2025-2026年浙江省苏教版高二数学第二十章数列应用练习题

2025-2026年浙江省苏教版高二数学第二十章数列应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.某工厂计划每年比上一年增产10%的产量，如果2020年产量为100万吨，则2025年的产量约为（）A.133.1万吨B.146.4万吨C.160.5万吨D.174.8万吨解析：该问题可视为等比数列问题，首项a_1=100，公比q=1+10%=1.1，项数n=5，故a_5=100×1.1^5≈161.05，选项C最接近。3.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列的第5项a_5等于（）A.45B.50C.55D.60解析：由a_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时a_n=4n+1，当n=1时a_1=S_1=5，故a_5=4×5+1=21，选项均错误，需重新计算。实际S_n-S_{n-1}=4n+1，a_5=S_5-S_4=50-26=24，仍无正确选项，需修正题设。4.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.3√2D.4解析：由b_4=b_2q^2，代入6q^2=54可得q=3，选项A正确。5.某城市人口每年自然增长率为1.5%，若2020年人口为100万，则经过3年后该城市人口约为（）A.106.54万B.108.58万C.110.25万D.112.37万解析：等比数列问题，a_1=100，q=1.015，n=3，a_3=100×1.015^3≈106.54，选项A正确。6.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1，则该数列的前4项和S_4等于（）A.30B.31C.32D.33解析：递推关系变形为c_{n+1}+1=2(c_n+1)，即{c_n+1}为等比数列，首项2，公比2，故c_n+1=2^n，c_n=2^n-1，S_4=(2^4-1)+(2^3-1)+(2^2-1)+(2^1-1)=30，选项A正确。7.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18，故a_5+a_9=18，选项均错误，需修正题设。实际a_5+a_9=2a_6=2(a_5+d)=2×9+2d，需补充公差d信息。8.某投资者将资金按等比数列方式分5年投资，每年投资额比前一年多20%，若第一年投资10万元，则5年总投资额约为（）A.63.2万元B.65.5万元C.68.1万元D.70.4万元解析：等比数列问题，首项10，公比1.2，n=5，S_5=10×(1.2^5-1)/(1.2-1)≈63.2，选项A正确。9.已知数列{e_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列的第3项e_3等于（）A.12B.14C.16D.18解析：由e_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时e_n=6n-5，当n=1时e_1=S_1=1，故e_3=6×3-5=13，选项均错误，需修正题设。实际e_3=S_3-S_2=15-8=7，仍无正确选项，需重新设计题设。10.在等比数列{f_n}中，若f_1+f_2=5，f_1f_2=4，则该数列的公比q等于（）A.1B.2C.-2D.4解析：由f_1+f_2=5，f_1f_2=4可得f_1、f_2为方程x^2-5x+4=0的两根，解得f_1=1，f_2=4或f_1=4，f_2=1，故q=4或q=1/4，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=_________解：由a_1+a_9=2a_5=20，得a_5=10，故a_5+a_7=2a_6=20，参考答案：20。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第4项b_4=_________解：b_4=S_4-S_3=16+4-(9+3)=8，参考答案：8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=_________解：由c_4=c_2q^2，代入54=6q^2可得q=3，参考答案：3。4.某工厂产品年产量按等比数列增长，首年产量为1万吨，公比为1.1，则第5年产量为_________万吨解：c_5=1×1.1^4≈1.4641，参考答案：1.4641。5.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+3，则该数列的前6项和S_6=_________解：等差数列，a_1=2，d=3，S_6=6×2+(6×5×3)/2=66，参考答案：66。6.在等比数列{e_n}中，若e_1=2，e_3=8，则该数列的通项公式a_n=_________解：由e_3=e_1q^2，代入8=2q^2可得q=2，故a_n=2×2^{n-1}=2^n，参考答案：2^n。7.某城市人口每年增长率为2%，若2020年人口为100万，则2023年人口约为_________万（结果保留两位小数）解：100×1.02^3≈106.12，参考答案：106.12。8.已知数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的第3项f_3=_________解：f_3=S_3-S_2=7-3=4，参考答案：4。9.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_10=30，则a_6+a_8=_________解：由a_4+a_10=2a_7=30，得a_7=15，故a_6+a_8=2a_7=30，参考答案：30。10.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n，则该数列的前5项和S_5=_________解：递推关系变形为h_{n+1}+n/2=2(h_n+n/2)，即{h_n+n/2}为等比数列，首项3/2，公比2，故h_n+n/2=(3/2)×2^{n-1}，h_n=(3×2^{n-1}-1)/2，S_5=37.5，参考答案：37.5。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列的任意两项之差为常数，该常数即为公差。（√）解析：等差数列定义，a_m-a_n=(m-n)d，故任意两项之差为常数d。2.等比数列的任意两项之比不为常数。（×）解析：等比数列定义，a_m/a_n=q^{m-n}，当m=n时比值为1，故任意两项之比可能为常数1。3.数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列一定是等差数列。（√）解析：由a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1，可知{a_n}为等差数列。4.等比数列的任意一项不可能为0。（×）解析：若公比q=0，则从第二项起所有项均为0，如1,0,0,...。5.数列{b_n}满足b_{n+1}=b_n+b_{n-1}，则该数列一定是等差数列。（×）解析：斐波那契数列满足此条件，但相邻两项之差不为常数。6.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2，则该数列一定是等差数列。（√）解析：由a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1，可知{a_n}为等差数列。7.等差数列的通项公式必为一次函数形式。（×）解析：若公差d=0，则通项为常数函数。8.等比数列的通项公式必为指数函数形式。（×）解析：若公比q=1，则通项为常数函数。9.数列{a_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列一定是等比数列。（√）解析：由a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，可知{a_n}为等比数列。10.数列{b_n}满足b_{n+1}=q•b_n+r，其中q、r为常数，则该数列一定是等比数列。（×）解析：若r≠0，则{b_n}不是等比数列，如b_{n+1}=2b_n+1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3=7，a_7=15，求该数列的通项公式。解：由a_3=a_1+2d=7，a_7=a_1+6d=15，解得a_1=3，d=2，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.某工厂产品年产量按等比数列增长，首年产量为2万吨，公比为1.2，求第5年产量。解：c_5=2×1.2^4=3.1104万吨。3.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的第3项b_3。解：b_3=S_3-S_2=12-6=6。4.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_4=81，求该数列的公比q。解：由c_4=c_1q^3，代入81=3q^3可得q=3。5.某城市人口每年增长率为1%，若2020年人口为100万，求2022年人口。解：100×1.01^2=102.01万。6.已知数列{d_n}满足d_{n+1}=2d_n+1，求该数列的通项公式。解：递推关系变形为d_{n+1}+1=2(d_n+1)，即{d_n+1}为等比数列，首项4，公比2，故d_n+1=4×2^{n-1}，d_n=2^n+1。7.在等差数列{e_n}中，若a_5+a_9=24，求a_6+a_8。解：由a_5+a_9=2a_7=24，得a_7=12，故a_6+a_8=2a_7=24。8.已知数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第4项f_4。解：f_4=S_4-S_3=15-7=8。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产8%的产量，若2020年产量为50万吨，求2023年产量。解：50×1.08^3≈64.3072万吨。2.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的第5项a_5。解：a_5=S_5-S_4=75-39=36。3.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，求该数列的公比q。解：由b_4=b_2q^2，代入16=4q^2可得q=2。4.某城市人口每年增长率为1.5%，若2020年人口为80万，求2025年人口。解：80×1.015^5≈92.5784万。5.已知数列{c_n}满足c_{n+1}=3c_n-2，求该数列的通项公式。解：递推关系变形为c_{n+1}-1=3(c_n-1)，即{c_n-1}为等比数列，首项2，公比3，故c_n-1=2×3^{n-1}，c_n=2×3^{n-1}+1。6.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=20，求a_5+a_9。解：由a_3+a_7=2a_5=20，得a_5=10，故a_5+a_9=2a_7=20。7.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的第6项a_6。解：a_6=S_6-S_5=42-30=12。8.在等比数列{f_n}中，若f_1+f_2=10，f_1f_2=9，求该数列的通项公式。解：由f_1+f_2=10，f_1f_2=9可得f_1、f_2为方程x^2-10x+9=0的两根，解得f_1=1，f_2=9或f_1=9，f_2=1，故f_n=9^{n-1}或f_n=9^{1-n}。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.（修正后）C4.A5.A6.（修正后）C7.（修正后）D8.A9.（修正后）B10.D二、填空题1.202.83.34.1.46415.666.2^n7.106.128.49.3010.37.5三、判断题1.√2.×3.√4.×5.×6.√7.×8.×9.√10.×四、简答题1.a_n=2n+12.c_5=3.1104万吨3.b_3=64.q=35.102.01万6.d_n=2^n+17.a_6+a_8=248.f_4=8五、应用题1.64.3072万吨2.a_5=363.q=24.92.5784万5.c_n=2×3^{n-1}+16.a_5+a_9=207.a_6=128.f_n=9^{n-1}或f_n=9^{1-n}【解析】一、单项选择题1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，由a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2，选项A正确。2.等比数列问题，首项a_1=100，公比q=1.1，n=5，a_5=100×1.1^5≈161.05，选项C最接近。3.等差数列性质，a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9，故a_5+a_7=2a_6=18，选项均错误，需修正题设。实际a_5+a_7=2a_6=2(a_5+d)=2×9+2d，需补充公差d信息。4.等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，由b_2=a_1q=6，b_4=a_1q^3=54，解得q=3，选项A正确。5.等比数列问题，首项a_1=100，公比q=1.015，n=3，a_3=100×1.015^3≈106.54，选项A正确。6.递推关系变形为c_{n+1}+1=2(c_n+1)，即{c_n+1}为等比数列，首项2，公比2，故c_n+1=2^n，c_n=2^n-1，S_4=(2^4-1)+(2^3-1)+(2^2-1)+(2^1-1)=30，选项A正确。7.等差数列性质，a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9，故a_5+a_7=2a_6=18，选项均错误，需修正题设。实际a_5+a_7=2a_6=2(a_5+d)=2×9+2d，需补充公差d信息。8.等比数列问题，首项a_1=10，公比q=1.2，n=5，S_5=10×(1.2^5-1)/(1.2-1)≈63.2，选项A正确。9.等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，由f_1+f_2=5，f_1f_2=4可得f_1、f_2为方程x^2-5x+4=0的两根，解得f_1=1，f_2=4或f_1=4，f_2=1，故q=4或q=1/4，选项A正确。10.等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，由f_1=2，f_2=4可得q=2，故a_n=2×2^{n-1}=2^n，选项B正确。二、填空题1.等差数列性质，a_3+a_7=2a_5=20，得a_5=10，故a_5+a_7=2a_6=20，参考答案：20。2.由a_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时a_n=2n-1，当n=1时a_1=S_1=3，故a_4=9，a_3=7，a_2=5，a_1=3，S_4=18，S_3=12，S_2=6，S_1=3，a_4=S_4-S_3=6，参考答案：6。3.等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，由b_2=a_1q=6，b_4=a_1q^3=54，解得q=3，故a_4=a_1q^3=18，参考答案：18。4.等比数列问题，首项a_1=1，公比q=1.1，n=5，a_5=1×1.1^4≈1.4641，参考答案：1.4641。5.递推关系变形为d_{n+1}+1=2(d_n+1)，即{d_n+1}为等比数列，首项3，公比2，故d_n+1=3×2^{n-1}，d_n=3×2^{n-1}-1，S_6=66，参考答案：66。6.等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，由c_1=3，c_4=81可得q=3，故a_n=3×3^{n-1}=3^n，参考答案：3^n。7.等比数列问题，首项a_1=100，公比q=1.01，n=3，a_3=100×1.01^2≈102.01，参考答案：102.01。8.由a_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时a_n=2n-1，当n=1时a_1=S_1=3，故a_4=9，a_3=7，a_2=5，a_1=3，S_4=18，S_3=12，S_2=6，S_1=3，a_4=S_4-S_3=6，参考答案：6。9.等差数列性质，a_4+a_10=2a_7=30，得a_7=15，故a_6+a_8=2a_7=30，参考答案：30。10.递推关系变形为h_{n+1}+n/2=2(h_n+n/2)，即{h_n+n/2}为等比数列，首项3/2，公比2，故h_n+n/2=(3/2)×2^{n-1}，h_n=(3×2^{n-1}-1)/2，S_5=37.5，参考答案：37.5。三、判断题1.等差数列定义，任意两项之差为常数d，即a_m-a_n=(m-n)d，故任意两项之差为常数d，正确。2.等比数列定义，任意两项之比为常数q，但当q=1时所有项相等，比值为1，故任意两项之比可能为常数1，错误。3.由a_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时a_n=6n-3，当n=1时a_1=S_1=1，故{a_n}为等差数列，正确。4.若公比q=0，则从第二项起所有项均为0，如1,0,0,...，此时任意一项为0，错误。5.斐波那契数列满足b_{n+1}=b_n+b_{n-1}，但相邻两项之差不为常数，如1,1,2,3,...，错误。6.由a_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时a_n=2n-1，当n=1时a_1=S_1=1，故{a_n}为等差数列，正确。7.若公差d=0，则通项为常数函数a_n=a_1，错误。8.若公比q=1，则通项为常数函数a_n=a_1，错误。9.由a_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时a_n=2×3^{n-1}，当n=1时a_1=S_1=2，故{a_n}为等比数列，正确。10.数列{b_n}满足b_{n+1}=q•b_n+r，若r≠0，则{b_n}不是等比数列，如b_{n+1}=2b_n+1，错误。四、简答题1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，由a_3=a_1+2d=7，a_7=a_1+6d=15，解得a_1=3，d=2，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，由首年产量a_1=2，公比q=1.2，n=5，a_5=2×1.2^4=3.1104万吨。3.由a_n=S_n-S_{n-1}，当n≥2时a_n=2n-1，当n=1时a_1=S_1=1，故{a_n}为等差数列。4.等比数列通项公式a_n=a_1q^{