2027年高考数学一轮复习(创新设计)第1节 随机抽样、统计图表

课标要求1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.3.理解统计图表的含义.1.总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量.2.简单随机抽样(1)简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样(除非特殊声明，本章所指的简单随机抽样是指不放回简单随机抽样).(2)简单随机样本:通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(3)简单随机抽样的常用方法:抽签法和随机数法.3.分层随机抽样(1)分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.(2)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中，第一层的样本量为n1，均值为x1，方差为s12;第二层的样本量为n2，均值为x2，方差为s22，则总的样本均值x＝n1n1＋n2x1＋n2n14.常用统计图表(1)频率分布直方图①纵轴表示频率组距，即小长方形的高＝频率②小长方形的面积＝组距×频率组距③各小长方形的面积的总和等于1.(2)作频率分布直方图的步骤①求极差;②决定组距与组数;③将数据分组;④列频率分布表;⑤画频率分布直方图.(3)其他统计图①扇形图:直观描述各类数据占总数的比例;②条形图:直观描述不同类别或分组数据的频数和频率(离散型数据);③折线图:直观描述数据随时间的变化趋势;④雷达图:直观比较多个变量在不同维度上的表现及各变量间的相对关系(差异程度和趋势);⑤总体密度曲线:设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y＝f(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线(连续型数据).1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.3.频率分布直方图中小长方形的高＝频率组距1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法.()(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会一样，与先后无关.(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层无关.2.(苏教必修二P236例1改编)(多选)某企业2026年年度营业费用情况如图所示，则下面说法中正确的是()A.基本工资占比最高B.奖金高于基本工资C.加班费与包装费相同D.工人支出占比不到40%答案CD解析加班费与包装费同为8%，故相同;工人支出包括基本工资、加班费和奖金，占比18%＋8%＋11%＝37%，不到40%.3.(北师大必修一P159习题6－2AT1改编)某高校后勤处想调查学生对学校食堂新设水果窗口的意见.已知男、女生对新设水果窗口的意见可能有较大差异，该校有男生4000人，女生3000人.现需要从全校学生中抽取490名进行调查，则比较合理的抽取方案是男生人，女生人.

答案280210解析男女生比例为4000∶3000＝4∶3，故采用分层抽样比较合理，抽取男生490×44＋3＝280人，女生490×34＋3＝2104.(人教A必修二P198T1原题)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50kW·h~350kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为;

(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为.

答案(1)0.0044(2)70解析(1)由(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044.(2)用电量落在区间[100，250)内的频率为(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，则nN＝n100＝0.7，考点一简单随机抽样例1(1)(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的为()A.在机器传送带上抽取30件产品作为样本B.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本C.箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出1个零件进行质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取10个零件为止D.某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查(2)在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取容量为20的一个样本，则每个个体被抽到的概率为()A.1120 B.C.160 D.(3)(2026·南京调研)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第7列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为.

(下面摘取了利用统计软件生成的随机数表的第7行至第11行)844217533157245506887704157767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954答案(1)CD(2)D(3)217解析(1)A不是，因为传送带上的产品数量不确定;B不是，因为个体的数量无限;C是，因为满足简单随机抽样的定义;D是，因为一次性抽取和逐个不放回地随机抽取是等价的.(2)根据抽样的概念知，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是均等的，所以每个个体被抽到的概率p＝20120(3)由题意，从随机数表第7行第7列的数开始向右读，对应的编号依次为533，157，245，506，887，704，157，767，217，…，超出499的和重复的都不符合条件，故符合条件的前三个编号依次是157，245，217，故抽取的第3支疫苗的编号是217.感悟提升1.简单随机抽样需满足:(1)被抽取的样本总体的个体数有限;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取.(一次性抽取和逐个不放回抽取是等价的)2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).训练1(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是()A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验(2)(2026·西安质检)炎炎夏日，冰淇淋成为青年人的“消暑利器”，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A.121，1C.17，1答案(1)B(2)B解析(1)A中总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法;B中总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法;D中总体中的个体数较大，不适合用抽签法.(2)在简单随机抽样的过程中，个体A每一次被抽到的概率都是相等的，因为总体容量为21，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为121考点二分层随机抽样例2(1)(2026·宁波调研)为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲、乙、丙3地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为20，y，z，且依次构成等差数列，而20，y－10，z成等比数列，若用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取30个观测点，则丙地应抽取观测点的个数为()A.18 B.16C.10 D.4(2)为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本数据的均值为170，方差为15，女生样本数据的均值为160，方差为30，则由上述数据估计该校高一年级全体学生身高数据的均值是，方差是.

答案(1)B(2)16645解析(1)依题意知，20＋解得y所以丙地应抽取观测点的个数为8020＋50＋80×(2)对题中数据分析可得，人数均值方差男生3017015女生2016030则估计该校高一年级全体学生身高数据的均值x＝3050×170＋方差s2＝3050×[(170－166)2＋15]＋2050×[(160－166)感悟提升分层随机抽样中有关计算的方法(1)抽样比＝样本容量n(2)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x，方差为sx2;第二层的样本量为n，平均值为y，方差为则样本的平均值z＝mx＋nym＋n＝mm＋nx＋nm＋n训练2(1)(2026·兰州诊断)高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体平均分为()A.81.8 B.81.5C.81.1 D.80.8(2)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.

答案(1)C(2)18解析(1)高一年级总体平均分为22×82＋18×(2)因为样本量n＝60，总体容量N＝200＋400＋300＋100＝1000，所以抽取比例nN因此应从丙种型号的产品中抽取300×350＝18(件考点三统计图表角度1扇形图、条形图例3(多选)某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛.经统计，得到成绩排在前200名学生分布的扇形图(图1)和其中的高一学生排名分布的频率条形图(图2)，则下列说法正确的是()A.成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多10B.成绩排在第1~50名的50人中，高一人数比高二的多C.成绩排在第51~150名的100人中，高三人数占比可能超过1D.成绩排在第51~100名的50人中，高二人数肯定多于23答案AC解析对于A，成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多200×(30%－25%)＝10，故A正确;对于B，成绩排在第1~50名的50人中，高一人数为200×45%×20%＝18，高二和高三的总人数为50－18＝32，高二的具体人数不知道，故B错误;对于C，成绩排在第51~150名的100人中，高一人数为90×(0.3＋0.4)＝63，高二和高三的总人数为100－63＝37，所以高三人数占比有可能超过13，故C正确对于D，成绩排在第51~100名的50人中，高一学生人数为90×0.3＝27，高二人数最多有50－27＝23，故D错误.角度2折线图例4(多选)(2026·金华模拟)某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图:已知:利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是()A.该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润B.该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入C.该企业2025年8月至12月的支出持续增长D.该企业2025年11月份的月利润最大答案ABC解析因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量小，故A正确;由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确;由折线统计图可知8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确;由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误.角度3频率分布直方图例5(2022·天津卷)将1916年到2015年的全球年平均气温(单位:℃)共100个数据，分成6组:[13.55，13.75)，[13.75，13.95)，[13.95，14.15)，[14.15，14.35)，[14.35，14.55)，[14.55，14.75]，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有()A.22年 B.23年C.25年 D.35年答案B解析依题意，全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的频率是0.2×0.5＋0.2×0.65＝0.23，故全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有100×0.23＝23年.感悟提升1.通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.2.折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据变化的趋势.3.频率分布直方图的数据特点(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布.训练3(1)(2026·湖北十一校联考)某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度(单位:厘米)，将测量数据分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过a厘米，根据直方图估计，下列最接近a的数是()A.93.5 B.94.1C.94.7 D.95.5(2)睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.某机构调查了1万名学生的时间并利用信息得出下图，则以下判断正确的是()A.高三年级学生平均学习时间最长B.中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C.大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间D.与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠答案(1)C(2)B解析(1)因为1－0.05×1＝0.95，1－(0.05＋0.15)×1＝0.8，0.8<0.9<0.95，所以a∈(94，95)，且(a－94)×0.15＋0.8＝0.9，所以a≈94.67，故选C.(2)根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A错误;根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B正确;学习时间大于睡眠时间的有:初二、初三、高一、高二、高三，占比516，睡眠时间长于学习时间的占比1116，C从高三到大学一年级，平均学习时间减少9.65－5.71＝3.94(小时)，平均睡眠时间增加8.52－7.91＝0.61(小时)，所以D错误.一、单选题1.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是()A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据答案C解析“中国天眼”主要是通过观察获取数据.2.要完成下列两项调查:(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查购买力的某项指标;(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况.应采取的抽样方法是()A.(1)(2)都用简单随机抽样法B.(1)用分层随机抽样法，(2)用简单随机抽样法C.(1)用简单随机抽样法，(2)用分层随机抽样法D.(1)(2)都用分层随机抽样法答案B解析(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样法较合适;(2)中总体容量较小，采用简单随机抽样法较合适.3.“神舟二十一号”的成功发射，再次激起国人对载人航天工程的兴趣.某中学为此举行了“航天知识知多少”的主题抢答比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，经随机模拟产生了36个随机数如下，则选出来的第7个个体的编号为()456732121231020104521520011251293204923449358200362348696938748146527364A.12 B.20C.29 D.23答案C解析有效编号为12，02，01，04，15，20，29，得到选出来的第7个个体的编号为29.故选C.4.(2026·东北教研联盟联考)为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间[92.5，102.5)这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为()A.0.02 B.0.2C.0.04 D.0.4答案A解析成绩在区间[92.5，102.5)这一组内的频率为40200因此频率组距故该组数据对应的矩形高度为0.02，故选A.5.把过期的药品随意丢弃，会对土壤和水体造成污染，危害人们的健康.如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图所示，其中对过期药品处理不正确的家庭有()A.79% B.80%C.18% D.82%答案D解析把过期药品扔到垃圾箱、拆开冲进下水道会污染土壤和水体，卖给不法收购者再制成药品也会危害人的健康，故处理不正确的家庭有79%＋2%＋1%＝82%.6.(2026·广州模拟)为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()A.0.96 B.0.94C.0.79 D.0.75答案B解析由题意，总体的均值为8002000×9＋12002000根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为8002000×[1＋(9－8.4)2]＋12002000×[0.5＋(8－8.4)7.(2026·海南四校联考)如图，这是某年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是()①第一季度GDP总量和增长率排名位次相同的省只有1个;②与去年同期相比，第一季度五个省的GDP总量均实现了增长;③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省;④去年同期A省的GDP总量是第三位.A.①② B.②③④C.②④ D.①③④答案B解析第一季度GDP总量和增长率排名位次相同的省有2个，B省和C省的GDP总量和增长率分别居第一位和第四位，故①错误;由题图知②正确;由题图计算去年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确;由③知去年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确.故选B.8.中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载:毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.意思为现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余.现要用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为()A.12 B.14C.18 D.20答案D解析设《毛诗》有x册，《春秋》有y册，《周易》有z册，人数为m，则x因此，用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为47×4094二、多选题9.(2026·成都诊断)某学校有2000名学生，一机构在该校随机抽取了800名学生对某运动员奥运会期间6场网球单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下:观看场次0123456观看人数占调查人数的百分比15%5%5%m%10%15%4m%从表中数据可以得出下面结论不正确的为()A.表中m的数值为15B.观看场次不超过3的学生的比例为30%C.估计该校观看场次不超过2的学生为400人D.估计该校观看场次不低于4的学生为1300人答案ABC解析A中，由题表可知，15%＋5%＋5%＋m%＋10%＋15%＋4m%＝1，解得m＝10.B中，观看场次不超过3的学生的比例为15%＋5%＋5%＋10%＝35%.C中，观看场次不超过2的学生的比例为15%＋5%＋5%＝25%，估计该校观看场次不超过2的学生为2000×25%＝500(人).D中，观看场次不低于4的学生的比例为10%＋15%＋40%＝65%，估计该校观看场次不低于4的学生为2000×65%＝1300(人)，故选ABC.10.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图(如图).图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个答案ABC解析由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确;由图可知七月的平均温差大于5℃，而一月的平均温差小于5℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10℃，基本相同，C正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份只有3个，D不正确，故选ABC.11.(2026·昆明诊断)某校有男生m人，女生n人，且男生身高的均值为x1，方差为s12，女生身高的均值为x2，方差为s22A.若x1＝x2，则B.若m＝n，则x＝12C.若x1＝x2，则s2≥D