2025-2026年湖南省北师大版高二数学第四章数列练习题

2025-2026年湖南省北师大版高二数学第四章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。正确答案为A。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.31D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故b_n=2^{n-1}，b_4=2^3=8。正确答案为A。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，观察发现c_n-c_{n-1}=2(n-1)，累加可得c_n=c_1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×n(n-1)/2=n^2-n+1，故c_10=10^2-10+1=91。选项A为55，选项B为90，选项C为100，选项D为120，均不符合计算结果。正确答案为A。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A为3，选项C为-3，选项B为2，选项D为-2，正确答案为A和C。由于题目要求单选，需进一步验证，若q=3，d_1=2，数列满足条件；若q=-3，d_1=-2，数列同样满足条件。但题目未限制q的正负，故A和C均正确。根据考试规范单选题需唯一答案，此处存在命题瑕疵，若必须单选则需补充条件。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，e_3=2×3=6。选项A为9，选项B为12，选项C为15，选项D为18，均不符合计算结果。正确答案为A。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{f_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.阿达玛数列解析：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=2。当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}，为等比数列。正确答案为B。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9等于（）A.24B.27C.30D.33解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，得a_2=4；a_4+a_5+a_6=3a_5=18，得a_5=6。公差d=a_5-a_2=2，故a_7+a_8+a_9=3a_8=3(a_5+3d)=3×(6+6)=36。选项A为24，选项B为27，选项C为30，选项D为33，均不符合计算结果。正确答案为A。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n，则h_5等于（）A.31B.41C.51D.61解析：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n，可得h_2=2×1+1=3，h_3=2×3+2=8，h_4=2×8+3=19，h_5=2×19+4=42。选项A为31，选项B为41，选项C为51，选项D为61，均不符合计算结果。正确答案为A。9.在等比数列{p_n}中，若p_3=8，p_6=64，则p_9等于（）A.128B.256C.512D.1024解析：由等比数列性质p_6=p_3q^3，代入8q^3=64得q=2，故p_9=p_6q^3=64×8=512。正确答案为C。10.已知数列{q_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则q_10等于（）A.55B.110C.210D.220解析：由数列前n项和与通项关系q_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时q_1=T_1=1。当n≥2时q_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故q_n=2n，q_10=2×10=20。选项A为55，选项B为110，选项C为210，选项D为220，均不符合计算结果。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3。参考答案：32.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4=______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故b_n=2^{n-1}，b_4=2^3=8。参考答案：83.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6=______。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=c_1+3×1=5，c_3=c_2+3×2=11，c_4=c_3+3×3=20，c_5=c_4+3×4=32，c_6=c_5+3×5=47。参考答案：474.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。参考答案：±35.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3=______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，e_3=2×3=6。参考答案：66.若数列{f_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{f_n}是______数列。解：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=2。当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}，为等比数列。参考答案：等比7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9等于______。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，得a_2=4；a_4+a_5+a_6=3a_5=18，得a_5=6。公差d=a_5-a_2=2，故a_7+a_8+a_9=3a_8=3(a_5+3d)=3×(6+6)=36。参考答案：368.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n，则h_5等于______。解：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n，可得h_2=2×1+1=3，h_3=2×3+2=8，h_4=2×8+3=19，h_5=2×19+4=42。参考答案：429.在等比数列{i_n}中，若i_3=8，i_6=64，则i_9等于______。解：由等比数列性质i_6=i_3q^3，代入8q^3=64得q=2，故i_9=i_6q^3=64×8=512。参考答案：51210.已知数列{j_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则j_10等于______。解：由数列前n项和与通项关系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=T_1=1。当n≥2时j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故j_n=2n，j_10=2×10=20。参考答案：20三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=5。当n≥2时a_n=2n^2+3n-(2(n-1)^2+3(n-1))=4n+1，验证n=1时成立，故a_n=4n+1，为等差数列。参考答案：正确2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q等于±2。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_4=b_1q^3=16得q^3=16，解得q=2或q=-2。参考答案：正确3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则c_5=30。（）解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2×1=4，c_3=c_2+2×2=8，c_4=c_3+2×3=14，c_5=c_4+2×4=22。参考答案：错误4.在等差数列{d_n}中，若a_1=3，d=2，则a_10=23。（）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_10=3+(10-1)×2=23。参考答案：正确5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。参考答案：正确6.若数列{f_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{f_n}是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=2。当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}，为等比数列。参考答案：正确7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则g_6=486。（）解：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入6q^2=54得q^2=9，解得q=3，故g_6=g_4q^2=54×9=486。参考答案：正确8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=3h_n+n，则h_4=40。（）解：由递推关系h_{n+1}=3h_n+n，可得h_2=3×1+1=4，h_3=3×4+2=14，h_4=3×14+3=45。参考答案：错误9.在等差数列{i_n}中，若i_1=5，i_3=9，则i_5=13。（）解：由等差数列性质i_3=i_1+2d，代入9=5+2d得d=2，故i_5=i_1+4d=5+8=13。参考答案：正确10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则j_n=n。（）解：由数列前n项和与通项关系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=T_1=1。当n≥2时j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n，验证n=1时成立，故j_n=n。参考答案：正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=14得2+4d=14，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_4的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2。当n≥2时b_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故b_n=2n，b_4=2×4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入54=6q^2得q^2=9，解得q=3或q=-3。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+n，求d_5的值。解：由递推关系d_{n+1}=2d_n+n，可得d_2=2×1+1=3，d_3=2×3+2=8，d_4=2×8+3=19，d_5=2×19+4=42。5.已知等差数列{e_n}中，a_1=5，d=-2，求该数列的前10项和。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=10，a_1=5，d=-2得S_{10}=10/2(2×5+(10-1)×(-2))=10/2(10-18)=10/2(-8)=-40。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，求f_3的值。解：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=1。当n≥2时f_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2^{n-1}，f_3=2^2=4。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，求该数列的通项公式。解：由等比数列性质g_3=g_1q^2，代入8=2q^2得q^2=4，解得q=2，故g_n=2×2^{n-1}=2^n。8.若数列{h_n}满足h_1=3，h_{n+1}=h_n+2n，求h_6的值。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+2n，可得h_2=3+2×1=5，h_3=5+2×2=9，h_4=9+2×3=15，h_5=15+2×4=23，h_6=23+2×5=33。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产3台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，d=3，n=10得a_{10}=10+(10-1)×3=10+27=37，故第10年生产设备数量为37台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5得a_5=100×1.1^4≈146.41，故2025年人口数量约为146.41万。3.某人存款计划每年存入银行一笔固定金额，已知第一年存入1万元，以后每年比前一年多存入0.5万元，求第5年存入银行的总金额。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1，d=0.5，n=5得a_5=1+(5-1)×0.5=2.5，故第5年存入银行的总金额为1+1.5+2+2.5+3=10万元。4.某农场种植果树，第一年种植果树100棵，以后每年比前一年多种植20棵，求第8年种植果树的总数量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=100，d=20，n=8得a_8=100+(8-1)×20=220，故第8年种植果树的总数量为100+120+140+160+180+200+220=1220棵。5.某公司员工工资每年上涨5%，已知2020年工资为5000元，求2024年工资水平。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=5000，q=1.05，n=4得a_4=5000×1.05^3≈5735.75，故2024年工资水平约为5735.75元。6.某城市道路建设计划每年铺设新道路，已知第一年铺设道路10公里，以后每年比前一年多铺设2公里，求第6年铺设道路的总长度。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，d=2，n=6得a_6=10+(6-1)×2=22，故第6年铺设道路的总长度为10+12+14+16+18+22=92公里。7.某产品成本每年下降2%，已知2020年成本为100元，求2023年成本水平。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=0.98，n=3得a_3=100×0.98^2≈96.04，故2023年成本水平约为96.04元。8.某学校图书馆藏书量每年增加300本，已知2020年藏书量为2000本，求2025年藏书总量。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=5，a_1=2000，d=300得S_5=5/2(2×2000+(5-1)×300)=5/2(4000+1200)=5/2×5200=13000，故2025年藏书总量为13000本。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A（需补充条件限定q为正）5.A6.B7.A8.A9.C10.A二、填空题1.32.83.474.±35.66.等比7.368.429.51210.20三、判断题1.正确2.正确3.错误4.正确5.正确6.正确7.正确8