天一大联考顶尖计划二-2026届高三-2025年12月-数学-答案

绝密★启用前试卷类型：A2025—2026学年(上)高三年级顶尖计划(二)考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,B={1,2,3,4,5},则A∩B=A.{2,4}B.|3,5}C.{1,3,5}2.复数的虚部为3.已知α,β∈(0,π),则“cosα=A.充分不必要条件▲B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)=ke²⁻¹+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x+a,则a=A.-2B.-15.已知{an}是递增的等差数列，a₃=7,若a₁,a4,a1₃成等比数列，则as=A.10B.11C.12[8.已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为2,∠ABC=120°,设棱A₁D₁,BC的中点分别为M,N,若菱形ABCD内(含边界)的动点P满足PM·PN=0,则点P的运动轨迹的长度为AB.√39.在如图所示的正方体中，已知A,B,C,D,E,F分别是所在棱的中点，则A.AB//平面CDFB.BC//平面AEFC.BC⊥DFD.AD⊥BE10.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),满,当x∈(0,1)时，A.f(0)=1C.f(x)+1是奇函数D.f(x)是增函数11.在正项数列{a中，已知a₁=1,an+1=ln(an+1),则C.a₁+a₂+a₃+…+a₀<2数学(A卷)试题第2页(共4页)12.已知向量a=(2,3),b=(0,1),若(a+b)⊥(a-λb),则λ=.13.已知圆锥与圆柱的母线长相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.14.若函数f(x)=a-bx(a>0且a≠1,b≠0)没有零点，则ab的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设等差数列{a。|满足a₁=1,a²+1=a²+8n.(1)求{a的通项公式；16.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2)若abc=32,求acosA的最大值.17.(15分)已知函数f(x)=(x-1)(eˣ-ax-a),a∈R.(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a;(2)若当x≥0时f(x)≥-a,求a的取值范围.L18.(17分)(1)若AC⊥BC,求三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积.(2)若直线A₁C与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为(ii)三棱台ABC-A₁B₁C₁的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个?请任选一个包含最多顶点的球面，计算该球的表面积S.(注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分).CC19.(17分)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a>0,且f(a)<f(1),f'(x)有两个零点x₁,x₂,且x₁<x₂,证明：x²-x₁>2alna;的取值范围.2025—2026学年(上)高三年级顶尖计划(二)解析A表示大于1的奇数组成的集合，故A∩B=|3,5}.解析由题意可得,故其虚部为4.答案C解析由题知，f'(x)=keˣ⁻¹+1,∴f'(1)=ke¹⁻¹线方程得4=3×1+a,∴a=1.解析设\aa的公差为d,则d>0.因为a₁,a₄,a₁₃成等10d),化简得d²-2d=0,解得d=2或d=0(舍去),所以a₅=7+2d=7+2×2=11.解析当仁上的值域8.答案A命题透析本题考查棱柱与球的结构特征及相关计算.的直径MN的长为2√2,球心为MN的中点因为球心到底面ABCD的距离为1,所以底面ABCD截得0分.解析对于A,由AB//CF,ABC平面CDF对于C,易知DF⊥平面BCD,所以BC⊥DF,故C正确；仁解析对于A,令x=y=0,得2f(0)=f(0)-1,所以f(0)=-1,故A错误；对于B,令,对于C,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)-1=-2,,因为-1<x₁<x₂<1,所以0<x₂-x₁<2,-1<x₁x₂<1,且1所2,故C错误；整理可得a²<4(a-an+1),所以a²+a2+a3+…+a²<4(1-a₂)+4(a₂-a₃)+4(a₃-a₄)+…+4(a-an+1)=4-4an+1<4,故D正命题透析本题考查平面向量的坐标运算.解析由题意可得a+b=(2,4),a-λb=(2,3-λ),由(a+b)⊥(a-λb),得2×2+4×(3-λ)=0,解得λ=4.仁解析设圆锥的母线长为1,高为h,则圆柱的母线长和高均为1,设圆锥与圆柱的底面半径分别为r和R,则它14.答案(-1,0)U(0,+∞)有1-Inu>0,即u<e,当a>1时，得0<b<elna,即[1+nd+1+(n-1)d]d=8n,(2分)仁(2)由题意知………………(7分)由正弦定理得sinAsinC-cosAsinC=sinA两边平方得sinCcosC=0,又sinC≠0,所所以,即△ABC是直角三角形.………………………(8分)……………………(10分)故acosA的最大值为2.……………………(15分)解析(1)由题意得f'(x)=e-ax-a+(x-1)(eˣ-a)=x(eˣ-2a)(3分)所以f(x)在[0,+∞]上单调递增，由a-1≥-a,得,故.………………………(10分)仁所以f(x)..n=f(In(2a))=-a[In(2a)-1]²,(13分)由-a[ln(2a)-1]²≥-a,得………………(14分)综上，a的取值范围是…………(15分)18.命题透析本题考查棱台与球的结构特征及相关计算，空间向量的应用.解析(1)因为CC₁1平面ABC,ACC平面ABC,所以CC₁⊥AC,又AC⊥BC,所以△ABC与△A₁B₁C₁都是等腰直角三角形，故三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积为(2)设AB的中点为0,连接OC.由(1)可知AC=BC=2√3,所以OC⊥AB,故以0为坐标原点，OB,OC的方向分别为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.(i)设OA=OB=2a(a>0),OC=2b(b>0),由OA²+OC²=AC²,得a设平面ABB₁A₁的法向量为n=(x,y,z),设直线A₁C与平面ABB₁A₁所成的角为θ,………(12分)(ii)因为侧面ACC₁A₁和侧面BCC₁B₁都是直角梯形，不存在外接圆，所以其顶点不可能在同一个球面上，又仁侧面ABB₁A₁是等腰梯形，存在外接圆，所以其4个顶点可以在同一个球面上，再加上点C或C₁,可知同在一利用平面几何知识计算可知等腰梯形ABB₁A的外接圆圆心即点0,外接圆半径为2.………………(15分)设所求的球面球心为0₁,半径为R,则O0,//n,设00{=λn=(0,λ,-√2λ)(λ∈R),即O₁(0,λ,-√2A).①若选A,B,B₁,A₁,C所在的球面：因为C(0,2√2,0),所以R²=00²+2²=0₁C²,即λ²+2x²+4=(2√2-λ)²+2x²,解得,此时S=4πR²=22π.…………(17分)②若选A,B,B₁,A₁,C₁所在的球面：因为C₁(0,2√2,1),所以R²=00²+2²=0₁C²,注：只有①②两种情形符合要求，其余情形不给分；若计算多个球面，按第一个结果给分；若判断最多顶点个数错误，但计算结果正确，计算部分也正常给分.19.命题透析本题考查函数与导数的应用.解析(1)f(x)的定义域为(-1,+∞),……………(1分)∴f(x)在区间(-1,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增；……(2分)∴f(x)在区间(-1,a),(1,+∞)上单调递增，在区间(a,1)上单调递减；……………(3分)∴f(x)在区间(-1,1),(a,+∞)上单调递增，在区间(1,