山东东营市2025-2026学年高一年级下册期末学业质量评价数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年第二学期期末学业质量评价

高一数学试题

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷(选择题共58分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.

1.已知向量小〃满足同=3,=2,<力力,则=()

A.3丛B.3C.6D.9

2.下列四个函数中，以I为最小正周期，且在区间上单调递减的是()

A.y=cosB.y=tanxvC.y=sin|利D.>=卜出利

7C7T27r27c

3.已知复数Z1=cos—+isin—,z=cos——+isin——,则zrz,的虚部等于()

66233

A.yB.一包C.-iD.一立i

2222

4.在eABC中，已知/tan8=ZAaM，则一A6C的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形

25(2兀、

5.已知Gsina-cosa=———»那么cos?一。=()

3I3J

A.旦B..包C.旦D,一旦

3333

—.—一™.1

6.江.A3C中，2A£>=OC，E是线段上的一点，若AE=+—OC,则加一()

4

1115

A.—B.-C.~D.一

6426

1”6.r°k/I-cos4802tan13°_.、

7-------------------.设。二—cos7。-----sin7°,b=J------mi-|-,c=-----7―—»则有()

22V21-tan-13°

A.a<b<cB.h<a<cC.c<b<aD,a<c<b

8.如图，四边形A3CD为矩形，其中八8=4，4)=2,其上方是一个以CO为直径的半圆，P为半圆弧

上的一个动点，则P/VPB的取值范围为()

A.[4,12]B.[8,16]C.[4,16]D.[8,12]

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量〃=(-3,2),方二(1,2),c=(2,-l),2eR,则下列说法正确的有()

A•若则4=2氏若〃与c的夹角为钝角，则2的取值范围是

S，2)

C.若(a+〃)_Lc,则2=2D.向量。在向量〃上的投影向量为

10.卜・列说法正确的有()

A.已知二48c中，内角4、B、C所对的边分别为〃、b、c,若。=2,0=26，A=30,则

C=90

B.已知复数z=l—2i,复数。满足|0-z|=l,则同的最小值为逐-1

C.a'(bc^=(cib^'

D.「ABC中，若4P=2i—I+r_I,G[0,+co）,则动点p的轨迹一定通过,ABC的内心

\AB\\AC\

11.某小型风力发电机中心为坐标原点。，初始时刻叶片端点质点M位于位置M0（4,0）.定义一次叶片旋

缩运动：电机带动质点M绕原点顺时针旋转12。，同时叶片弹性伸长，质点M到转轴原点。的距离变为原

来的2倍.从初始位置A/。出发，连续完成〃次旋缩运动后质点M的位置记为加2,…下列说

法正确的是（）

A.完成1次旋缩运动后，M,的坐标为（8cosl20,8sinl2。）

B.记此坐标为（当，”），则%一"=2-2缶m（12〃+45）。

C.第35次、第70次运动后质点与原点构成aOM35M70,该三角形面积为百

D.若质点M到转轴原点的距离大于1250时叶片会触发过载警报，则触发警报的最小运动次数正整数

〃二9

第n卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.若角。的终边过点尸（4,一3）,sin2a=.

13.已知点。是工4BC内部一点，并且满足。A+OB+2OC=0，cBOC的面积为的面积为

$2,则率=.

14.目前，中国己经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身

影.某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高43=48m,该同学眼高1.65m

（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部3的仰角为37。，测得基站

顶端A的仰角为45。，求得山高为m（用参考数据进行计算，山高为8到地面的距离）；当该同

学面向基站4g前行时，记该同学所在位置。处到基站49所在直线的距离为xm,且记在。处观测基站

底部〃的仰角为。，观测基站顶端A的仰角为少.试问当工=m（保留精确值）时，观测基站

的视角NACB最大？（数据：也n1,4，sin8°«0.14,sin37°«0.6,sin127°«0.8）

四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤.

15.在4ABe中，角A，B,C所对的边分别是〃，b>c,B.a=csinB+bcosC•

3

(1)求角A；

(2)若。是边AC的中点，a=2,cA3C的面积为毡，求

="sip—2]=亚

16.已知Ova(色，--</?<(),cos—+«

22(4,3（42>13

(1)求cosa+4的值；

(2)求tan/的值.

17.如图，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=60°,E是AB的中点，AF=-AD,

4

3G=430(()<4<1),H为BD与FG的交点、

Dr

AEB

|(XU

(l)当4=3时-，用AA，AD浅示EF，EG-

(2)是否存在实数/L使得ER1EG?若存在，求出义的值；若不存在，说明理由.

(3)求£”.£8的取值范围.

,强/

sin:®+—

18.记sABC的内角A，B,C的对边分别为。，b,c,若穆2_sin28.

1+sin41-cos（25-兀）

（1）若C=---,求8；

3

⑵求A+28；

（3）当一:"取最小值时,求cos25的值.

c

19.己知复数z=a+〃i（a,/?£R）的三角形式是z=〃（cos8+i-sine）,其中，•是复数z的模，，是更数z

的辐角.当840,2兀）时，。称为辐角的主值，记为argz.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直

观的几何意义：若Z］=4（cos。］+i・sinq）,z2=A;（COS^+i-sinft）,则

4・22=皿［85（，［+。2）+"治（4+。2）］.即模相乘，辐角相加.

（1）写出复数z=l+的三角形式，并计算z?，z3的三角形式，由此归纳出z"（〃wN*）的三角形

式；

⑵设a是复数4的辐角主值，£是复数的辐角主值，且a+/;£（0,2江），若团=闫二1,

（z1+z2-2z1z2）eR,求ta吟king的值.

（3）设复平面上单位圆内接正八边形的8个顶点对应的复数依次为4,z2,Zg（逆时针顺序），其

中Z=L求复数z；°26,z养6，…，z产6在复平面所对应不同点的个数.

2025-2026学年第二学期期末学业质量评价

高一数学试题

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.

1.已知向量生〃满足同=3,=2,＜力力,则=（）

A.3丛B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】

【分析】通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可.

【详解】平面向量d*的夹角为:，同=3,忖=2,

则向量由〃=|4|Wcos]=3x2xg=3.

2.下列四个函数中，以1为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）

12/

A.y=cos-^B.y=tan?LvC.y=sin网D.y=|sin7u）

【答案】D

【解析】

2兀

【详解】对A,函数周期为》二,在区间（0,2）上递减，故A不满足要求；

2

对B,函数周期为四=1上也是单调递增，故B不满足要求;

n

对C,因为y]=sin

(3]f3)

所以y--hy--+1=y,故丁=5由门工不是以1为周期的周期函数，故C不满足条件:

vI27I2j「5

对D,因为忖n(x+1)司=|sin(7U+7t)|=|-sinjix|=|sinju|,故)二卜曲词是以1为周期的周期函数,

71；』)上单调

且当时，7tve—,nLsin7LV>0»所以y=bin7tr|=sinTU,所以丁二卜苗心|在

(2)

递减，故D满足条件.

兀..兀二COS型+isin@

3.已知复数4=cos—+isin—,z,,则zrz2的虚部等于()

6633

I.G

A.12Rg--C.—1D.——i

222

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数乘法运算及复数定义分析求解即可.

【详解】由Z[=cos£+isinH=^+,i,z,=cos生+isin0」+回，

6622-3322

f1G.)@+3」i+®2二一直+匕

则4.Z=——十——i

22222444422

所以2的虚部等"

4.在4ABe中，已知储tan5="tanA，则4ABe的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理边化角得到sinAcosA=sinBeosZ?，再结合正弦二倍角公式即可判断.

【详解】在上A8C中，a2tanB=b2tdnA»

・・.由正弦定理，得s""_sin'康i”

cos/?cosA

sinA_sinB

又siMwO,sinBwO,

cosBcosA

/.siaAcosA=sinBcosB,即一sin2A=-sin28,即sin2A=sin28,

22

因为0<ABv兀,0<A+B<兀,

A=5或2A+23=TT,即A=9或A+8=g,

2

/.ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D

Jl2后，(2兀)

5.已知Jisina-cosa=------，那么cos--a=()

3I3J

A.立B.一包C.受D「受

3333

【答案】C

【解析】

【分析】借助辅助角公式可得再利用诱导公式整体代换计算即可得.

【详解】Gsina-cosa则sin

一一一1

6.在上ABC中，24O=OC，E是线段区。上的一点，若AE="2A5+-OC,则()

4

A.-B.-C.；D.—

6426

【答案】C

【解析】

__________1,

【分析】根据题意，设BE=2BD，且24O=OC，化简得到4石二(1一田/18+万2。C,结合

AE=mAB+-DC,列出方程组，即可求解.

4

【详解】如图所示，因为点E是线段B£>上的一点，设8E=/IB£），且2A£>=OC，

■•«•—•—•・——1

可得4石-48=/1(4。-43),即AE=(l-4)A3+；lAO=(l-/l)A8+-/lOC

1-2=7W

又因为AE="7AB+'oC,可得，I1，解得2=L,〃7=L.

4一4二一22

24

rn1rcG.rc,1-COS48。2131113°皿士.、

7.设。=—cos70----sin7°,b=J-----------,c=--------7—,则有（）

22V21-tan~13°

A.a<b<cB.h<a<cC.c<b<aD,a<c<b

【答案】A

【解析】

【分析】由辅助角公式、余弦二倍角公式及两角和的正切公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断.

【详解1a=—cos70-----sin7C=sin30°cos7°一cos30°sin7°=sin23°，

22

=sin24?，

sin26sin26?.

二tan26?--------->----------=sin26?.

1-tarr13鞍cos261

由），=5桁式对锐角是递增的，所以sin26?sin24?sin23?,

所以

8.如图，四边形4BCO为矩形，其中A8=4,AD=2,其上方是一个以CO为直径的半圆，。为半圆弧

上的一个动点，则的取值范围为（）

A.[4,12]B.[8,16]C.[4,16]D.[8,12]

【答案】A

【解析】

【分析】取中点O,利用向量中点分解与平方差公式将尸4・尸8转化为再结合|。0|的

取值范围求得最终结果.

【详解】如图，取43的中点。，则。4=2,

则姑户8=（00+04）（00+0片）=（00+04）（20—0人\）=0O2-OA2=PO|",-4.

由于P为半圆弧上的一个动点，故P0的最小值为co=DO=,2?+2?=2忘，

最大值为4,即P点位于圆弧中点时P。的长，

即2及《忸0|44,所以8《卜0『《16’所以4《|P0（一4412,

则P4PB的取值范围为[4,12].

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量。=（一3,2）,〃=（1,2）,c=（2,-l）,2GR,则下列说法正确的有（）

■13

A.若R/c，则2B.若〃与。的夹角为钝角，则4的取值范围是

（3,2）

C.若（〃+可_Lc,则2=2D.向量〃在向量Z,上的投影向量为（呆

【答案】AD

【解析】

【详解】对于A,若二〃：，则2九二-3x（-1）,所以；l=T，A正确；

对于B,若。与c•的夹角为钝角，贝~2<，解得％<2且2#—!，B错误;

22^-lxl2

对于C,〃+/?=(—2,4),若(a+/?)_Lc,则(a+Z?〉c=-22+4x(-l)=0,

解得a=一2,C错误;

ci,b7—3+4(12、

对于D,向量。在向量〃上的投影向量为可电二D正确.

忖5

io.下列说法正确的有()

A.已知一48C中，内角4、B、C所对的边分别为〃、b、c,若。=2,b=26，A=30，则

C=90

B.已知复数z=l—2i,复数。满足|o-z|二l,贝|」|同的最小值为石-1

D._A8C中，若人夕=2普+等，4e[°，”)，则动点户的轨迹一定通过二ABC的内心

口叩.到

【答案】BD

【解析】

【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用复数模的三角不等式可判断B选项；利用平面向量数量积的运

算性质可判断C选项；利用平面向量的线性运算以及数形结合可判断D选项.

【详解】对于A选项，由正弦定理可得」一二/一，则.p_bsinA_2百、2一百，

sinAsinBsin8二-------=--------=--

a22

8=6()仍=120

因为A=30，0<B<150，故I2或〈「小，故A错误；

[C=90[C=30

对于B选项，由复数模的三角不等式可得网=\(co-z)+z\>\z-\(o-z\=Jl+(-2『-1=卡-1，

当且仅当口二三5+友二3i时，等号成立，故㈣的最小道为逐-1，故B正确；

5

对千C选项，设b.c=m,ab-n»则〃？、〃wR，

所以〃•仅句=.表示与〃共线的一-个向量，

(4・/2)-C；="C表示与c共线的一个向量，

但〃与C不一定共线，所以人伍⑹与伍与工不一定相等，故C错误;

ABAC

对于D选项，由题意可知是与AB同方向的单位向量'同是与AC同方向的单位向量,

ABAC

作4£=AF=，以Af、A厂为邻边作平行四边形4石。尸，如下图所示:

阿AC

易知AE=A/=1,所以四边形AEDF为菱形，则直线AD平分N84C,

AP=A—+7^1=X{AE^AF\=XAD,故点尸在NAAC的角平分线所在直线上.

故动点P的轨迹一定通过二48c的内心，故D正确.

11.某小型风力发电机中心为坐标原点。，初始时刻叶片端点质点/位于位置M。(4,0).定义一次叶片旋

缩运动：电机带动质点M绕原点顺时针旋转12。，同时叶片弹性伸长，质点M到转轴原点。的距离变为原

来的2倍.从初始位置M。出发，连续完成〃次旋缩运动后质点M的位置记为何加2,…下列说

法正确的是()

A.完成1次旋缩运动后，的坐标为(8cosl20,8sinl2。)

B.记以坐标为(工,％),则怎一%=2"+20sin(12.+45)。

C.第35次、第70次运动后质点与原点构成△OM35M70,该三角形面积为2m6

D.若质点M到转轴原点的距离大于1250时叶片会触发过载警报，则触发瞥报的最小运动次数正整数

〃二9

【答案】BCD

【解析】

【分析】确定|OMj=8,设由三角函数的定义可得点的坐标，判断A项；同理可得

怎=42"8s(-⑵％=4-2"sin(-⑵。。，利用辅助角公式化简£—尤，判断B项；依次求出

|OM35|,|OM70|,利用三角形的面积公式计算，判断C项；将|OM』=4-2〃代入|OM“|〉1250计算，即可

判断D项.

【详解】以原点。为中心，把点时。（4,0）绕0顺时针旋转12。，再把新点到。的距离变为原来的2倍得

到点“I，

则10Mli=8,—12。角的终边为。，

则M,(8uos(-12o),8siii(-12°)),即(8cosl2°,-8sin12°),故A错误；

%坐标为(工“,”)，同理类推可得x“=4・2〃cos(-12〃)。,第=4・2〃sin(-12〃)。,

x,,+2

则n~yn=4•2"cos(-l2〃)°—4-2"sin(-l2〃)°=2^cos(12n)°+sin(12w)°J

=41-2"+2[sin(12/7)°cos45°+cos(l2〃)°sin45°]

=V2-2M+2sin[(12/7)°+45°]=2,,+2>/2sin(12/?+45)0,故B正确；

=4•2"cos(-12”)°,y/t=4•2"sin(-12/?)°,

3535

.•.^5=4-2cos(-12x35)°,y35=4-2sin(-12x35)°,

|0%51=正+4=4X235=23\同理|。%。|=寓+。=4X270=272,

=||OM35|x|OM70|x|sin(70-35)xl20|

=-X237X272|sin420°|

J

=2,07V3,故C正确；

因|0此|=&：+片=4.2〃,由得2〃+2>1250，

由于=1024,2"=2048,则正整数〃+2的最小值为11,

•・•使|OM』＞1250的最小正整数〃为9,即触发警报的最小运动次数正整数〃=9,故D正确.

第n卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.若角a的终边过点P(4,-3),sin2a=

【答案】V

【解析】

34

【分析】根据三角函数终边上点的定义得sina=-w，cosa=£,进而利用二倍角公式求解即可得答案.

J1

34

【详解】解：由三角函数终边上点的定义得sina=-M，cosa=不，

所以sin2a=2sintzcoscr.

25

24

故答案为：-丁

25

13.已知点。是内部一点，并且满足。4+O8+2OC=0，_3OC的面积为S1,的面积为

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】取线段AB的中点。，连接。O,可得出OA+O3=2OD，代入等式04+03+20（7=0,推导出

S.

。为线段C。的中点，据此可求得三■的值.

【详解】因为点。是-AAC内部一点，并且满足。4+。8+2。。=0,

取线段4B的中点Q，连接。。，如下图所示：

因为。为AB的中点，所以AD=DB，即0。一。4=08-0。，所以04+08=200，

所以OA+O8+2OC=2OQ+2OC=0，即。。+。。=0，改。为线段CQ的中点，

所以M=S-52=2SABOD,故%箝

02乙'ABOD乙

14.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身

影.某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，己知基站高4B=48m,该同学眼高1.65m

（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置。处（眼睛所在位置）测得基站底部3的仰角为37。，测得基站

顶端A的仰角为45。，求得山高为m（用参考数据进行计算，山高为8到地面的距离）；当该同

学面向基站48前行时，记该同学所在位置C处到基站A8所在直线的距离为xm,且记在。处观测基站

底部8的仰角为a,观测基站顶端A的仰角为夕.试问当彳=m（保留精确值）时，观测基站

的视角NAC8最大？（数据：也xl.4,sin8°«0.14,sin37°«0.6,sin127°«0.8）

【答案】©.145.65②.96百

【解析】

【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解5E；利用直角三角形边角关系及差角的正切公式，结合

基本不等式求出取得tanAACB最大值，借助正切函数单调性求解.

【详解】由已知，如图，

A3sin45。48x0.7

则BC==240

sin（45°-37°）0.14

在二BCD中，BD=BCsin37°«240x0.6=144.

所以山高为144+1.65=145.65（m）.

因为tana二处二也ta出AD144+48192n〃兀

CDxCDx

观测基站的视角乙心二

192144

48

xX

且皿上黑恐=192x144.

3,192144x+------

1+-----X

xx

因为1+192x14422〃.12^2^=2jl92xl44，当且仅当x=©2x144,即丫=966时取等号.

xVxx

此时tan（4一。）取得最大值，即观测基站的视角NAC8最大.

四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤.

15.在AABC中，角A，B,。所对的边分别是。，b,c,且〃=Y3csinB+反osC.

3

（1）求角8；

（2）若。是边4c的中点，a=2,4ABe的面积为也，求BD.

2

TT

【答案】（1）-

3

⑵巫

2

【解析】

【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；

（2）利用面积公式计算出c,再借助向量模长与数最积的关系计算可得.

【小问1详解】

由题意知，在d.ABC中，y/3a=csinB+\/3bcosC»

rtl正弦定理得5/3sirL4=sinBsinC+Jlsin8cosC，

A+B+C=7T,>/3sin[K-（^+C）]=sinfisinC+V3sin^cosC,

即V3sin（B+C）=sinBsinC+GsinBcosC,

/.V3sinBcosC+\/3cosBsinC=sinBsinC+\/3sinBcosC，

.,.fV3cosB-sini?jsinC=0,

又sinC=0,.,.百cos。一sin8=0，解得tanB=G，

又•.•8£（0,兀），/.B=

【小问2详解】

_36

s。=2,由（1）知5=色

。△丽—23

,Lcsin八班

22

:£）是边AC的中点,BD=-(BA-v

2

.2.2

21?

..BDBA十6c十2BABCc+a十2accos8)

~4

1119

=—x9+4+2x3x2x—

42)T

二叫叫吗

71171

16.已知0V“＜—,cos一+。3,sm0=逅.

24423

⑴求cos”2

的值;

k2,

(2)求tan/的值.

【答案】（1）

573

(2)

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，以及cos（a+4几

=cos—+a,结

2144-2？

合两角差的余弦公式，即可求解;

（2）根据题意，利用倍角公式和诱导公式，求得cos夕和sin£的值，进而求得tan/7的值.

【小问1详解】

.„...7t_7t713兀

解：由0＜。＜一可得一＜一十a＜—，

2444

71

又因为cos—+a

14>40,

所以sin:+a)>0,贝hin2V2

~Y

由一工<〃<o,可得一工<2<o,所以工<二一2<二，

2424422

所以8S彳-与>0,所以cosj：_9)=/手)=半，

「“(17兀、(Ti〃Y|1>/32V2V65>/3

所以cosa+—=cos—+a-———=-x——+----x——=----.

(2)|_(4,(42〃33339

【小问2详解】

7T

解：由正弦的倍角公式，可得sin--p

（27

兀瓜&2M2x3叵25/2

所以cos/?=sin---p=2x------X-------=------------=----------------=----------，

12>33993

£2

又由余弦的倍角公式，可得cos三_/3=cos23it=l-2sin2

(42

42

a[1口9=]上二,

所以sin/?=cos[三一〃=l-2x

[2>[3)9993

—1

◎sin/73\/2

所以tan"=----=-7T=---.

cos42j24

3

17.如图，在菱形A8CQ中，AB=4,N创力=60。，E是A3的中点，AF=-AD,

4

BG=ABC（O<2<1）,H为BD与FG的交点.

CK.IU

AD表小EF,EG•

（2）是否存在实数％,使得EFLEG?若存在，求出义的值；若不存在，说明理由.

（3）求石”.“的取值范围•

【答案】（1）EF=-AD--AB,EG=-AB+-AD.

4222

（2）不存在几，理由如下:

因为71瓜40=卜@,卜48§4=4><4><5=8.

—.1—•1——1——•

乂因为七尸=一4。一一AB,EG=-AB+AAD

422f

所以EF.EG=（—+12，1义、Z-2

-AB+----\ABAD^-AD

（2）4（82）4

irii\}

=——x16+----x8+—xl6=-3wO,

4（82）4

故不存在A满足EF1EG-

【解析】

【分析】（1）应用平面向量数量美系结合加减法计算求解；

（2）应用平面向量数量积定义计算，再应用垂直数量积为。得出参数;

（3）应用数量积公式结合数量积运算律计算求解..

【小问1详解】

因为£是A8的中点，所以A£=,A8,

2

所以E/uAb-AEM’AO—’AB,EG=EB+BG=-AB+-BC=-AB+-AD.

422222

【小问2详解】

略

【小问3详解】

连接AH，因为/G「BD=H,所以3、H、D三点共线及F、H、G三点共线.

设A"=xAB+(l—x)AO,①

设FH=mFG,则A"一Ab=〃z(AG-A/7),gpAH-^AD=AB+AAD-^AD

(i-mA

得AH=mA8+------+〃沈AD.②

I4

\-ni.

__1t—X=------F〃吠3

由①②得，4，解得x.

3+474T

X=Hl

所以E”=4H-A£1=xA8+(l—x)Ar>—gA8=(x—gAB+(l-x)AD.

1)1V

所以EH・EB=x——48+(l—x)A。^AB—ABAD

2)2

---jx16+—x8=4x=_^_

24；23+42

上<上-<

由0<%<1,得3v3+44<7,所以一<------<—,4.

73+42373+44

<12、

所以£77.破的取值范围为—»4.

\'/

n

sinJ+—

18.记©ABC的内角A，B,。的对边分别为。，b,c，若I2sinIB

1+s\nAl-cos(28-兀)

若。==，求；

(1)A

3

(2)求A+28；

(3)当d［力取最小值时,求cos23的值.

c~

Jr

【答案】（1）B=-

o

(2)A+2B=-

2

⑶V2-1

【解析】

71

sin;j+—2兀

【分析】（1）根据I2sin2B借助三角公式，对该式化简变形，再根据C=——

3

1+sirhAl・cos(28-兀)

得到sin6=一，从而笈=四.

26

兀

sin+—cosAsin2。

(2)由2sin28,得到,再利用二倍角公式化为

1+sinAI+cos2B

1+sin/\1-COS(28-7T)

A

—=tanB,进而得出结论;

（3）利用正弦定理将州二^转化为角的正弦之间的关系，借助第（2）问，将角化为同角，利用基本不等

c~

式讨论最值，进而求出cos23的值.

【小问1详解】

cos4sin23

由题意知

1+sinA1+cos2B

从而cosA+cosAcos2B=sin28+sin2BsinA

所以cosA+cosAcos23-sin2/3sinA=sin24

因为C=—1，所以A，8为锐角，A+B=§

所以cos：蹇-8+cos(A+28)=sin23,

所以cos班-B+cos班-B+2B=sin2B

所以,cosB+^^sin5+—cosB-^-sinB=sin28

2222

所以cos3=sin2Z?,所以cosZ?=2sin8cos3,

1兀

因为8为锐角，所以sinK=不，从而8=^.

2