安徽省合肥市庐江县2025~2026学年高二下册期末抽测数学试卷【附解析】

数学满分150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（）A. B. C. D.2.设复数、在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则（）A. B. C. D.3.已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（）A. B. C. D.4.在等差数列中，公差，若，则的值为（）A.15 B.16 C.19 D.215.我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（）（参考数据：，，）A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年6.已知向量，，且，则等于（）A. B. C. D.7.在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（

）A.4∶5 B.5∶7 C.10∶17 D.8∶198.我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.甲罐中有3个红球、3个黑球，乙罐中有4个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A. B. C. D.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为 B.的最大值为2C.在区间上单调递增 D.为奇函数11.在平面直角坐标系中，曲线，则（）A.曲线关于原点对称B.对于任意的实数，直线与曲线总有公共点C.曲线上存在四个点，使得四边形是正方形D.若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为________．13.某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额．从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中被分配到的最少名额数，则的数学期望________．14.若函数的图象在点处的切线方程为，则的最小值为________．15.设定义在上的函数满足，且当时．已知满足；若恒成立（为自然对数的底数），则实数的最大值为__________．四、解答题：本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．17.2024年6月，我省正式进行“”高考新模式．我县某校为调研新高考模式下，学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级1000名学生的选科情况，部分数据如表：性别科目男生女生合计物理400历史250合计5501000（1）根据所给数据完成上述表格，依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析认为该校学生选择物理或历史与性别是否有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取8人，组成数学学习小组，一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.如图①，在中，，，，，垂足为，将沿折起到的位置，使，如图②．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由．19.已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称．（1）求抛物线的方程；（2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标．20.对于一个函数和一个点，令，若是取得最小值的点，则称是在的“亲密点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“亲密点”；（2）对于，，请判断是否存在一个点，它是在的“亲密点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）（A题）对于，点在轴上运动．若存在两个不同的“亲密点”，求实数的范围．（B题）已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是，在的“亲密点”，试判断的单调性．21.对于一个函数和一个点，令，若是取得最小值的点，则称是在的“亲密点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“亲密点”；（2）对于，，请判断是否存在一个点，它是在的“亲密点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是，在的“亲密点”，试判断的单调性．

数学满分150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：至多一个解，当时，无解，故，当时，，解得，当时，，故所有的取值构成的集合为.2.设复数、在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求得，利用复数的除法化简可得结果.解答过程：由题意可得，因此，.故选：A.3.已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由平均数的定义可得，再利用基本不等式求出取最小值时的取值，最后代入方差公式计算即可.解答过程：由题意可得：，则，其中.可得

，当且仅当，即时，等号成立，满足条件，所以

,，所以这组数据的方差为.4.在等差数列中，公差，若，则的值为（）A.15 B.16 C.19 D.21答案：C解析：解答过程：，，因为，所以，解得.5.我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（）（参考数据：，，）A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年答案：C解析：解答过程：设经过年，全年投入的研发资金超过2000万元，根据题意得：，化简得：.因为在上单调递增，不等式两边同时取常用对数得：

，代入参考数据得：

，解得.因为为正整数，故的最小值为4，所以对应年份为年.6.已知向量，，且，则等于（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，故，解得，故，7.在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（

）A.4∶5 B.5∶7 C.10∶17 D.8∶19答案：D解析：思路：根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值.解答过程：取的中点，连接，；，，即点在线段上，.过点作，分别交，于点，.平面是过点，，三点的平面.设，直三棱柱的高为..，，；；直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小），，则；.8.我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分析可知函数有两条渐近线，，设渐近线的夹角为，可得，，进而可求离心率.解答过程：由题意可知：函数有两条渐近线，，设渐近线的夹角为，，直线的倾斜角为，则，，可得，则，整理可得，解得或（舍去），即，所以所求双曲线的离心率为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.甲罐中有3个红球、3个黑球，乙罐中有4个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：AB选项，由题意得到相应概率；CD选项，由全概率公式和条件概率公式进行求解解答过程：A选项，，A正确；B选项，，B错误；C选项，，，故，C正确；D选项，，D错误.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为 B.的最大值为2C.在区间上单调递增 D.为奇函数答案：ABC解析：思路：AB选项，根据函数图象得到解析式，得到AB正确；C选项，得到，得到函数单调性；D选项，计算出，得到其为偶函数解答过程：A选项，设的最小正周期为，，解得，A正确；B选项，因为，所以，解得，，将代入得，，因为，所以，故，解得，，将代入得，解得，所以，最大值为2，B正确；C选项，，，由于在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；D选项，，为偶函数，D错误.11.在平面直角坐标系中，曲线，则（）A.曲线关于原点对称B.对于任意的实数，直线与曲线总有公共点C.曲线上存在四个点，使得四边形是正方形D.若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是答案：ACD解析：思路：利用曲线的对称性,直线与曲线的交点及圆与曲线的位置关系等性质对选项逐一分析即可.解答过程：对于选项A，设曲线上任意一点，其关于原点的对称点为.将代入曲线方程得，，所以曲线关于原点对称.故A正确.对于选项B，将与曲线联立:即.当时，此方程无解.即直线与曲线无公共点，故选项B错误.对于选项C，曲线的方程可化为，即，也就是，这两条曲线关于原点对称，如图以原点为圆心作圆，当时，根据对称性，四边形为正方形．故选项C正确；对于选项D，当圆与有交点时,由得,，当且仅当，即时取等.当圆与相切时,将两式联立,由得,即.令，得.由因为，所以.又因为与曲线恰有4个公共点，则.故选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为________．答案：解析：解答过程：由题意得，故，，又，故，即，可得，故离心率为13.某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额．从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中被分配到的最少名额数，则的数学期望________．答案：解析：思路：问题化为9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种分组，且并应用古典概型的概率求法求对应概率，进而求期望.解答过程：若三个年级人数分别为，则，又每个年级至少一个名额，所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种，由题意，则，且各年级人数为，其中的情况有一种情况，即，的情况有、、、、、、、、九种情况，即，可得，所以.14.若函数的图象在点处的切线方程为，则的最小值为________．答案：解析：思路：先求函数导数得到切线斜率，根据导数的几何意义求切线方程，可得，，令，，利用导数求该函数的最小值即可.解答过程：因为函数的定义域为，且，可得，，则切线方程为

，即，可得，则.令，，则.令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则的最小值为，即的最小值为.15.设定义在上的函数满足，且当时．已知满足；若恒成立（为自然对数的底数），则实数的最大值为__________．答案：解析：思路：先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，即可求出的取值范围，依题意可得，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出参数的取值范围，即可得解．解答过程：令，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以在上单调递减，因为满足，即，所以，即，因为恒成立，即，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，则实数的最大值为.四、解答题：本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得．解答过程：（1），即：，由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，，所以由，得，整理得，即．又，所以，即，则．[方法二]正弦定理+方程思想由，得，代入，得，整理得，则．由，得，所以．[方法三]余弦定理令．由，得．将代入中，可得，即，解得或（舍去）．所以，从而．[方法四]射影定理因为，所以，由射影定理得，所以．方法提示：方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值；方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值；方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值；方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值；方法提示：本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.17.2024年6月，我省正式进行“”高考新模式．我县某校为调研新高考模式下，学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级1000名学生的选科情况，部分数据如表：性别科目男生女生合计物理400历史250合计5501000（1）根据所给数据完成上述表格，依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析认为该校学生选择物理或历史与性别是否有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取8人，组成数学学习小组，一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案：（1）科目男生女生合计物理400200600历史150250400合计5504501000认为该校学生选择物理或历史与性别有关，该推断犯错误的概率不大于0.001；（2）数学期望为0123解析：思路：（1）先根据总人数和已知数据补全列联表，计算卡方统计量后与临界值比较，得出独立性检验结论；（2）先按分层抽样规则确定抽取的名历史类学生中男女生人数，再根据超几何分布计算对应概率，得到分布列和数学期望.（1）补全列联表：科目男生女生合计物理400200600历史150250400合计5504501000零假设为：该校学生选择物理或历史与性别无关,由于,假设不成立,依据小概率值的独立性检验,推断该校学生选择物理或历史与性别有关，该推断犯错误的概率不大于0.001.（2）选择历史科目的学生共人，其中男生人、女生人，分层抽样抽取人的抽样比为，因此抽取的小组中男生人数为，女生人数为，随机变量的所有可能取值为，服从超几何分布：

,

,

,

，因此的分布列为：0123数学期望.18.如图①，在中，，，，，垂足为，将沿折起到的位置，使，如图②．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明：因为在①中,折叠后，在②中仍成立，因为，平面,,所以平面,又因为平面,所以,因为平面,,所以平面；（2）存在，当为中点时，平面平面，证明如下：由（1）可知平面，又平面,所以,因为，，，，所以，所以,所以为等腰直角三角形，又因为为中点，所以,因为平面，,所以平面，又因为平面．可得平面平面.因为为中点，所以.解析：思路：（1）由线面垂直的判定定理可得平面,从而得,再由，即可得证；（2）结合（1），取中点,结合线面垂直的判定定理及性质定理，可证明平面平面，根据为中点，可求得的值.（1）略；（2）略.19.已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称．（1）求抛物线的方程；（2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标．答案：（1）（2）由（1）得，设，，直线的方程为．将直线的方程代入，得，所以，．，整理得，所以直线的方程为，直线过定点，定点坐标为．解析：思路：（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程;（2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点.（1）将代入，得，所以，由点，关于直线对称，可得，将的坐标代入抛物线的方程得，解得，所以抛物线的方程为．（2）略20.对于一个函数和一个点，令，若是取得最小值的点，则称是在的“亲密点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“亲密点”；（2）对于，，请判断是否存在一个点，它是在的“亲密点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）（A题）对于，点在轴上运动．若存在两个不同的“亲密点”，求实数的范围．（B题）已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是，在的“亲密点”，试判断的单调性．答案：（1）证明：当时，，当且仅当且，即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“亲密点”．（2）存在点满足题意；（3）（A题）；（B题）严格单调递减．解析：思路：（1）根据基本不等式即可证明；（2）求导后得到，从而得到，再验证垂直即可；（3）（A题）求导后分和讨论即可；（B题）首先证明存在，使得，再证明即可.（1）略（2），则,因为，均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，，故在点处的切线方程为．而，故，故直线与在点处的切线垂直．则存在一个点，它是在的“亲密点”，且直线与在点处的切线垂直.（3）（A题）根据“亲密点”定义，对于，，有：，求导得：当时：只有一个极值点，