2025-2026年海南省苏教版高二数学上册第7章数列习题

2025-2026年海南省苏教版高二数学上册第7章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）A.55B.64C.73D.81解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0，解得x_1=1+√2，x_2=1-√2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3，解得A=B=1/2，故c_6=1/2[(1+√2)^6+(1-√2)^6]=73。选项C正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.√3D.3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_5=2×5=10。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_10的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，累加可得f_n=f_1+∑_{k=1}^{n-1}log_2(k+1)=2+log_2(2×3×4×...×n)=2+log_2(n!)，f_10=2+log_2(10!)≈24。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=2(a_3+a_7)/2=18。选项D正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_3+h_4+h_5等于（）A.243B.244C.245D.246解析：h_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故h_3+h_4+h_5=2×3^2+2×3^3+2×3^4=2×(9+27+81)=216。选项C正确。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=n(p_n+1)，则p_4等于（）A.24B.30C.36D.42解析：由递推关系p_{n+1}=np_n+n，p_2=1×(1+1)=2，p_3=2×(2+1)=6，p_4=6×(6+1)=42。选项D正确。10.在等比数列{q_n}中，若q_2=4，q_3=8，则q_5等于（）A.16B.32C.64D.128解析：由等比数列性质q_3/q_2=q_4/q_3，故q_4=8×4/4=8，同理q_5=8×8/4=16。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3/2n+1/2。参考答案：3/2n+1/22.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_4=_________解：b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时b_1=S_1=-1，故b_4=4×4-5=11。参考答案：113.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6=_________解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，累加可得c_n=1+∑_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)=n^2-n，故c_6=6^2-6=30。参考答案：304.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则该数列的公比q=_________解：由d_n=d_1q^{n-1}，代入d_3=d_1q^2=8，d_5=d_1q^4=32，联立解得q=2。参考答案：25.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则e_3=_________解：e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n，验证n=1时e_1=T_1=3，故e_3=2×3=6。参考答案：66.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_3(n+1)，则f_5=_________解：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_3(n+1)，累加可得f_n=2+∑_{k=1}^{n-1}log_3(k+1)=2+log_3(n!)，f_5=2+log_3(5!)≈11。参考答案：117.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_8=20，则a_6+a_10=_________解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，同理a_6+a_10=2a_8=2(a_4+a_8)/2=20。参考答案：208.已知数列{h_n}的前n项和S_n=4^n-1，则h_3+h_4+h_5=_________解：h_n=S_n-S_{n-1}=4^n-1-(4^{n-1}-1)=3×4^{n-1}，故h_3+h_4+h_5=3×4^2+3×4^3+3×4^4=768。参考答案：7689.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=n(i_n+1)，则i_4=_________解：由递推关系i_{n+1}=ni_n+n，i_2=1×(1+1)=2，i_3=2×(2+1)=6，i_4=6×(6+1)=42。参考答案：4210.在等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_4=54，则j_6=_________解：由等比数列性质j_4/j_2=j_6/j_4，故j_6=54×54/6=486。参考答案：486三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列是等差数列。（）解：由a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故该数列是等差数列。正确。参考答案：正确2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0且q<0，则该数列的项数不可能为偶数。（）解：若b_1>0且q<0，则数列正负交替，偶数项为负，故项数不可能为偶数。正确。参考答案：正确3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列一定是等差数列。（）解：该数列是斐波那契数列，相邻两项之差不恒定，故不是等差数列。错误。参考答案：错误4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3+a_4=12。（）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，故a_3=6，同理a_3+a_4=2a_3.5=12。正确。参考答案：正确5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^3，则e_n是等比数列。（）解：e_n=T_n-T_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，相邻项之比不恒定，故不是等比数列。错误。参考答案：错误6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=nf_n（n≥1），则该数列一定是等比数列。（）解：当n=1时f_2=f_1，当n≥2时f_{n+1}=nf_n，故f_n=n!，相邻项之比不恒定，故不是等比数列。错误。参考答案：错误7.在等比数列{g_n}中，若q=1，则该数列的所有项都相等。（）解：若q=1，则数列所有项均为a_1，正确。参考答案：正确8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-1，则h_n是等比数列。（）解：h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故h_n是等比数列。正确。参考答案：正确9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n+i_{n-1}（n≥2），则该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列。（）解：设奇数项为a_n，偶数项为b_n，则a_{n+1}=a_n+a_{n-1}，b_{n+1}=b_n+b_{n-1}，故奇数项与偶数项分别成等差数列。正确。参考答案：正确10.在等差数列{p_n}中，若a_1+a_n=10，则该数列的前n项和S_n=5n。（）解：由a_1+a_n=2a_{n/2+1}=10，故a_{n/2+1}=5，S_n=n/2(a_1+a_n)=5n。正确。参考答案：正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3=a_1+2d=7，a_5=a_1+4d=11，解得a_1=3，d=2，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故b_4=2×4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立解得q=3。4.已知数列{d_n}满足d_{n+1}=2d_n+1，且d_1=1，求d_5的值。解：由递推关系d_{n+1}=2d_n+1，设d_n=2^n+c，代入d_1=1=2^0+c，解得c=0，故d_n=2^n，d_5=32。5.在等差数列{e_n}中，若a_1=5，d=-2，求该数列的前10项和。解：S_{10}=10/2×[2×5+(10-1)×(-2)]=10×(10-5)=-50。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=2^n-1，求f_3的值。解：f_n=T_n-T_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故f_3=4。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，q=3，求该数列的前5项和。解：S_5=2×(3^5-1)/(3-1)=488。8.已知数列{h_n}满足h_{n+1}=n(h_n+1)，且h_1=1，求h_4的值。解：由递推关系h_{n+1}=nh_n+n，h_2=1×(1+1)=2，h_3=2×(2+1)=6，h_4=6×(6+1)=42。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，已知第一年生产设备50台，求第8年生产的设备数量。解：由等差数列{a_n}中a_1=50，d=10，a_8=50+7×10=120台。2.某城市人口每年增长5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量（精确到0.1万）。解：由等比数列{b_n}中b_1=100，q=1.05，b_5=100×1.05^5≈127.6万。3.在等差数列{c_n}中，若a_3+a_9=40，求该数列的前10项和。解：由等差数列性质a_3+a_9=2a_6，故a_6=20，S_{10}=10/2×(a_1+a_{10})=10×a_6=200。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=3^n-1，求该数列的前5项和。解：T_5=3^5-1=242。5.在等比数列{e_n}中，若e_2=6，e_4=54，求该数列的前6项和。解：由等比数列性质e_4/e_2=e_6/e_4，故e_6=54×54/6=486，S_6=6×(6+54+486)/2=1680。6.某投资账户每年收益率为20%，已知初始投资为1万元，求5年后的账户总额（精确到0.01万元）。解：由等比数列{f_n}中f_1=1，q=1.2，f_5=1×1.2^5≈2.488万元。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_10=30，求该数列的前15项和。解：由等差数列性质a_1+a_10=2a_5，故a_5=15，S_{15}=15/2×(a_1+a_{15})=15×a_8=225。8.已知数列{h_n}满足h_{n+1}=h_n+3n，且h_1=2，求该数列的前10项和。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+3n，累加可得h_n=2+∑_{k=1}^{n-1}3k=2+3n(n-1)/2，S_{10}=10/2×[2+3×10×9/2]=330。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.A4.A5.B6.C7.D8.C9.D10.A二、填空题1.3/2n+1/22.113.304.25.66.117.208.7689.4210.486三、判断题1.正确2.正确3.错误4.正确5.错误6.错误7.正确8.正确9.正确10.正确四、简答题1.a_n=2n+12.b_4=83.q=34.d_5=325.S_{10}=-506.f_3=47.S_5=4888.h_4=42五、应用题1.120台2.127.6万3.2004.2425.16806.2.488万元7.2258.330【解析】一、单项选择题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，解得d=3/2，故a_n=3+3/2(n-1)=3/2n+3/2。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。3.由递推关系c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），设特征方程x^2-x-1=0，解得x_1=（1+√5）/2，x_2=（1-√5）/2，通项公式c_n=A(x_1)^n+B(x_2)^n，由初始条件c_1=1，c_2=2，解得A=B=1/2，故c_6=1/2[(1+√5)^6+(1-√5)^6]=55。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。5.由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_5=2×5=10。6.由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，累加可得f_n=2+∑_{k=1}^{n-1}log_2(k+1)=2+log_2(n!)，f_10=2+log_2(10!)≈24。7.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=（a_3+a_7）/2=14，同理a_5+a_9=2a_7=28。8.由数列前n项和S_n=4^n-1，故h_n=S_n-S_{n-1}=3×4^{n-1}，h_3+h_4+h_5=3×4^2+3×4^3+3×4^4=768。9.由递推关系p_{n+1}=np_n+n，设p_n=n!，代入p_1=1，p_2=2!，p_3=3!，p_4=4!，故p_4=24。10.由等比数列性质q_4/q_2=q_6/q_4，故q_6=8×8/4=16。二、填空题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3/2n+1/2。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2n-1，验证n=1时成立，故b_4=7。3.由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，累加可得c_n=1+∑_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)=n^2-n，故c_6=30。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_3=d_1q^2=8，d_5=d_1q^4=32，联立解得q=2。5.由数列前n项和T_n=n^2+n+1，故e_n=T_n-T_{n-1}=2n，验证n=1时e_1=T_1=3，故e_3=6。6.由递推关系f_{n+1}=f_n+log_3(n+1)，累加可得f_n=2+∑_{k=1}^{n-1}log_3(k+1)=2+log_3(n!)，f_5=2+log_3(5!)≈11。7.由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=（a_4+a_8）/2=10，同理a_6+a_10=2a_8=20。8.由数列前n项和S_n=4^n-1，故h_n=S_n-S_{n-1}=3×4^{n-1}，h_3+h_4+h_5=3×4^2+3×4^3+3×4^4=768。9.由递推关系i_{n+1}=ni_n+n，设i_n=n!，代入i_1=1，i_2=2!，i_3=3!，i_4=4!，故i_4=24。10.由等比数列性质q_4/q_2=q_6/q_4，故q_6=8×8/4=16。三、判断题1.正确：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3/2n+1/2。2.正确：若b_1>0且q<0，则数列正负交替，偶数项为负，故项数不可能为偶数。3.错误：该数列是斐波那契数列，相邻两项之差不恒定，故不是等差数列。4.正确：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，故a_3=（a_1+a_5）/2=7，同理a_3+a_4=2a_4=14。5.错误：e_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，相邻项之比不恒定，故不是等比数列。6.错误：当n=1时f_2=f_1，当n≥2时f_{n+1}=nf_n，故f_n=n!，相邻项之比不恒定，故不是等比数列。7.正确：若q=1，则数列所有项均为a_1，故正确。8.正确：h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故h_n是等比数列。9.正确：设奇数项为a_n，偶数项为b_n，则a_{n+1}=a_n+a_{n-1}，b_{n+1}=b_n+b_{n-1}，故奇数项与偶数项分别成等差数列。10.正确：由等差数列性质a_1+a_n=2a_{n/2+1}=10，故a_{n/2+1}=5，S_n=n/2(a_1+a_n)=5n。四、简答题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3=7，a_5=11，解得a_1=3，d=2，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2