七年级上1.1 正数和负数

第一章有理数1.1正数和负数教学目标课题1.1正数和负数授课人素养目标理解具有相反意义的量及正数、负数的意义.会用正数、负数表示具体情境中具有相反意义的量，体会数学知识与生活的密切联系，进一步增强符号意识，培养应用意识.理解0的意义，体会0在解决实际问题中的“基准”作用，初步培养抽象能力.教学重点能理解正数、负数的概念，会判断一个数是正数还是负数.会用正数、负数表示具体情境中具有相反意义的量.教学难点用正数、负数表示具有相反意义的量时描述向指定方向变化的情况.理解0的意义，体会0在解决实际问题中的“基准”作用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课【情境导入】观察下面三幅图，这些自然数、分数以及小学时学过的小数是由生活实际的需要产生的，那么它们能否完全满足我们目前生产、生活的需要呢？思考教材P1引言中的三个问题.在这三个问题中，“零下3摄氏度”“亏损10万元”“减少0.7%”能够用上面的数表示吗？这说明了什么？【教学建议】引导学生通过观察三幅图，体会小学学过的几个数都是基于现实需要产生的，然后引导学生思考三个问题，提出疑问，使学生产生探索欲望.设计意图先通过图片形式让学生体会已学过的数的产生具有必然性与局限性，然后通过列举的三个问题为引入新知做准备.活动二：实践探究，获取新知探究点1具有相反意义的量及正数、负数的认识Ⅰ.具有相反意义的量问题1结合下面图示，对于引言中的问题（1），我们如何用数区分“零上3摄氏度”和“零下3摄氏度”呢？观察图①，零上温度和零下温度是以0℃为分界点的具有相反意义的量.观察图②中的天气预报可以看出，零上3摄氏度用3℃表示，零下3摄氏度用－3℃表示.问题2类似地，对于引言中的问题（2）（3），应如何用数分别表示“盈利50万元”“亏损10万元”以及“增长7.8%”“减少0.7%”呢？如果用“50万元”表示盈利50万元，就可以用“－10万元”表示亏损10万元.如果用“7.8%”表示增长7.8%，就可以用“－0.7%”表示减少0.7%.问题3通过问题1，2，你认为具有相反意义的量有哪些特点？成对出现、属性相同（同类量）、意义相反.Ⅱ.正数、负数的认识问题1通过上面对“具有相反意义的量”的介绍，我们已经知道有－3，－10，－0.7%这样的数，对于这种类型的数，我们该如何进行定义？概念引入：问题2正数前面的“＋”号和负数前面的“－”号是否都可以去掉？为什么？正数前面的“＋”号可以去掉也可以不去掉，负数前面的“－”号不能去掉.因为正数就是大于0的，加不加“＋”号都没有影响；但对负数而言，只有在正数前面加上“－”号才是负数，所以“－”号不能去掉.如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们.我们一起来看下面的例题.例1（教材P3例1）某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装.一箱橘子的标准质量为2.5kg.如果用正数表示超过标准的质量，那么（1）比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示？（2）50g，－27g各表示什么意思？填空分析：（1）前面我们讲到“零上温度和零下温度是以0℃为分界点的具有相反意义的量”，那么本题中的分界点是标准质量2.5kg.（2）题目中比标准质量多××g和比标准质量少××g是具有相反意义的量.解：（1）比标准质量多65g用＋65g表示，比标准质量少30g用－30g表示.（2）50g表示这箱橘子的质量比标准质量多50g，－27g表示这箱橘子的质量比标准质量少27g.【对应训练】教材P3练习【教学建议】这里要结合教材引言中的问题进行分析，其中第一个问题与生活实际密切相关，学生通过平时看天气预报已经对此有一定的了解，教师要结合实际情境进行说明.可在最后指出具有相反意义的量的一些特点.“属性相同”，也就是同类量，比如“盈利”与“亏损”是同类量，但“盈利”与“减少”就不是同类量；“意义相反”指变化的方向相反，不要与意义相近混淆（比如增长与增加就不构成具有相反意义的量）.另外需注意：具有相反意义的量要求意义相反，但不要求数量相等.如盈利3`000元与亏损400元是具有相反意义的量.【教学建议】这里注意引导学生正确理解正数、负数的概念.注意前面有“－”号的数不一定是负数，比如－（－3）就不是负数，这涉及后面的知识，教师知道即可，如学生有疑问可适当解释，本课时不作要求.【教学建议】例1可让学生回答下什么是“分界点”，什么是具有相反意义的量，便于加深理解.设计意图借助生活实例，引导学生理解具有相反意义的量，通过相应出现的数，进一步引入正数、负数的概念，并借此体会正数、负数的意义.设计意图探究点20的意义正数和负数在实践中有着广泛的应用.如图，在表示某地的高度时，通常以海平面为基准，用0m表示海平面的海拔.用正数表示高于海平面的海拔，用负数表示低于海平面的海拔，如图中用正数、负数分别表示世界最高峰的海拔和我国陆地最低处的海拔.问题1结合上面这个实际应用和上面所学知识，你认为0还只仅仅表示“没有”吗？0是正数与负数的分界.0℃是一个确定的温度，海拔0m是一个确定的海拔.0已不只是表示“没有”.问题2（教材P4思考）如图①是地理中的分层设色地形图，图②是手机中的部分收支款账单，其中的正数和负数的意义分别是什么？你能再举一些用正数、负数表示具有相反意义的量的例子吗？图①中的正数表示A地高于海平面4600m，负数表示B地低于海平面100m.图②中的正数表示收入15元，负数分别表示支出10元、支出30元.其他例子：比如叶宇同学向南走20m记为＋20m，那么他向北走30m可记为－30m.例2（教材P4例2）（1）一个月内，李明体重增加1.2kg，张华体重减少0.5kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.（2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少2%，B品牌增长4%，C品牌增长1%，D品牌减少3%.写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.填空分析：第（1）小题要求写出“增长值”，所以，用正数表示体重增加量，用负数表示体重减少量.这样，直接翻译“体重减少1kg”就是体重增长－1kg.第（2）小题可以此类推.解：（1）这个月李明体重增长1.2kg，张华体重增长－0.5kg，刘伟体重增长0kg.（2）四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是：A品牌－2%，B品牌4%，C品牌1%，D品牌－3%.追问增长－2%是什么意思？什么情况下增长率是0？增长－2%就是减少2%.第二季度的手机销售量与第一季度相同时，增长率是0.【对应训练】教材P5练习.【教学建议】教师提醒学生注意，生活中有些具有相反意义的量没有明确的分界，一般把某一个量规定为“0”，即基准，习惯上，超过基准的部分用正数表示，低于基准的部分用负数表示.【教学建议】这个问题2继续说明0作为正数、负数的“分界”，在解决实际问题中的“基准”作用.注意例子中地形图上的海拔一般不标单位，实际采用米作单位Ｗ.手机收付款的收支平衡可以用0表示.【教学建议】用正数、负数表示具有相反意义的量时，难点是描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变化用正数表示；向指定方向的相反方向变化用负数表示.这与学生的日常经验有一定的矛盾，需要一个“心理转换”：把“体重减少0.5kg”，转换为“体重增加－0.5kg”，需要对“负”与“正”的相对性有较好的理解.实际上，只要问题中包含具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示，而哪个量用负数表示，可以视实际需要而定，教学时要注意引导.在用正数、负数表示具有相反意义的量的基础上，以海拔说明0的“基准”作用，丰富0的意义.活动三：知识升华，巩固提升例3（教材P5习题1.1第6题）某班七组同学分别测量同一座楼的高度，测得的数据（单位：m）分别是：79.4，80.6，80.8，79.1，80，79.6，80.5.这些数据的平均值是多少？以平均值为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，它们对应的数分别是什么？解：平均值是（79.4＋80.6＋80.8＋79.1＋80＋79.6＋80.5）÷7＝560÷7＝80.即这些数据的平均值是80m.它们对应的数分别是－0.6m，0.6m，0.8m，－0.9m，0m，－0.4m，0.5m.【对应训练】1.体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足标准的个数用负数表示.八位同学的成绩分别记录为：＋3，－1，＋1，0，－2，＋2，＋4，－3.这八位同学中达标的有（B）A.4人B.5人C.6人D.8人2.某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动.李龙制作了一盒精美点心（共计6枚），现在他把6枚点心称重（单位：g）后统计列表如下：第1枚第2枚第3枚第4枚第5枚第6枚68.4g71.3g70.7g68.6g69.1g72g为了简化运算，李龙依据比赛的标准质量，把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），请你把表格补充完整：第1枚第2枚第3枚第4枚第5枚第6枚－1.6g＋1.3g＋0.7g－1.4g－0.9g＋2g解：补充表格如上所示.【教学建议】对于例题中求平均值，小学时已经学过，只要将各个数据相加求和再除以7即可，这个可由学生自主完成.难点主要在于以平均值为标准，用负数表示不足的部分.这里没学有理数的加减运算，可让学生用较大数减去较小数，然后根据具有相反意义的量的知识来表示.设计意图安排此例题和对应训练是想让学生体会以平均值为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分的方法.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是正数，什么是负数，0是什么数？2.怎么表示具有相反意义的量？3.0的意义是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P5习题1.1第1，2，3，4，5题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计1.1正数和负数1.具有相反意义的量：①“零上3摄氏度”与“零下3摄氏度”②“盈利50万元”与“亏损10万元”……2.正数和负数教学反思本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要，数学与我们的生活密不可分.学生通过经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展，使每个学生在教学中都能得到收获.解题大招一用正数、负数表示具有相反意义的量当题目中已明确“一种意义”的量对应的是正数（负数）时，我们就可以判断“与之具有相反意义”的量所对应的是负数（正数）.如果没有明确哪种意义的量用正数表示，那么我们可以任选一种意义的量用正数表示，而另一种意义的量必须用负数表示.例1（1）在知识竞赛中，如果用－10分表示扣10分，那么加20分记为（C）A.＋10分B.－10分C.＋20分D.－20分（2）如果风车顺时针旋转66°，记作＋66°，那么逆时针旋转78°，记作（A）A.－78°B.78°C.－12°D.12°（3）我国古代数学名著《九章算术》中对正数和负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.如：库管员把仓库运进30t粮食记为“＋30”，则“－30”表示运出30t粮食.解题大招二用正负数表示允许偏差例2某品牌饮料外包装上标明“净含量：200mL±5mL”，随机抽取四种口味的这种饮料分别检测如表.其中，净含量不合格的是（B）种类原味草莓味香草味巧克力味净含量/mL195210200205A.原味B.草莓味C.香草味D.巧克力味分析：先计算净含量范围，比较即可求解.由题目中200mL±5mL可知，200＋5＝205（mL），200－5＝195（mL），所以净含量合格范围是195mL～205mL之间.因为210>205，所以净含量不合格的是草莓味.故选B.解题策略：解这类题关键是知道“±××”表示的是允许偏差的范围.以本题为例，200mL±5mL表示饮料净含量最大可以是（200＋5）mL，最小可以是（200－5）mL.培优点实际问题中“基准”的相对性例如图，已知摩天轮的最高点距地面165m，最低点距地面5m.（1）若以地面为基准，则摩天轮最高点和最低点的高度分别如何表示？（2）若以摩天轮最低点的位置为基准，则最高点和地面的高度分别如何表示？分析：（1）以地面为0m时，高出地面都记为正数；（2）以该摩天轮最低点的位置为0m时，最高点的高度为正数，地面高度为负数.解：（1）若以地面为基准，该摩天轮最高点和最低点的高度分别表示为＋165m，＋5m.（2）若以该摩天轮最低点的位置为基准，则最高点的高度为165－5＝160（m）.最高点的高度可表示为＋160m，地面高度表示为－5m.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列各数中,是负数的是()A.-1 B.0 C.0.2 D.12.当-a=-7时,-a的相反数是()A.7 B.-7 C.±7 D.不能确定3.手机信号的强弱通常采用负数来表示,绝对值越小表示信号越强(单位:dBm),则下列信号最强的是()A.-50 B.-60 C.-70 D.-804.在体育课的立定跳远测试中,以2.00m为成绩标准,若小明跳出了2.45m,可记作+0.45m,则小亮跳出了1.75m,应记作()A.+0.25m B.-0.25m C.+0.35m D.-0.35m5.已知药品A的保存温度要求为-1℃~4℃,则下列温度符合要求的是()A.-1.1℃ B.0℃ C.4.1℃ D.5℃6.地理学上规定不同地形海拔d(单位:m):平原d<200;丘陵200<d<500;山地d>500,且相对高度大于200,等高线密集;高原d>500,且相对高度小,等高线十分密集.某地区的分层设色地形图如图所示,图中用字母A,B,C,D表示不同区域,其中为平原区域的是()A.A B.B C.C D.D7.下列式子错误的是()A.-(-3)=+3 B.-|-4|=4C.-12<-13 D.-[-(-12)]8.下列木棍的长度中,最接近9cm的是()A.10cm B.9.9cm C.9.6cm D.8.6cm9.在-0.1428中用数字3替换其中一个非0数字后,使所得的数最小,则被替换的数字是()A.8 B.3 C.2 D.110.在数轴上表示2与n的两点分别为M,N,若M,N两点之间的距离为3,则n=()A.-1或5 B.1或-5C.-1 D.1二、填空题(将结果填在题中横线上)11.-1.414的相反数是.

12.比较大小:(1)3-10;(2)-5-9.

13.若|-a|=8,则a=.

14.袋装牛奶的质量标准为100g,现抽取5袋进行检测,超过标准的质量记作正数,不足的记作负数,结果如下表所示:代号①②③④⑤质量/g-2+4-1+5-6其中,质量最接近标准的是(填写序号).

15.绝对值小于3.5的所有整数的积是.

16.在数轴上,点A,B表示的数分别是1,3,从点A出发,沿数轴向负方向移动2个单位长度到达点C.从点B出发,沿数轴向正方向移动2个单位长度到达点D,则点C,D之间的距离为个单位长度.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.把下面的有理数填入它们属于的集合内:227,0,-14,-1.26,-(+5),+|-2|,0.正有理数集合:{…}.负有理数集合:{…}.18.点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,点A,C之间的距离为2,点A,B与点O之间的距离相等.若点C表示的数为-4,则点B表示的数为多少?19.已知点A,B,C在数轴上的位置如图所示.(1)写出数轴上A,B,C各点分别表示的有理数;(2)在该数轴上表示下列各数:-45,4(3)将(1)(2)中的六个数按从大到小的顺序排列,并用“>”连接.20.聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支,每天坚持记录自己当天的收支情况,这是她们上周的统计(记收入多于支出为正,单位:元).人物周一周二周三周四周五周六周日聪聪10-5.200-4.805-3-4慧慧800-6-100根据上表回答下列问题:(1)分别说出聪聪上周记录的数据中10,0,-3各数的实际意义;(2)慧慧在哪几天支出多于收入?21.一次体育课上,老师对七年级女生进行了仰卧起坐测试,以36个为标准值,超过的次数用正数表示,不足的次数用负数表示,第一小组8人的成绩如下:2,-3,4,0,1,-1,-5,0.(1)这8名同学各做了多少个仰卧起坐?(2)这个小组的达标率是多少?(达标率=达标人数总人数×22.请阅读小彬的学习笔记,并完成相应的任务:×年×月×日比较两个数的大小的方法今天,我在一本数学课外书上看到这样一道题:比较-99201与-51101的大小解:因为99201<12,51101我有如下思考:这种方法叫什么方法?是通过哪个量作比较的?……任务:(1)上述方法是先通过找中间量来比较出99201,51101的大小,再根据“两个负数比较大小,大的反而小”,得出结论-99201>-(2)利用上述方法比较-119230与-5412123.【阅读理解】在数轴上,|a|的几何意义是表示数a的点与原点的距离,例如:|3-(-2)|可以理解为表示3的点与表示-2的点之间的距离.回答下列问题:(1)|5-(-2)|=.

(2)若|x-5|+|x+3|=8,列出一个符合条件的整数x:.

(3)|x-2|+|x-4|的最小值为.

综合训练1.A2.A3.A解析:因为|-50|<|-60|<|-70|<|-80|,所以信号最强的是-50,故选A.4.B5.B6.C解析:A,B,D的海拔高于200m,且低于300m,属于丘陵;C的海拔高于100m,且低于200m,属于平原.故选C.7.B解析:A项中,-(-3)=+3,则此项正确,不符合题意;B项中,-|-4|=-4,则此项