2026年人教版高一数学第二十八章函数图像综合练习题

2026年人教版高一数学第二十八章函数图像综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在平面直角坐标系中，函数f(x)=|x-1|的图像是（）A.一条通过点(1,0)的直线B.两条相交于点(1,0)的射线C.一个开口向上的抛物线D.一个以(1,0)为圆心的圆解析：函数f(x)=|x-1|表示x-1的绝对值，其图像由两部分组成：当x≥1时，f(x)=x-1，是一条斜率为1的射线；当x<1时，f(x)=1-x，是一条斜率为-1的射线。两条射线在点(1,0)处相交，故选B。选项A错误，直线应为y=|x-1|；选项C错误，抛物线对应二次函数；选项D错误，圆的方程需满足x²+y²=r²形式，而该函数图像为V形。2.函数g(x)=2sin(3x+π/4)的图像向左平移π/6个单位后，得到的函数图像对应的函数解析式为（）A.2sin(3x+π/4+π/6)B.2sin(3x-π/12)C.2sin(3x+π/12)D.2sin(3x-π/4)解析：函数图像向左平移π/6个单位，相当于将x替换为x+π/6，因此新函数为g(x)=2sin[3(x+π/6)+π/4]=2sin(3x+π/2+π/4)=2sin(3x+3π/4)。根据三角函数相加公式，3π/4=π-π/4，故可化简为2sin(3x-π/4)，选项D正确。选项A未正确处理平移后的相位变化；选项B错误，平移导致相位增加而非减少；选项C错误，相位计算错误。3.函数h(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为（）A.8和-8B.4和-4C.2和-2D.0和-8解析：首先求导数h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，令h'(x)=0得x=-1或x=1。计算端点和极值点处的函数值：h(-2)=-8，h(-1)=2，h(1)=-2，h(2)=0。因此最大值为2，最小值为-8，选项D正确。选项A错误，最大值计算错误；选项B错误，未考虑极值点；选项C错误，最小值计算错误。4.函数f(x)=√(x²-4x+4)的定义域为（）A.(-∞,2)∪(2,+∞)B.[0,4]C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.R解析：函数f(x)=√(x²-4x+4)=√[(x-2)²]，根号内的表达式需非负，即(x-2)²≥0恒成立，因此定义域为全体实数R，选项D正确。选项A错误，混淆了绝对值函数的定义域；选项B错误，仅考虑了部分区间；选项C错误，区间划分错误。5.函数y=1/(x-1)的图像关于（）对称A.原点B.x轴C.y轴D.直线x=1解析：函数y=1/(x-1)是反比例函数的平移，其图像关于直线x=1对称。可以通过设y=1/(x-1)与y=1/(-x-1)相等验证对称性，或观察分母x-1和-x-1的对称关系，选项D正确。选项A错误，反比例函数图像关于原点对称的是y=1/x；选项B错误，该函数图像不关于x轴对称；选项C错误，该函数图像不关于y轴对称。6.函数m(x)=log₂(x+1)的图像可由函数y=log₂x的图像（）得到A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移2个单位D.向右平移2个单位解析：函数m(x)=log₂(x+1)相当于y=log₂x向左平移1个单位，因为将x替换为x+1即实现左移。选项A正确。选项B错误，右移会导致x-1；选项C错误，平移量计算错误；选项D错误，右移2个单位应为x+2。7.函数n(x)=tan(2x-π/3)的周期为（）A.π/2B.πC.3π/2D.2π解析：正切函数tan(kx)的周期为π/|k|，因此tan(2x-π/3)的周期为π/2，选项A正确。选项B错误，未考虑系数2的影响；选项C错误，周期计算错误；选项D错误，周期与2π无关。8.函数p(x)=sin(x+π/6)-cos(x)的图像关于（）对称A.x轴B.y轴C.直线x=π/2D.直线x=π/3解析：化简p(x)=sin(x+π/6)-cos(x)=√3/2sinx+1/2sinx-cosx=√3/2sinx-1/2cosx=sin(x-π/6)。正弦函数图像关于直线x=π/2+kπ对称，因此p(x)的图像关于直线x=π/2对称，选项C正确。选项A错误，正弦函数图像不关于x轴对称；选项B错误，正弦函数图像不关于y轴对称；选项D错误，π/3不是对称轴。9.函数q(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.3C.0D.-1解析：函数q(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和。当-2≤x≤1时，距离和最小，此时q(x)=1-(-2)=3，选项B正确。选项A错误，未考虑绝对值分段；选项C错误，最小值不可能为0；选项D错误，最小值非负。10.函数r(x)=e^x在区间(0,1)上的平均值等于（）A.e-1B.e+1C.1/eD.1/(e-1)解析：函数r(x)=e^x在区间(0,1)上的平均值为(∫₀¹e^xdx)/(1-0)=e^x|₀¹=e-1，选项A正确。选项B错误，计算错误；选项C错误，未考虑积分；选项D错误，分母计算错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数s(x)=cos(2x+π/3)的图像向右平移π/4个单位后，得到的函数解析式为_________。解析：平移导致x替换为x-π/4，因此新函数为s(x)=cos[2(x-π/4)+π/3]=cos(2x-π/2+π/3)=cos(2x+π/6)。参考答案：cos(2x+π/6)2.函数t(x)=x²-4x+3的图像的对称轴方程为_________。解析：二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/(2a)，因此对称轴为x=-(-4)/(2×1)=2。参考答案：x=23.函数u(x)=√(x²+2x+1)的值域为_________。解析：√(x²+2x+1)=√[(x+1)²]，因此值域为[0,+∞)。参考答案：[0,+∞)4.函数v(x)=1/(x²-1)的定义域为_________。解析：分母x²-1≠0，即x≠±1，因此定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。参考答案：(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)5.函数w(x)=sin(π/3-x)的图像关于_________对称。解析：sin(π/3-x)=-sin(x-π/3)，因此图像关于直线x=π/3对称。参考答案：x=π/36.函数x(x)=log₃(x-2)的图像可由函数y=log₃x的图像_________得到。解析：将y=log₃x向右平移2个单位，即x替换为x-2。参考答案：向右平移2个单位7.函数y(x)=tan(3x-π/4)的周期为_________。解析：周期为π/|k|=π/3。参考答案：π/38.函数z(x)=|x+1|+|x-1|的图像的顶点坐标为_________。解析：分段函数在x=-1和x=1处分段，顶点为(-1,2)和(1,2)。参考答案：(-1,2)和(1,2)9.函数a(x)=e^(-x)在区间(-1,1)上的平均值为_________。解析：平均值=(∫₋₁¹e^(-x)dx)/(1-(-1))=[-e^(-x)]₋₁¹=(-1/e)-(-e)=e-1/e。参考答案：e-1/e10.函数b(x)=sin²x的图像的对称中心为_________。解析：sin²x=1/2(1-cos(2x))，对称中心为(π/4+kπ,1/2)，k∈Z。参考答案：(π/4+kπ,1/2)，k∈Z三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数c(x)=2cos(2x+π/6)的图像的周期为π。解析：周期为2π/|k|=2π/2=π，正确。参考答案：正确2.函数d(x)=x³在区间[-1,1]上的平均值等于0。解析：平均值=(∫₋₁¹x³dx)/(1-(-1))=[x⁴/4]₋₁¹=(1/4-1/4)=0，正确。参考答案：正确3.函数e(x)=|x-2|的图像关于直线x=2对称。解析：绝对值函数|ax+b|的图像关于直线x=-b/a对称，因此|x-2|关于x=2对称，正确。参考答案：正确4.函数f(x)=log₂(1-x)在区间(0,1)上是增函数。解析：对数函数log₂(1-x)在(0,1)上单调递减，因为1-x是减函数且底数2>1，错误。参考答案：错误5.函数g(x)=sin(x+π/2)的图像与y=sinx的图像完全重合。解析：sin(x+π/2)=cosx，与sinx图像不同，错误。参考答案：错误6.函数h(x)=1/(x+1)在区间(-∞,-1)上是增函数。解析：求导h'(x)=-1/(x+1)²<0，在(-∞,-1)上单调递减，错误。参考答案：错误7.函数i(x)=e^x在区间(0,1)上的平均值大于1。解析：平均值=(∫₀¹e^xdx)/(1-0)=e-1>1，正确。参考答案：正确8.函数j(x)=tan(π/4-x)的图像关于直线x=π/4对称。解析：tan(π/4-x)=-tan(x-π/4)，图像关于x=π/4对称，正确。参考答案：正确9.函数k(x)=|x+3|的图像可由函数y=|x|的图像向左平移3个单位得到。解析：|x+3|相当于|y|向左平移3个单位，正确。参考答案：正确10.函数l(x)=sin²(π/2-x)的图像与y=cos²x的图像完全重合。解析：sin²(π/2-x)=cos²x，图像重合，正确。参考答案：正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数m(x)=sin(2x-π/3)在区间[0,π]上的最大值和最小值。解答：首先求导m'(x)=2cos(2x-π/3)，令m'(x)=0得2x-π/3=kπ+π/2，即x=kπ/2+5π/12。在[0,π]上，x=5π/12和x=11π/12。计算端点和极值点处的函数值：m(0)=sin(-π/3)=-√3/2，m(5π/12)=sin(π/4)=√2/2，m(11π/12)=sin(7π/12)=sin(π/4+π/3)=√2/2×(√3/2+1/2)=√6/4+√2/4，m(π)=sin(2π-π/3)=sin(5π/3)=-√3/2。因此最大值为√6/4+√2/4，最小值为-√3/2。2.求函数n(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解答：函数可分段表示为：当x<-2时，n(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2≤x≤1时，n(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x>1时，n(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。因此在区间[-2,1]上，n(x)恒等于3，最小值为3，取得最小值时的x值在[-2,1]内。3.求函数p(x)=log₂(x+3)-log₂(x+1)的定义域。解答：对数函数的真数必须大于0，因此需满足：x+3>0且x+1>0，即x>-3且x>-1，因此x>-1。定义域为(-1,+∞)。4.求函数q(x)=tan(3x-π/4)的图像的对称中心。解答：正切函数tan(kx)的图像的对称中心为(π/(4k)+kπ/3,0)，因此tan(3x-π/4)的对称中心为(π/12+kπ/3,0)，k∈Z。5.求函数r(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值。解答：平均值=(∫₀¹e^xdx)/(1-0)=[e^x]₀¹=e-1。6.求函数s(x)=sin²x的图像的对称轴方程。解答：sin²x=1/2(1-cos(2x))，其图像的对称轴为2x=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/4，k∈Z。7.求函数t(x)=|x+1|+|x-1|的图像的顶点坐标。解答：分段函数在x=-1和x=1处分段，计算得：当x=-1时，t(-1)=|-1+1|+|-1-1|=2；当x=1时，t(1)=|1+1|+|1-1|=2。因此顶点坐标为(-1,2)和(1,2)。8.求函数u(x)=1/(x-2)在区间(2,3)上的平均值。解答：平均值=(∫₂³1/(x-2)dx)/(3-2)=[ln|x-2|]₂³=ln(3-2)-ln(2-2)=ln1-ln0，但ln0无意义，因此该函数在(2,3)上无定义，无法计算平均值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数v(x)=sin(2x+φ)的图像经过点(π/4,√2/2)，求φ的值。解答：将x=π/4代入得sin(2×π/4+φ)=√2/2，即sin(π/2+φ)=√2/2。根据sin(π/2+φ)=cosφ=√2/2，得φ=π/4+kπ，k∈Z。2.已知函数w(x)=x²-2x+3，求其图像的顶点坐标、对称轴方程及开口方向。解答：顶点坐标为(-b/(2a),c-b²/(4a))，即(1,2)。对称轴方程为x=1。开口方向向上，因为a=1>0。3.已知函数x(x)=log₃(x-1)，求其定义域和值域。解答：定义域需满足x-1>0，即x>1。值域为R，因为对数函数的值域为全体实数。4.已知函数y(x)=tan(π/3-x)，求其图像的对称中心。解答：tan(π/3-x)=-tan(x-π/3)，图像的对称中心为(π/3+kπ,0)，k∈Z。5.已知函数z(x)=e^(-x)，求其图像的对称中心。解答：指数函数y=e^(-x)的图像关于点(0,1)对称，因此对称中心为(0,1)。6.已知函数a(x)=|x-2|+|x+1|，求其图像的顶点坐标和最小值。解答：分段函数在x=-1和x=2处分段，计算得：当x=-1时，a(-1)=|-1-2|+|-1+1|=3；当x=2时，a(2)=|2-2|+|2+1|=3。因此顶点坐标为(-1,3)和(2,3)，最小值为3。7.已知函数b(x)=sin²x，求其图像的对称中心。解答：sin²x=1/2(1-cos(2x))，图像的对称中心为(π/4+kπ,1/2)，k∈Z。8.已知函数c(x)=log₂(x+2)-log₂(x)，求其定义域和值域。解答：定义域需满足x+2>0且x>0，即x>0。值域为R，因为对数函数的差值可取任意实数。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.D5.D6.A7.A8.C9.B10.A解析：2.绝对值函数图像为V形，通过(1,0)且在x=1处相交。3.平移导致相位变化，向左平移π/6相当于x+π/6，相位为π/2+π/4=3π/4。4.求导后找到极值点，计算端点和极值点处的函数值，最大值为8，最小值为-8。5.根号内表达式为(x-2)²，需非负，因此定义域为全体实数。6.反比例函数平移不改变对称轴，仍为x=1。7.对数函数平移规律：y=f(x-a)向右平移a个单位。8.正切函