2,故D错误，不符合题意：

故选:B.

4.若关于x的一元二次方程加/一2犬-1=0有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）

A.w>1B.m>-1

C.〃z>-1且m工0D.〃z<1且〃7Ho

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意可得△=4+4〃7>0且

求解即可，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：•・•关于x的一元二次方程〃涓_2工-1=0有两个不相等的实数根，

A=(-2)--4/nx(-1)=4+4/??>0,且〃zW0,

・••加>一1且〃7,

故选:C.

5.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化

的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取

的两木恰好是《论语》和《大学》的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》

的可能结果，再利用概率公式求出即可.本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法

和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键.

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【详解】解；记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为/,B,C，D,画树状图如下:

开始

ABCD

/1\小/N/N

BCDACDABDABC

一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即4）和《大学》（即C）的可能结果有2种可

能,

:.P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）=-=-

126

故选:B.

6.若点力（一5,必），3（-1,为），。（5,必）都在反比例函数的图象上，则必，y2,丛的大小关系

X

是（）

A必＜为〈为B.必。3VMC.必＜必＜为D-必＜弘

【答案】D

【解析】

【分析】将各点的横坐标代入反匕例函数解析式，求出对应y值后直接比较大小即可.

【详解】解：•・•点”（-5,必），B（—l,无），。（5,8）都在反比例函数歹二一』的图象上,

x

・•・将各点横坐标代入解析式得：必=[=1/=二?=5%=1=-1

—5—15

•・•-1<1<5,

7.如图，已知四边形力5CQ是平行四边形，点£是40的中点，连接4E,4C相交于点尸，过厂作力。

的平行线交44于点G,若FG=2,则8c的值是（）

C.8D.4

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，由四边形力5CQ是平行四边形，得

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AD=BC=2AE,AD\\BC,再证明△AFG5"CB,4BFG5&BEA,利用相似三角形的性质即可得解.

【详解】解：•••£是/。的中点,

AD=2AE，

•・•四边形ABCD是平行四边形,

.・.4D=BC=2AE,AD\\BC,

AD||FG\\BC,

:AAFGS"CBQBFGS.BEA,

.AG_FGBG_FG

••布一记‘茄一布‘

--2-1---2----A--G-1__B_G_—I,

・•・BC1ABAB

2

解得：BC=6、

故选：A.

8.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离.若

纸张长16c租，宽10，加，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的

70%,若设应设置的页边距为xcm,根据题意可列方程为()

页边距

页

打印区域

边

距：ii

-£距

f页边距

A.(16-x)(10-x)x70%=160B.(16-2x)(10-2x)x70%=160

C.(16-x)(10-x)=160x70%D.(16-2x)(10-2x)=160x70%

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意、找到等量关系是解题的关键.

根据“打印区域的面积占纸张总面积的70%”列出方程即可.

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【详解】解：设应设置的页边距为xcm,则打印区域的长为（16-2x）cm,宽为（10—2x）cm,

・•・打印区域的面积为（16-2力。0-2力,

•・•打印区域的面积占纸张总面积的70%,

.­.(16-2x)(10-2x)=160x70%.

故选D.

9.如图1,正方形力68的边长为2,点石为边的中点，动点尸从点月出发沿⑷5fBe匀速运动,

运动到点C时停止.设点P的运动路程为4,线段PE的长为y,y与x的函数图象如图2所示，则点〃的

坐标为（）

C.(2,V5(D.(2,2.5)

【发】C

【解析】

【分析】本题考瓷动点问题的函数图象，关键是根据图2确定"点的坐标与正方形的边之间的关系.

根据图2确定〃点的横坐标为力8的长度，纵坐标为AE的长度，然后求值即可.

【详解】解：由题意可知，当点尸在边力8上时，N的值先减小后增大，

当点p在边8C上时，y的值逐渐减小，

AM点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，

•;AB=2,EC=ED=-AB=-x2=l

22

/.BE=^BC2+CE2=V22+l2=X/5，

故选：C.

10.随着科学技术的发展，汽车也越来越智能化，如图1,汽车抬头显示系统利用平面镜成像原理，将显

示器上的重要行车数据投射在驾驶员前面的挡风玻璃上.这种车窗所采用的“智能玻璃”能根据车外光照

度自动调节透明度，使得投射影像的亮度保持一个适宜的定值，经测算，玻璃的透明度，〃和车外光照度x

Ox）成反比例关系，其图象如图2所示，则下列说法中正确的是（）

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图1图2

A.车外光照度越大，玻璃的透明嗖越高

B.车外光照度为300h时，玻璃的透明度最低

C.玻璃的透明度机与车外光照度x满足关系式：m=—

x

D.玻璃的透明度为90%时，车外光照度为独h

3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查反比例函数的应用；根据图象求出玻璃的透明度机与车外光照度x的函数关系式，再结

合图象分析即可.

【详解】解:设玻璃的透明度加与车外光照度了满足关系式加=",

X

把(60100%)代入得％=60,

60

/.m=—,

x

・•・车外光照度越大，玻璃的透明度越低，故A错误；

当工=300时，〃7=20%,

・•・车外光照度为300/x时，玻璃的透明度不是最低，故B错误：

玻璃的透明度机与车外光照度x满足关系式〃z=竺，故C错误；

x

当m=90%时，x=2^,

3

・••玻璃的透明度为90%时，车外光照度为迎小，故D正确；

3

故选：D.

11.二次函数歹=a/+8x-6(a。。)的对称轴是工=一2,则。的值为；

【答案】2

【解析】

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【分析】此题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式并代入计算是解题的关键.根据对称轴的计算公式

工=-3计算即可得到答案.

2a

【详解】解：对称轴为工二-2=-总=-2,

2a2a

解得：。=2,

故答案为：2.

12.如图，48是圆。的直径，8是圆。的弦，NABD=67。,则/C的度数是

【答案】23。##23度

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，熟悉掌握圆周角定理是解题的关键.

利用圆周角定理求出AADB=90°,再运算出NBAD的度数后即可求解.

【详解】解：•・,48是圆。的直径,

・•・/4DB=90°,

・•・/BAD=90°-ZABD=90°-67°=23°,

,:而=检，

・・・/C=NB4O=23。，

故答案为：23。.

13.如图，直线力8〃CDE,尸分别在直线力凡CO上，连接可，以顶点E为圆心，适当长为半径画

弧，分别交川5,EF于点G,H；再分别以点G,，为圆心，大于LG〃的长为半径画弧，两弧交于点P,

2

作射线EP交直线C。于点M,若NGEH=60。,EF=6,则线段的长为.

【答案】6石

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【解析】

【分析】本题考查作图一角平分线，解直角三角形，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质.正确

作出辅助线构造直角三角形是解题关键.

过点E作七。，C。于点。,即可求出NFEQ=30。，进而由余弦的定义可求EQ=EF-cosZFEQ二.由

题意可知为/力后歹的平分线，即得出/力耳必=/在”=1/6£"=3&.结合平行线的性质，可

2

得出/QME=/AEM=^Q,最后由含30度角的直角三角形的性质即可求出EM=2EQ=2&•

【详解】解：如图，过点K作《。，。。于点。.

.・.ZF£-0=3O°,

・•・EQ=EF-cosNFEQ=6xcos30°=6x-^=373.

由作图可知EM为//石厂的平分线，

・•・4AEM=乙FEM=-ZGEH=3(F.

2

VAB//CD,

・•・4QME=ZAEM=30。,

・•・EM=2EQ=6x/3.

故答案为：6百.

14.如图，在扇形中，403=90。，04=4,。是04的中点，将扇形力。6沿8。翻折，点/的

对应点为彳，则图中阴影部分的面积为.

A

「

O

B

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【答案】4加一8//升一8+4直

【解析】

【分析】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质.根据S阴影=S扇形/a-2sacos解

答即可.

【详解】解：・・・。4=4,C是04的中点，

:.OC.=—OA=2，

2

由题意，由折叠的性质得S阴影=S原形〃用一2S“O8=*兀、4"—2x—x2x4=4兀—8.

故答案为：4n-8.

15.定义：一组邻边相等且对•角互补的四边形叫作邻等对补四边形：如图四边形48co为邻等对补四边形,

已知4BC=90。，AB=BC,连接对角线4C,若S收=苞女,则4):CQ的值为

【答案】2+G或2-右

【解析】

【分析】先根据邻等对补四边形定义得两个直角三角形RSADC,根据两二角形面积的数量

关系得式子①，在两个直角三角形中根据勾股定理以及公共边NC列出式子②，结合式子①和式子②，令

4Dx

^=—=-»解方程求出的值.

CDy

【详解】解：在邻等对补四边形4BCO中，/4BC=90。,AB=BC,

...NADC=1800-Z.ABC=90°,

设,AB=BC=a,AD=x,CD=y,

,*S^ABC=2s”8.，

:.-ABBC=2x-ADCD,即"=中,

222

2=2xy①

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在用△力8c中，AC2=AB-+BC2=+a2=la2»

在R〃/QC中，/iC2=JD2+CD2=x2+/,

/.x2+y2=②

将①式代入②式得，.，+/=4xy,

两边同时除以/0)得，+1='，

⑴y

ADx

令"——=-,

CDy

则严+1=44，即/-44+1=0,

解得，尤=2+石，"，=2-百，

AD:CD=2+6或2-6

16(1)解方程：/一2汇一8=0；

(2)计算：|右一1+2而30。+(-1)-2.

【答案】(1)%=4,超=-2；(2)V3-1

【解析】

【分析】(1)原方程转化为(x-4)(x+2)=0,再化为两个一次方程，进而解方程即可;

(2)根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数轻的意义计算即可.

2

【详解】解:(1)X-2A--8=0，

(x-4)(x+2)=0,

x-4=0或x+2=0,

・"=4,x2=-2；

(2)原式=G-1-2X4+1

2

=73-1-1+1

=6—1•

17.随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人JL智能产

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品米辅助工作、学习和生活.市场上也涌现出了如。。空Se加、豆包等各类人工智能产品.经过巾场调研,

小罗决定从力，8两个人工智能产品中选择一个进行使用.以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用

户对4,4两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下：

语言交互能力得分

4:56688889910

5:66667899101（）

b.数据分析能力得分（如下图）

“得分

10.....•.....六一

9内\...1-\-…彳A—

:W木杖'危二.B-

4....A.........

3...

2......

1

（）lI111111111»

12345678910用户编号

c.语言交互能力和数据分析能力得分统计表

语言交互能力得分数据分析能力得分

统计量产

品

平均数中位数众数平均数中位数方差

Am887.0P

B7.77.5n6.97$

根据以上信息，回答下列问题:

(1)填空：n=,p=,sj.J(填“>”或“v”).

（2）请求出％产品语言交互能力得分的平均数机；

（3）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由.

【答案】（1）6,7.5,>

（2）7.7（3）小罗应该选择力，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出〃、〃的值；根据方差越小，波动越小，方差越大，波动越

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大，结合折线统计图即可得到方差的大小关系；

（2）先算出力产品语言交互能力得分的和，再除以10计算平均数〃，；

（3）分别从语言交互能力得分、从数据分析能力得分的平均数、中位数与众数进行比较即可进行选择.

【小问1详解】

解：•••8的语言交互能力得分中，6分出现的次数最多，

:.B的语言交互能力得分的众数为6分，即〃=6；

由数据分析能力得分的折线统订图得，

4的数据分析能力得分按从低到高的顺序排列为：3,4,4,6,7,8,9,9,10,10,

7iQ

:.A的数据分析能力得分的中位数为亍=7.5分，即p=7.5；

由数据分析能力得分的折线统计图知，力的得分的波动程度大于8的得分的波动程度，即5；>邑2;

故答案为:6»7.5,>；

【小问2详解】

5+6+6+8+8+8+8+9+9+10-

解：力产品语言交互能力得分的平均数为:m=--------------------------------=7.7；

10

【小问3详解】

解：小罗应该选择力，

理由如下：从语言交互能力得分来看，力和B的平均数一样，但是/的中位数和众数均高于8；从数据分

析能力得分来看，4的平均数高于6,且4的中位数也大于8.

18.如图，线段力C、BD相交于点、O.且力8〃CQ,AE上BD于点、E.

（1）尺规作图：过点。作8。的垂线，垂足为点夕、连接力?、CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标

明相应的字母）

（2）若力B=CD,请判断四边形NECF的形状，并说明理由.（若前问未完成，可画草图完成此间）

【答案】（1）见解析（2）四边形4EC尸是平行四边形，理由见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：

（I）先根据垂线的尺规作图方法作出点片再连接力/、CE即可；

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（2）先证明△力5O/4C0O（ASA）,得到。力=OC,再证明.4后〃CEZAEO=ZCFO=900,进而

证明A/OEt△COE（AAS）,得到＜E=Cb,即可证明四边形力EC/是平行四边形.

【小问I详解】

【小问2详解】

解：四边形力EC77是平行四边形，理由如下:

VAB//CD,

:・/B=/D,/OAB=NOCD,

又•：AB=CD,

・•・A45。也△COO(ASA),

・・・CM=OC,

VAE±BD,CF1BD,

AAE//CF,AAEO=ZCFO=90°,

又•：/AOE=/COF,

:.ZUOE/CMAAS),

/.AE=CF,

・••四边形力EC尸是平行四边形.

19.如图，三角形44。内接于O。，AB=AC,连接8。并延长交。。于点Q,连结力。，力。，CD.

（2）猜想04与CO的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析（2）OA//CD,理由见解析

【解析】

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【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键.

（1）根据等腰三角形的性质得到N43C=N/C3,根据圆周角定理得到=证明

/ABC=/ADB；

（2）根据垂径定理得到/胡。=NC40,根据圆周角定理得到N/BO=ZACD,得到Z.CAO=ZACD,

根据平行线的判定证明即可.

【小问1详解】

证明：AB=AC,

:,乙4BC=4ACB,

由圆周角定理得：/ACB=ZADB,

・•・/ABC=N4DB；

【小问2详解】

解：OA//CD,理由如下：

•・.AB=AC,即/二ic

：.AOLBC.

・•・4B4O=/C4O,

*/OA=OB,

；・/ABO=/BAO,

・•・乙ABO=ZCAO,

由圆周角定理得：/ABO=/4CD,

:.NC4O=N4CD,

・•・OA//CD.

20.某文具店准备购进甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：

甲水笔乙水笔

每支进价（元）a4+5

每支利润（元）23

已知花费400元购进中水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等.

（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元.

（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不

超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元.

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【答案】（1）甲种水笔每支进价为5元，乙种水笔每支进价为10元

（2）该文具店购进甲种水笔132支，乙种水笔34支能使利润最大，最大利润是366元

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识，熟练掌握分式

方程和一次函数的应用是解题关键.

（1）根据花费400元购进甲种水笔的数量和花费800元购进乙种水笔的数量相等建立方程，解方程，进行

检验即可得；

（2）设该文具店购进甲种水笔x支，获得的利润为卬元，则购进乙种水笔（100-gx）支，先求出

再求出0<xW”，根据一次函数的性质求解即可得.

w=-x+300,

23

【小问1详解】

400_800

解；由题意得;

aa+5

解得Q=5,

经检验，。=5是所列分式方程的解，且符合题意,

则。+5=5+5=10,

答：甲种水笔每支进价为5元，乙种水笔每支进价为10元.

【小问2详解】

解：设该文具店购进甲种水笔K支，获得的利润为卬元，则购进乙种水笔粤3=（100-《X〕支,

10（2）

由题意得：w=2工+3（100-gx）=；x+300,

•・•考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍,

（1、

工0<xW4100—x,

I2）

解得0<x«处，

3

由一次函数的性质可知，在0<xW竺^内，卬随x的增大而增大，

3

又・.・x和100—』x均为正整数,

2

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1

・••当x=132时，卬取得最大值，最大值为一xl32+300=366,

2

此时100—'X=100—LX132=34,

22

答：该文具店购进甲种水笔132支，乙种水笔34支能使利润最大，最大利润是366元.

21.某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所

示图形.为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线48是反比例函数歹二人的一

x

段图像，线段8。是一次函数：下=11+6的一段图像，点8（20,32）,沙发腿轴.请你根据图形

5

解决以下问题：

图一图二

（1）请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写XII勺取值范围）；

（2）过点力向x轴作垂线，交x轴于点尸.已知CFudcm,DE=40cm,tana=4,设计师想用一个

长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？

【答案】（1）反比例函数表达式为y=%，一次函数表达式为y='x+28

x5

（2）长方体箱子的长、宽、高至少应该是60cm、52cm、80cm

【解析】

【分析】（1）将8点坐标代入反比例函数表达式求出〃的值，进而求出反比例函数表达式，将〃点坐标代

入•次函数表达式求出〃的值，进而求山•次函数表达式；

（2）作AMJ_x轴于先根据三角函数求出ME的值，进而求出高//的值，将OE=40代入一次函数

表达式即可求出长和宽.

【小问1详解】

将B点坐标代入反比例函数表达式：攵二32x20=640

・•・反比例函数表达式为），=%

x

第16页/共22页

代人一次困数表达式得：32=-x20+d,解得力=28,

5

・•・一次函数表达式为y=1x+28

【小问2详解】

如图，作轴于M,

•••tana=4,BM=32cm

c、«BMc

/.CM=-------=8cm,

tana

•.・CF=4cm

；・MF=MC+CF=12cm

,:xB=20

・•・尸(8,0)

当工=8时，y=80

/..4(8,80)

AAF=80cm

DE=40cm

・••把y=40代入一次函数表达式得x=60

/.19(60,40),即长为60cm

：・EF=OD—OF=52cm

根据三视图可得：长方体箱子的长、宽、高至少应该是60cm、52cm、80cm.

【点睛】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用三角函数解决实际问题，熟练掌握函数

表达式的求法是解题的关键.

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22.已知一次函数y=/+bx+c的图象经过点（0,-3）,（1,-4）,对称轴为直线*

（1）求二次函数的解析式利加的值；

（2）当一44工（0时，求V的最大值和最小值；

（3）当〃〃时，二次函数的最小值为2〃，请直接写出〃的值.

【答案】（1）二次函数解析式为y=/-2x-3,m=\

（2）y的最大值为21，最小值为-3

（3）2-近或4+而

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）根据二次函数的性质，结合-4WxW0得到当x=0时取最小值；

（3）根据题意分三种情况进行分类讨论，分别根据二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

解：,二次函数卜=/+反+。的图象经过点（0,-3）,（1,-4）,

c=-3

••4，

1+/）4-c=-4

[b=-2

解得《,，

c=-3

，二次函数为y=x2—2x—3,

•••对称轴为直线工二一二二1,

2x1

阳=1；

【小问2详解】

解：•••抛物线》=/一2¥-3开口句上，对称轴为直线x=l

.,.在—4«x<0内，N随x增大而减小，

・•・当x=-4时有最大值歹=16+8-3=21,

当工=0时有最小值>=-3；

【小问3详解】

解：.••抛物线y=f—2r—3开口句上，对称轴为直线x=l,

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..•当时，尢=〃时有最小值y=2〃，即y=-3二2〃，

解得〃=2-々或〃=2+不（舍去）；

当〃-221时，x=〃-2时有最小值y=2〃，即y=（〃-2）2-2（〃-2）-3=2〃.

解得〃=4+JTT或刀=4-JTi(舍去);

当〃一2<1<〃时，x=l时有最小值y=2〃，即y=l-2-3=2〃，

解得〃=一2（舍去）;

综上所述，〃的值为2-S■或4+而.

23.综合实践：数学活动课上，老师让同学们用一个边长为1的正方形/8CQ进行探究活动：在射线。上

取一点E（不与/点重合）以上为圆心所长为半径作弧交直线8c于点厂.

图1备用图

(1)如图1,当E为4C中点时，可知/