2025-2026年四川省人教版高一数学第二十章数列练习题

2025-2026年四川省人教版高一数学第二十章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_n+1=3a_n+1（n∈N），则该数列的通项公式a_n等于（）A.3^n-1B.3^n+1C.2×3^(n-1)D.2×3^n-1解析：由a_n+1=3a_n+1可得a_n+1+1=3(a_n+1)，即b_n+1=3b_n（b_n=a_n+1），故{b_n}是首项为3的等比数列，b_n=3^n，则a_n=3^n-1，故选A。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_n-1，则a_3的值为（）A.4B.5C.8D.9解析：由S_n=2a_n-1可得S_n-1=2a_n-1，两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，整理得a_n=1，故a_3=1，故选B。3.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_7=18，a_4+a_8=22，则该数列的公差d等于（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差数列性质可得a_5+a_7=2a_6=18，故a_6=9，同理a_4+a_8=2a_6=22，矛盾，故选C。4.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.n^2B.n^2+nC.2n^2D.2n^2+n解析：由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即b_n+1=2b_n（b_n=a_n+1），故{b_n}是首项为2的等比数列，b_n=2^n，则a_n=2^n-1，S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，故选A。5.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，则该数列的公比q等于（）A.2B.4C.8D.16解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)可得b_4=b_1q^3，即32=2q^3，解得q=4，故选B。6.已知数列{c_n}的前n项和为T_n，若c_1=1，c_n=c_(n-1)+2（n≥2），则T_5的值为（）A.15B.25C.35D.45解析：由c_n=c_(n-1)+2（n≥2）可得数列{c_n}是首项为1的等差数列，公差为2，c_n=1+2(n-1)=2n-1，T_5=1+3+5+7+9=25，故选B。7.在等差数列{d_n}中，若d_1=-5，d_6=7，则该数列的通项公式d_n等于（）A.2n-7B.2n-3C.3n-8D.4n-9解析：由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d可得d_6=-5+5d=7，解得d=2，故d_n=-5+2(n-1)=2n-7，故选A。8.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_(n-1)×3（n≥2），则该数列的前3项和S_3等于（）A.13B.40C.121D.364解析：由e_n=e_(n-1)×3（n≥2）可得数列{e_n}是首项为1的等比数列，公比为3，e_n=3^(n-1)，S_3=1+3+9=13，故选A。9.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列通项公式f_n=f_1q^(n-1)可得f_4=f_2q^2，即54=6q^2，解得q=3，故选A。10.已知数列{g_n}的前n项和为U_n，若g_1=2，g_n=g_(n-1)+n（n≥2），则U_4的值为（）A.20B.24C.28D.32解析：由g_n=g_(n-1)+n（n≥2）可得g_n=2+3+4+…+n，U_4=2+3+4+5=14，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=26，则a_6的值为______。解：由等差数列性质可得a_3+a_9=2a_6=26，故a_6=13。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=3，S_n=4b_n-12，则b_4的值为______。解：由S_n=4b_n-12可得S_n-1=4b_n-1，两式相减得b_n=4b_n-4b_n-1，即b_n=4b_n-1，整理得b_n=1，故b_4=1。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)可得c_3=c_1q^2，即16=2q^2，解得q=2。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1（n≥2），则该数列的前3项和S_3等于______。解：由d_n=2d_(n-1)+1（n≥2）可得d_n+1=2d_(n-1)+2，即d_n+1=2(d_(n-1)+1)，故{d_n+1}是首项为2的等比数列，d_n+1=2^n，则d_n=2^n-1，S_3=1+3+5=9。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=-4，e_5=8，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式e_n=e_1+(n-1)d可得e_5=-4+4d=8，解得d=3。6.已知数列{f_n}的前n项和为T_n，若f_1=2，f_n=f_(n-1)+3（n≥2），则T_6的值为______。解：由f_n=f_(n-1)+3（n≥2）可得数列{f_n}是首项为2的等差数列，公差为3，f_n=2+3(n-1)=3n-1，T_6=2+5+8+…+17=66。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=4，g_5=64，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^(n-1)可得g_5=g_2q^3，即64=4q^3，解得q=4。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n=h_(n-1)×2（n≥2），则该数列的前4项和S_4等于______。解：由h_n=h_(n-1)×2（n≥2）可得数列{h_n}是首项为1的等比数列，公比为2，h_n=2^(n-1)，S_4=1+2+4+8=15。9.在等差数列{i_n}中，若i_4+i_10=22，则i_7的值为______。解：由等差数列性质可得i_4+i_10=2i_7=22，故i_7=11。10.已知数列{j_n}的前n项和为U_n，若j_1=1，j_n=j_(n-1)+n（n≥2），则U_5的值为______。解：由j_n=j_(n-1)+n（n≥2）可得j_n=1+2+3+…+n，U_5=1+2+3+4+5=15。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差为3。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d可得a_5=3+4d=9，解得d=3，正确。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=2，S_n=3b_n-4，则该数列是等比数列。解：由S_n=3b_n-4可得S_n-1=3b_n-1，两式相减得b_n=3b_n-3b_n-1，即b_n=3b_n-1，整理得b_n=1，矛盾，错误。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=1，c_4=16，则该数列的公比q等于±2。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)可得c_4=c_1q^3，即16=1q^3，解得q=2或q=-2，正确。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1（n≥2），则该数列是等比数列。解：由d_n=2d_(n-1)+1可得d_n+1=2d_(n-1)+2，即d_n+1=2(d_(n-1)+1)，故{d_n+1}是首项为2的等比数列，但{d_n}不是等比数列，错误。5.在等差数列{e_n}中，若e_3=7，e_7=15，则e_5=11。解：由等差数列性质可得e_3+e_7=2e_5=22，故e_5=11，正确。6.已知数列{f_n}的前n项和为T_n，若f_1=3，f_n=f_(n-1)+2（n≥2），则T_6=42。解：由f_n=f_(n-1)+2（n≥2）可得数列{f_n}是首项为3的等差数列，公差为2，f_n=3+2(n-1)=2n+1，T_6=3+5+7+…+13=42，正确。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则g_3=24。解：由等比数列性质可得g_3^2=g_2g_4，即g_3^2=6×54=324，解得g_3=18或g_3=-18，但题目未指明g_3的符号，故无法确定，错误。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_n=h_(n-1)×3（n≥2），则h_4=54。解：由h_n=h_(n-1)×3（n≥2）可得数列{h_n}是首项为2的等比数列，公比为3，h_n=2×3^(n-1)，h_4=2×3^3=54，正确。9.在等差数列{i_n}中，若i_1=-2，i_6=10，则i_4=4。解：由等差数列通项公式i_n=i_1+(n-1)d可得i_6=-2+5d=10，解得d=4，i_4=-2+3d=-2+12=10，错误。10.已知数列{j_n}的前n项和为U_n，若j_1=5，j_n=j_(n-1)+n（n≥2），则U_7=28。解：由j_n=j_(n-1)+n（n≥2）可得j_n=5+6+7+…+n，U_7=5+6+7+…+13=91，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3n^2-n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4，故a_n=6n-4。2.在等差数列{b_n}中，若b_1=1，b_5=17，求该数列的通项公式b_n。解：由等差数列通项公式b_n=b_1+(n-1)d可得b_5=1+4d=17，解得d=4，故b_n=1+4(n-1)=4n-3。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_4=81，求该数列的通项公式c_n。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)可得c_4=3q^3=81，解得q=3，故c_n=3×3^(n-1)=3^n。4.已知数列{d_n}的前n项和为T_n，若d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1（n≥2），求该数列的通项公式d_n。解：由d_n=2d_(n-1)+1可得d_n+1=2d_(n-1)+2，即d_n+1=2(d_(n-1)+1)，故{d_n+1}是首项为2的等比数列，d_n+1=2^n，则d_n=2^n-1。5.在等差数列{e_n}中，若e_3=7，e_9=19，求该数列的通项公式e_n。解：由等差数列性质可得e_3+e_9=2e_6=26，故e_6=13，由e_3=7可得d=(13-7)/3=2，故e_n=7+2(n-3)=2n-1。6.已知数列{f_n}的前n项和为U_n，若f_1=5，f_n=f_(n-1)+4（n≥2），求该数列的通项公式f_n。解：由f_n=f_(n-1)+4（n≥2）可得数列{f_n}是首项为5的等差数列，公差为4，f_n=5+4(n-1)=4n+1。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=8，g_5=32，求该数列的通项公式g_n。解：由等比数列性质可得g_2+g_5=2g_4，即8+32=2g_4，解得g_4=20，由g_2=8可得q=(20/8)^(1/3)=2，故g_n=8×2^(n-2)=2^(n+1)。8.已知数列{h_n}的前n项和为T_n，若h_1=2，h_n=h_(n-1)+n（n≥2），求该数列的通项公式h_n。解：由h_n=h_(n-1)+n（n≥2）可得h_n=2+3+4+…+n，h_n=2+(n(n+1)/2-1)=n(n+1)/2+n-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若该工厂今年的产量为100万吨，求5年后的产量是多少万吨？解：由等比数列通项公式可得a_n=a_1q^(n-1)，a_5=100×(1+10%)^4=100×1.1^4≈146.41万吨。2.某城市人口每年增长2%，若该城市目前人口为100万，求10年后的人口是多少万？解：由等比数列通项公式可得a_n=a_1q^(n-1)，a_10=100×(1+2%)^9=100×1.02^9≈121.89万。3.某企业投资100万元，每年收益率为5%，求5年后的本息和是多少万元？解：由等比数列通项公式可得a_n=a_1q^(n-1)，a_5=100×(1+5%)^4=100×1.05^4≈121.55万元。4.某学生计划每月比上月多存10元，若该学生第一个月存10元，求10个月后共存多少钱？解：由等差数列通项公式可得a_n=a_1+(n-1)d，S_10=10+20+…+100=10×(10+1)/2=550元。5.某工厂计划每年比上一年减少5%的能耗，若该工厂今年的能耗为100吨，求3年后的能耗是多少吨？解：由等比数列通项公式可得a_n=a_1q^(n-1)，a_3=100×(1-5%)^2=100×0.95^2≈90.25吨。6.某城市绿化面积每年增加8%，若该城市目前绿化面积为100公顷，求5年后的绿化面积是多少公顷？解：由等比数列通项公式可得a_n=a_1q^(n-1)，a_5=100×(1+8%)^4=100×1.08^4≈146.93公顷。7.某企业投资200万元，每年收益率为6%，求3年后的本息和是多少万元？解：由等比数列通项公式可得a_n=a_1q^(n-1)，a_3=200×(1+6%)^2=200×1.06^2≈231.44万元。8.某学生计划每月比上月多学2小时，若该学生第一个月学习10小时，求6个月后共学习了多少小时？解：由等差数列通项公式可得a_n=a_1+(n-1)d，S_6=10+12+…+22=10×(6+1)/2+2×(6×5)/2=132小时。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.B5.B6.B7.A8.A9.A10.B解析：2.由a_n+1=3a_n+1可得a_n+1+1=3(a_n+1)，故{a_n+1}是首项为3的等比数列，a_n+1=3^n，则a_n=3^n-1，故选A。3.由S_n=2a_n-1可得S_n-1=2a_n-1，两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，整理得a_n=1，故a_3=1，故选B。4.由等差数列性质可得a_5+a_7=2a_6=18，故a_6=9，同理a_4+a_8=2a_6=22，矛盾，故选C。5.由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，故{a_n+1}是首项为3的等比数列，a_n+1=3^n，则a_n=3^n-1，S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，故选A。6.由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)可得b_4=b_1q^3，即32=2q^3，解得q=4，故选B。7.由c_n=c_(n-1)+2（n≥2）可得数列{c_n}是首项为1的等差数列，公差为2，c_n=1+2(n-1)=2n-1，T_5=1+3+5+7+9=25，故选B。8.由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d可得d_6=-5+5d=7，解得d=2，故d_n=-5+2(n-1)=2n-7，故选A。9.由e_n=e_(n-1)×3（n≥2）可得数列{e_n}是首项为1的等比数列，公比为3，e_n=3^(n-1)，S_3=1+3+9=13，故选A。10.由等比数列通项公式f_n=f_1q^(n-1)可得f_4=f_2q^2，即54=6q^2，解得q=3，故选A。11.由f_n=f_(n-1)+3（n≥2）可得数列{f_n}是首项为2的等差数列，公差为3，f_n=2+3(n-1)=3n-1，T_6=2+5+8+…+17=66，故选B。二、填空题1.132.13.24.95.36.667.48.159.1110.15解析：2.由等差数列性质可得a_3+a_9=2a_6=26，故a_6=13。3.由S_n=4b_n-12可得S_n-1=4b_n-1，两式相减得b_n=4b_n-4b_n-1，即b_n=4b_n-1，整理得b_n=1，故b_4=1。4.由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)可得c_3=c_1q^2，即16=2q^2，解得q=2。5.由d_n=2d_(n-1)+1（n≥2）可得d_n+1=2d_(n-1)+2，即d_n+1=2(d_(n-1)+1)，故{d_n+1}是首项为2的等比数列，d_n+1=2^n，则d_n=2^n-1，S_3=1+3+5=9。6.由等差数列通项公式e_n=e_1+(n-1)d可得e_5=-4+4d=8，解得d=3。7.由f_n=f_(n-1)+3（n≥2）可得数列{f_n}是首项为2的等差数列，公差为3，f_n=2+3(n-1)=3n-1，T_6=2+5+8+…+17=66。8.由等比数列通项公式g_n=g_1q^(n-1)可得g_5=g_2q^3，即64=4q^3，解得q=4。9.由h_n=h_(n-1)×3（n≥2）可得数列{h_n}是首项为2的等比数列，公比为3，h_n=2×3^(n-1)，h_4=2×3^3=54。10.由等差数列性质可得i_4+i_10=2i_7=22，故i_7=11。11.由j_n=j_(n-1)+n（n≥2）可得j_n=1+2+3+…+n，U_5=1+2+3+4+5=15。三、判断题1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.×解析：2.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d可得a_5=3+4d=9，解得d=3，正确。3.由S_n=3b_n-4可得S_n-1=3b_n-1，两式相减得b_n=3b_n-3b_n-1，即b_n=3b_n-1，整理得b_n=1，矛盾，错误。4.由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)可得c_4=c_1q^3，即16=1q^3，解得q=2或q=-2，正确。5.由d_n=2d_(n-1)+1可得d_n+1=2d_(n-1)+2，即d_n+1=2(d_(n-1)+1)，故{d_n+1}是首项为2的等比数列，但{d_n}不是等比数列，错误。6.由等差数列性质可得e_3+e_7=2e_5=22，故e_5=11，正确。7.由f_n=f_(n-1)+2（n≥2）可得数列{f_n}是首项为3的等差数列，公差为2，f_n=3+2(n-1)=2n+1，T_6=3+5+7+…+13=42，正确。8.由等比数列性质可得g_3^2=g_2g_4，即g_3^2=6×54=324，解得g_3=18或g_3=-18，但题目未指明g_3的符号，故无法确定，错误。9.由h_n=h_(n-1)×3（n≥2）可得数列{h_n}是首项为2的等比数列，公比为3，h_n=2×3^(n-1)，h_4=2×3^3=54，正确。10.由等差数列通项公式i_n=i_1+(n-1)d可得i_6=-2+5d=10，解得d=4，i_4=-2+3d=-2+12=10，错误。11.由j_n=j_(n-1)+n（n≥2）可得j_n=5+6+7+…+n，U_7=5+6+7+…+13=91，错误。四、简答题1.由S_n=3n^2-n可得a_1=S_1=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4，故a_n=6n-4。2.由等差数列通项公式b_n=b_1+(n-1)d可得b_5=1+4d=17，解得d=4，故b_n=1+4(n-1)=4n-3。3.由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)可得c_4=c_1q^3=81，解得q=3，故c_n=3×3^(n-1)=3^n。