七年级上1.2.2 数轴

1.2.2数轴教学目标课题1.2.2数轴授课人素养目标1.了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴.2.能用数轴上的点表示有理数，并能说出数轴上的已知点所表示的数，初步感受数形结合的思想方法.教学重点数轴的概念，在数轴上表示数.教学难点正确地画出数轴，理解有理数和数轴上的点的对应关系.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课【情境引入】在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题.让我们来看看下面这个问题：在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧3m和7.5m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，你能画图表示这一情境吗？【教学建议】让学生结合所给的条件分组讨论，动手画图.（教师可以进行适当的提示）设计意图从实际情境入手，激发学生兴趣，借助画图初步感知数轴.活动二：实践探究，获取新知探究点1数轴的相关概念和画法问题1（1）活动一中的马路可以用什么几何图形代表？（直线）（2）你认为汽车站牌起什么作用？（基准点）（3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（方向，与汽车站牌的距离）（4）到汽车站牌的方向与距离可以抽象成什么？（点的相对位置）学生回答后，按教材P8最后一段所示方法可画出下面的图示.问题2（教材P9上面的“思考”）怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系？（从方向、距离两方面回答）上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义.所以我们可以考虑用正数和负数表示具有相反意义的量，即用正数表示柳树和交通标志杆在汽车站牌的东边，用负数表示槐树、电线杆在汽车站牌的西边.教师总结：在一条直线上任取一点O为基准点，规定1个单位长度（线段OA的长）代表1m长，再用0表示点O、用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点.这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.如图①：用上述方法，我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了.问题3（教材P9下面的“思考”）图②中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线.它和图①有什么共同点？共同点：都规定了单位长度、原点位置，都是用一条直线上的点表示正数、0、负数.一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件：概念引入：像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.问题4（1）你认为画数轴的步骤是什么？①画（直线）；②取（原点）；③定（正方向）；④标（单位长度）.（2）“原点”起什么作用？“原点”是数轴的基准点，表示0，是为了在数轴上区分正数和负数.原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.（3）怎么理解“选取适当长度”？与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些.【对应训练】下图中所画的数轴哪个是正确的？ABCD解：A.没有正方向，故错误；B.没有原点，故错误；C.单位长度不统一，故错误；D.正确.【教学建议】这里用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题，这是实际问题的第一次抽象，因此设计了四个关键问题，需要教师引导学生逐一回答.这些是抽象过程中的关键点，教师应关注学生是否掌握.【教学建议】这里问题2在问题1的基础上，进一步抽象，为总结数轴的概念提供直观基础.注意这里可让学生明白：在表示东西向马路上的物体与汽车站牌的相对位置关系时，由于站牌起“基准点”作用，站牌“左”“右”具有相反意义，是不同方向，所以既要考虑距离，又要考虑方向,这样可用正数、负数描述.【教学建议】教师提醒学生注意：数轴的三个要素缺一不可.这三个要素都是规定的，也就是说，可以根据情况，灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小（但要注意，一经选定，就不能再随意改变了）.另外为了读、画方便，通常把直线画成水平或竖直的.【教学建议】教师提醒：根据实际情况需要，画数轴时，1小格并不一定要表示1，如：在画数轴时常出现以下错误：（1）没有正方向；（2）没有原点；（3）单位长度不统一；（4）负半轴上所标的负数的顺序不对.设计意图数轴是一个重要的概念，后续的平面直角坐标系也是以它为基础的.这是学生第一次学习数形结合思想，先借助生活情境让学生画图描述位置，逐步过渡到“用数表示直线上的点”，然后再让学生把这一例子与温度计作比较，概括它们的共同点，从而引入数轴的概念，并具体讲述数轴的画法.设计意图探究点2数轴上的点与有理数的对应关系分数或小数也可以用数轴上的点表示吗？任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示吗？请结合下面的问题进行探究.（1）你能在图中的数轴上表示出－eq\f(3,2)和6.5吗？（2）你能说出图中点A，B，C分别表示什么数吗？（1）如图，在数轴的正半轴上，距离原点6.5个单位长度的点表示数6.5；在数轴的负半轴上，距离原点eq\f(3,2)个单位长度的点表示数－eq\f(3,2).（2）由图可知，数轴上点A表示的数为－3.5，点B表示的数为1，点C表示的数为4.5.有理数都可以用数轴上的点表示.归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度.数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点.用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题.例1（教材P10例2）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：3，－4，4，0.5，0，－eq\f(5,2)，－1.解：如图所示.【对应训练】教材P11练习第1，2，4题.【教学建议】教师可补充说明：任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示；但数轴上的一个点，却并不一定能用一个有理数来表示.这里不必对此作深入追究，只要求学生知道“所有的有理数，都可以用数轴上的点表示”就可以了.以后学了实数，自然就可以把这个问题说清楚了.【教学建议】“归纳”栏目是一个小结，教学时应让学生在回顾本小节内容的基础上，自己给出回答.通过具体例子讲述数轴上的点与有理数的对应关系，并总结用数轴上的点表示数的方法，明确数轴的方向与数的正负的对应性.活动三：典例精析，升华提高例2（教材P11练习第3题）在数轴上，表示－2与4的点之间（包括这两个点）有7个点表示的数是整数，它们表示的数分别是－2，－1，0，1，2，3，4，其中负整数有2个.解析：先画出数轴，并找到数轴上表示－2和4的点，如图：由图可知，这两个点之间（包括这两个点）表示整数的点有7个，它们表示的数分别是－2，－1，0，1，2，3，4，其中负整数有－2，－1.【对应训练】点A，B在数轴上分别表示6.5，－2.7，点A，B之间（含A，B两点）有9个点表示的数是整数.【教学建议】教师提示学生解此类题需先画出数轴，再根据题意数点，特别要注意是否含边界点.设计意图借助数轴辅助观察，培养学生几何直观，进一步渗透数形结合思想.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是数轴？2.如何画数轴？数轴的三要素是什么？什么是数轴的正半轴和负半轴？3.有理数和数轴有什么关系？4.数轴有哪些应用？【知识结构】【作业布置】1.教材P17习题1.2第2，6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计1.2.2数轴1.数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴2.数轴的画法3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示教学反思数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学.让学生通过观察、思考和自己动手操作，经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴的概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律.解题大招一确定数轴上的点所表示的数的方法要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：（1）确定符号，数轴正半轴上的点所表示的数为正数，数轴负半轴上的点所表示的数为负数；（2）确定数字，即距离原点几个单位长度.例1如图，指出数轴上A，B，C，D，E，F各点表示的数.分析：在确定数字时，要认真观察已知点是在数轴的正半轴还是负半轴，对于A，D，E这样的点，要注意它们表示的数是在哪两个相邻整数之间.解：由图可知，点A表示的数是－4.5，点B表示的数是4，点C表示的数是－2，点D表示的数是5.5，点E表示的数是0.5，点F表示的数是7.例2如图，数轴上被蝴蝶遮挡的点表示的数可能为（D）A.3B.2C.1D.－1解析：遮挡的部分在数轴负半轴上，可以判断被遮挡的数为负数，故选D.解题大招二数轴上的分类讨论解答此类问题需考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧.另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况.例3（1）数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是什么？（2）数轴上，点A表示的数为－1，从点A出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是什么？解：（1）先在数轴上找出表示＋2的点A，如图，与点A相距5个单位长度的点有2个，它们表示的数分别是7，－3.（2）如图，点A可以向右移动4个单位长度，也可以向左移动4个单位长度，故点B表示的数是3或－5.培优点利用数轴解决实际问题例一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东骑了2km到达刘红家，继续向东骑了3.5km到达李明家，然后又向西骑了7.5km到达王刚家，最后回到饭店.以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1km，点O，A，B，C分别表示饭店、刘红家、李明家、王刚家.（1）请画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置.（2）王刚家距刘红家多远？（3）若刘红步行到李明家，每小时走5km，王刚骑自行车到李明家，每小时骑12km，两个人同时分别从自己家出发，则两个人能否同时到达李明家？若不能同时到达，谁先到达？分析：根据运动方向和距离画出数轴，表示出外卖员每次运动结束时所在的位置，进而利用数轴上的点与有理数的对应关系解决问题.解：（1）点O，A，B，C的位置如图所示.（2）由数轴可知，王刚家距刘红家4km.（3）不能同时到达李明家.由数轴可知刘红家到李明家的距离为3.5km，刘红步行到李明家所需时间为3.5÷5＝0.7（h）.王刚骑自行车到李明家所需时间为7.5÷12＝0.625（h）.因为0.625<0.7，所以两个人不能同时到达李明家，王刚先到达.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列各数中,是负数的是()A.-1 B.0 C.0.2 D.12.当-a=-7时,-a的相反数是()A.7 B.-7 C.±7 D.不能确定3.手机信号的强弱通常采用负数来表示,绝对值越小表示信号越强(单位:dBm),则下列信号最强的是()A.-50 B.-60 C.-70 D.-804.在体育课的立定跳远测试中,以2.00m为成绩标准,若小明跳出了2.45m,可记作+0.45m,则小亮跳出了1.75m,应记作()A.+0.25m B.-0.25m C.+0.35m D.-0.35m5.已知药品A的保存温度要求为-1℃~4℃,则下列温度符合要求的是()A.-1.1℃ B.0℃ C.4.1℃ D.5℃6.地理学上规定不同地形海拔d(单位:m):平原d<200;丘陵200<d<500;山地d>500,且相对高度大于200,等高线密集;高原d>500,且相对高度小,等高线十分密集.某地区的分层设色地形图如图所示,图中用字母A,B,C,D表示不同区域,其中为平原区域的是()A.A B.B C.C D.D7.下列式子错误的是()A.-(-3)=+3 B.-|-4|=4C.-12<-13 D.-[-(-12)]8.下列木棍的长度中,最接近9cm的是()A.10cm B.9.9cm C.9.6cm D.8.6cm9.在-0.1428中用数字3替换其中一个非0数字后,使所得的数最小,则被替换的数字是()A.8 B.3 C.2 D.110.在数轴上表示2与n的两点分别为M,N,若M,N两点之间的距离为3,则n=()A.-1或5 B.1或-5C.-1 D.1二、填空题(将结果填在题中横线上)11.-1.414的相反数是.

12.比较大小:(1)3-10;(2)-5-9.

13.若|-a|=8,则a=.

14.袋装牛奶的质量标准为100g,现抽取5袋进行检测,超过标准的质量记作正数,不足的记作负数,结果如下表所示:代号①②③④⑤质量/g-2+4-1+5-6其中,质量最接近标准的是(填写序号).

15.绝对值小于3.5的所有整数的积是.

16.在数轴上,点A,B表示的数分别是1,3,从点A出发,沿数轴向负方向移动2个单位长度到达点C.从点B出发,沿数轴向正方向移动2个单位长度到达点D,则点C,D之间的距离为个单位长度.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.把下面的有理数填入它们属于的集合内:227,0,-14,-1.26,-(+5),+|-2|,0.正有理数集合:{…}.负有理数集合:{…}.18.点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,点A,C之间的距离为2,点A,B与点O之间的距离相等.若点C表示的数为-4,则点B表示的数为多少?19.已知点A,B,C在数轴上的位置如图所示.(1)写出数轴上A,B,C各点分别表示的有理数;(2)在该数轴上表示下列各数:-45,4(3)将(1)(2)中的六个数按从大到小的顺序排列,并用“>”连接.20.聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支,每天坚持记录自己当天的收支情况,这是她们上周的统计(记收入多于支出为正,单位:元).人物周一周二周三周四周五周六周日聪聪10-5.200-4.805-3-4慧慧800-6-100根据上表回答下列问题:(1)分别说出聪聪上周记录的数据中10,0,-3各数的实际意义;(2)慧慧在哪几天支出多于收入?21.一次体育课上,老师对七年级女生进行了仰卧起坐测试,以36个为标准值,超过的次数用正数表示,不足的次数用负数表示,第一小组8人的成绩如下:2,-3,4,0,1,-1,-5,0.(1)这8名同学各做了多少个仰卧起坐?(2)这个小组的达标率是多少?(达标率=达标人数总人数×22.请阅读小彬的学习笔记,并完成相应的任务:×年×月×日比较两个数的大小的方法今天,我在一本数学课外书上看到这样一道题:比较-99201与-51101的大小解:因为99201<12,51101我有如下思考:这种方法叫什么方法?是通过哪个量作比较的?……任务:(1)上述方法是先通过找中间量来比较出99201,51101的大小,再根据“两个负数比较大小,大的反而小”,得出结论-99201>-(2)利用上述方法比较-119230与-5412123.【阅读理解】在数轴上,|a|的几何意义是表示数a的点与原点的距离,例如:|3-(-2)|可以理解为表示3的点与表示-2的点之间的距离.回答下列问题:(1)|5-(-2)|=.

(2)若|x-5|+|x+3|=8,列出一个符合条件的整数x:.

(3)|x-2|+|x-4|的最小值为.

综合训练1.A2.A3.A解析:因为|-50|<|-60|<|-70|<|-80|,所以信号最强的是-50,故选A.4.B5.B6.C解析:A,B,D的海拔高于200m,且低于300m,属于丘陵;C的海拔高于100m,且低于200m,属于平原.故选C.7.B解析:A项中,-(-3)=+3,则此项正确,不符合题意;B项中,-|-4|=-4,则此项错误,符合题意;C项中,因为-12=-36,-13=-26,所以-12<-1D项中,-[-(-12)]=-12,则此项正确,不符合题意.故选B.8.D9.D10.A解析:若点M在点N