2027年高考数学一轮复习(创新设计)第1节 数列的概念与简单表示法

课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.1.数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S2.在数列{an}中，若an最大，则a若an最小，则a1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)数列:1，2，3和数列:3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.2.(北师大选修二P4T2改编)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是()A.21 B.33C.152 D.153答案C解析由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.3.(人教B选修三P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an等于()A.n B.2nC.2n＋1 D.n＋1答案B解析∵a1＝S1＝1＋1＝2，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，当n＝1时，2n＝2＝a1，∴an＝2n.4.(人教A选修二P8练习T3改编)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－1an−1(n≥2)，则a5＝，猜想an＝答案65解析由题意知a2＝2－12＝32，a3＝2－23＝43，a4＝2－3猜想an＝n＋考点一由an与Sn的关系求通项例1(1)已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n·3n，则a2026＝.

(2)(2026·扬州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝nan＋1－2n(n＋1)(n∈N*)，则Sn＝.

答案(1)4053(2)2n2解析(1)n≥2时，a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝(n－1)·3n－1，与原式相减得3n－1an＝n·3n－(n－1)·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，则an＝2n＋1，经检验，n＝1时也成立，故an＝2n＋1，即a2026＝4053.(2)法一由Sn＝nan＋1－2n(n＋1)，①得Sn－1＝(n－1)an－2(n－1)n(n≥2)，②①－②得，an＝nan＋1－(n－1)an－4n(n≥2)，整理得，an＋1－an＝4(n≥2)，在Sn＝nan＋1－2n(n＋1)中，令n＝1，得S1＝a1＝a2－2×1×(1＋1)，解得a2＝6，所以a2－a1＝6－2＝4，所以{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，则Sn＝2n＋n(n−1)2×4＝法二因为Sn＝nan＋1－2n(n＋1)，an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＝n(Sn＋1－Sn)－2n(n＋1)，则nSn＋1－(n＋1)Sn＝2n(n＋1)，所以Sn＋1又S11＝a1＝所以Snn是以2为首项，2所以Snn＝2n，则Sn＝2n感悟提升1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，2.Sn与an关系问题的求解思路思路一:利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.思路二:利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.训练1(1)(2026·济南质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式an＝.

(2)已知数列{an}满足a1＝2，若2Sn＝an＋1＋2，则{an}的通项公式an＝.

答案(1)4，n解析(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，又当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式，故an＝4(2)当n＝1时，2S1＝2a1＝a2＋2，因为a1＝2，所以a2＝2，当n≥2时，2Sn－1＝an＋2，则2an＝2Sn－2Sn－1＝an＋1－an，即3an＝an＋1，an＋1所以当n≥2时，{an}是以首项a2＝2，公比为3的等比数列，则an＝a2·qn－2＝2×3n－2，n≥2，a1＝2不适合上式，所以an＝2考点二由数列的递推关系求通项公式角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an例2(2026·武汉质检)古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列{an}，则an＝.

答案n解析由已知可得an－an－1＝n(n≥2)，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式左右分别相加可得an－a1＝2＋3＋…＋n.∵a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝n2＋n2∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2角度2累乘法——形如an＋1an＝f(n例3若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)，a1＝2，则使不等式an<930成立的最大正整数n为()A.28 B.29C.30 D.31答案B解析依题意，数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)，a1＝2，则anan−1＝n＋1n−1(an＝a1·a2a1·a3a2·…·an−1an−2·anan−1＝2×31×a1也符合上式，所以an＝n(n＋1)，n∈N*，且{an}是递增数列，由an＝n(n＋1)<930得(n＋31)(n－30)<0，解得－31<n<30，所以正整数n的最大值为29.感悟提升1.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式，可利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.2.形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为an＋1an＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝anan−1·训练2(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn D.1＋n＋lnn(2)(2026·西安调研)数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝nn＋1an，则2026a2026＝答案(1)A(2)2解析(1)因为an＋1－an＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－ln所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋lnn(n∈N*).(2)若a1＝2，an＋1＝nn＋1则an≠0且an所以an＝anan−1·an−1an−2·an−2an−3·…·a2a1所以2026a2026＝2026×22026＝考点三数列的性质角度1数列的周期性与斐波那契数列例4(1)(2026·太原调研)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22−an(n＝1，2，3，…)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2025＋aA.2025 B.2026C.2026＋22 D.2026－22(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是()A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000答案(1)C(2)B解析(1)因为a1＝2，an＋1＝22−an(n＝1，2，3，所以a2＝22−a1＝2＋2，a3＝2a4＝22−a3＝2－2，a5＝22−a4＝2＝a1，a6＝则该数列的周期为4，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2025＋a2026＝506(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝506×(2＋2＋2－2＋2－2)＋2＋2＋2＝2026＋2(2)因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3;令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5;令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8;不等式右侧恰好是斐波那契数列从第3项起的各项:3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，显然f(16)>1000，所以f(20)>1000，故选B.斐波那契数列1.教材母题(人教A选修二P10阅读与思考)斐波那契数列的定义:若一个数列，首两项等于1，而从第三项起，每一项是之前两项之和，则称该数列为斐波那契数列.例:1，1，2，3，5，8，13，….2.斐波那契数列的递推公式F3.斐波那契数列的通项公式an＝154.斐波那契数列的性质(1)F12＋F22＋…＋Fn2＝(2)a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n;(3)a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1;(4)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝Sn＝an＋2－1.(Sn为斐波那契数列的前n项和)典例(多选)若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn，数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是()A.a9＝34B.a2026是奇数C.a2＋a4＋a6＋…＋a2026＝a2027D.S答案ABD解析该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以a9＝34，A正确;由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数，后一个为偶数，且2026＝3×675＋1，所以a2026是奇数，B正确;由an－1＝an－an－2，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2026＝a2027－a2025，累加得a2＋a4＋…＋a2026＝a2027－a1，C错误;由an＝an－1＋an－2(n≥3)，得a12＋a＝a1a2＋a22＋a＝a2(a1＋a2)＋a32＋…＝a2a3＋a32＋…＝a3(a2＋a3)＋…＋a20252＝a3a4＋…＋a20252＝…＝a2025a所以S2025＝π4(a12＋a＝π4a2025a2026所以S2025a2025a角度2数列的单调性例5已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋k2n，若数列{anA.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)答案D解析(单调性)因为an＋1－an＝3n由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝3−3n−所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).角度3数列的最值例6已知数列{an}的通项公式为an＝9n(n＋1)A.109 B.C.99109答案D解析法一an＋1－an＝9n9n(n当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an;当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an;当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1<an.所以a1<a2<a3<…<a8＝a9>a10>a11>…，所以数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝98法二设数列{an}的第n项最大，则an≥an−1即9n(n＋1)解得8≤n≤9，又n∈N*，所以n＝8或n＝9，故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝99感悟提升1.解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.(2)用作商比较法，根据an＋1an(an>0或an(3)结合相应函数的图象直观判断.2.求数列的最大项或最小项的常用方法(1)函数法，利用函数的单调性求最值.(2)利用an≥an−1，an≥an3.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.训练3(1)(2026·三明质检)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2026＝()A.－2 B.－1C.1 D.2(2)(2026·马鞍山质检)已知数列{an}的通项公式为an＝n−32n−17，前n项和为Sn，则SA.6 B.7C.8 D.9答案(1)A(2)C解析(1)由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)得，a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…，则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2026＝a337×6＋4＝a4＝－2，故选A.(2)令an＝n−32n解得n≤3或n>172，a∈N*当n≤3时，an≥0，故当n＝1，2时，Sn递增，且S3＝S2;当4≤n≤8时，an<0，故当n＝4，5，6，7，8时，Sn递减;当n≥9时，an>0，Sn递增.又a1＝215，a2＝113，a3＝0，a4＝－19，…，a8所以S8<0<S1，所以Sn取得最小值时的n的值为8.故选C.一、单选题1.观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9，…，则该数列的第12项是()A.1212 B.12C.ln12 D.sin12答案D解析通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且3个为一循环节，由此判断第12项是sin12.2.若数列的前4项分别是12，－13，14，－15A.(−1)n＋1C.(−1)nn 答案A解析由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数故此数列的一个通项公式为an＝(−1)n3.(2026·南昌测试)若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝11−an，则aA.1110 C.－110 D.答案D解析因为an＋3＝1＝1−an＋1所以数列{an}是周期为3的数列，所以a2026＝a3×675＋1＝a1，因为a2＝11，所以11＝11−解得a1＝1011，故a2026＝a1＝104.设数列{an}的通项公式为an＝n2－tn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则正实数t的取值范围为()A.0<t<3 B.t<3C.0<t≤2 D.t≤2答案A解析由数列{an}为递增数列，得∀n∈N*，an＋1>an，而an＝n2－tn(n∈N*)，则∀n∈N*，(n＋1)2－t(n＋1)>n2－tn，得t<2n＋1，而2n＋1≥3恒成立，则t<3，所以正实数t的取值范围为0<t<3.5.在数列{an}中，a1＝1，an＝n−1nan－1，n≥2，n∈N，则数列{an}的通项公式为anA.12n−1C.1n D.答案C解析因an＝n−1nan－1，n≥2，n∈则an＝anan−1·an−1an−2…a3a2·a2a1当n＝1时，符合题意，故数列{an}的通项公式为an＝1n6.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N＋)，则a6的值为()A.22 B.42C.79 D.149答案C解析数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n＋n，a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝2＋(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋(24＋4)＋(25＋5)＝2＋2(1−257.(2026·通化模拟)数列{an}的通项公式为an＝n−2025A.a1 B.a44C.a46 D.a50答案C解析因为an＝n＝n＝1＋2026所以当n≤2026，即n≤45时，2026−2025n−2026<0当n≥2026，即n≥46时，2026−2025n−2026>0且n≥46时，数列1＋2026所以该数列的前50项中最大项是a46.二、多选题8.已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·67nA.a1是数列{an}的最小项B.a4是数列{an}的最大项C.a5是数列{an}的最大项D.当n≥5时，数列{an}是递减数列答案BCD解析假设第n项为{an}的最大项，则a即(所以n又n∈N＋，所以n＝4或n＝5，故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝65当n≥5时，数列{an}是递减数列.9.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝nn＋A.数列{an}的首项为a1＝1B.数列{an}的通项公式为an＝1C.数列{an}为递减数列D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝1答案ABC解析对于A，数列{an}的首项为a1＝S1＝11＋1＝1对于B，当n≥2时，an＝Sn－Sn−1＝nn＋1－n−1n对于C，因为an＋1－an＝1(n＋2)(n＋1)－1n(n对于D，Tn＝12×23×34×…所以数列{Sn}的前n项积Tn＝1n＋1，故三、填空题10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝.

答案−2解析当n＝1时，a1＝S1＝－2;当n≥2时，an＝Sn－Sn−1＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n因为当n＝1时，不满足an＝2n－5，所以an＝−211.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，2Sn＝an＋1，则数列{an}的通项公式an＝.

答案1解析由2Sn＝an＋1得，n≥2时，2Sn－1＝an，两式相减得an＋1＝3a