安徽省六安市六安第一中学2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知随机事件A与B互斥，且，，则（

）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.92.已知复数满足，则为（

）A. B.2 C.1 D.i3.已知在空间四边形中，，则（）A. B. C. D.4.班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（）A. B. C. D.5.已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.6.在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（

）．A.直线与直线相交 B.直线与直线垂直C.直线与直线平行 D.直线平面7.为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（）A.这400名学生中，高一人数比高二人数多40B.成绩前200名的高一学生有90人C.成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64D.成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多8.已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9.下列说法正确的是（

）A.数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的中位数是19B.一组样本数据的方差,则这组样本数据的总和为60C.若样本数据的方差为8，则数据的方差为D.若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（

）A.与互为对立 B.与互斥C.与相互独立 D.11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.如图是一个圆柱容球，，为圆柱下、上底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（）A.球与圆柱的表面积之比为B.平面截得球的截面面积最小值为C.四面体的体积的取值范围为D.若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，且，则________________．13.棱长为1的正四面体外接球的体积为______.14.已知随机事件满足，则下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.如图，在空间四边形OABC中，已知，，，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，．（1）试用向量表示向量；（2）求的值．16.在中，角，，所对的边分别为，已知，．（1）求的值；（2）若，求边上的高．17.如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点．（1）证明：平面（2）求二面角的正弦值．18.某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？（3）现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率．19.南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为．（1）求图中四分之一圆柱体的体积；（2）四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点在棱上，设，过点作一个与正方体底面平行的平面；（i）求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；（ii）如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积．

数学满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知随机事件A与B互斥，且，，则（

）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.9答案：D解析：解答过程：因为随机事件A与B互斥，且，，所以.2.已知复数满足，则为（

）A. B.2 C.1 D.i答案：C解析：解答过程：，所以3.已知在空间四边形中，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.解答过程：因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.故选：A.4.班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出样本空间的样本数和恰好2人都是男生的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解.解答过程：由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生，记这3人为，其余2人为，从5人中选取人有：，共有10种情况，恰好2人都是男生有，共3种情况，所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为.故选：A.5.已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：依次判断各选项的向量，与，不共面即可.解答过程：对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足.对于B，由于，，，共面，不满足；对于C，由于，，，共面，不满足；对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足；故能与，构成空间的一个基底的只有．故选：A6.在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（

）．A.直线与直线相交 B.直线与直线垂直C.直线与直线平行 D.直线平面答案：B解析：思路：根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题.解答过程：A：连接，则，直线平面，又平面，且平面，且，所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确；

B：连接；由正方体的性质可知，又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确；C：以为原点，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则所以，不存在实数使，故直线与直线不平行，故本选项不正确；

D：因为，，所以，所以直线与平面内的直线不垂直，所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确.7.为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（）A.这400名学生中，高一人数比高二人数多40B.成绩前200名的高一学生有90人C.成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64D.成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多答案：D解析：思路：根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项．解答过程：由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确；由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确；成绩前100名的学生中，高一人数为人，故高三人数不超过人，C选项正确；成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人，故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误，故选：D8.已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由两两相互独立得到，设，则，解得，又考虑，解得，综上得．方法提示：利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9.下列说法正确的是（

）A.数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的中位数是19B.一组样本数据的方差,则这组样本数据的总和为60C.若样本数据的方差为8，则数据的方差为D.若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大答案：BC解析：思路：根据中位数的定义，平均数和方差的运算公式和性质逐一判断即可.解答过程：A：因为数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30是从小到大排列，且一共有个，所以该组数据的中位数是，因此本选项说法不正确；B：因为一组样本数据的方差，所以该组数据的平均数为，且这组数据一共有个，所以这组样本数据的总和为，因此本选项说法正确；C：因为样本数据的方差为8，所以数据的方差为，因此本选项说法正确；D：因为一个样本容量为8的样本，所以设这8个数据为，因为该样本的平均数是5，方差为2，所以，，现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数为，方差为，所以样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变小，因此本选项说法不正确.10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（

）A.与互为对立 B.与互斥C.与相互独立 D.答案：ACD解析：思路：根据对立事件、互斥事件、独立事件的定义，结合古典概型运算公式逐一判断即可.解答过程：设2个白球为，，2个黑球为，，则样本空间为：，共12个基本事件.事件，共4个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共8个基本事件，A：因为，，所以事件A与D互为对立，所以本选项说法正确；B：因为，所以事件B与C不互斥，因此本选项说法不正确；C：因为，，，则，所以事件A与B相互独立，因此本选项说法正确；D：因为，所以本选项说法正确.11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.如图是一个圆柱容球，，为圆柱下、上底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（）A.球与圆柱的表面积之比为B.平面截得球的截面面积最小值为C.四面体的体积的取值范围为D.若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为答案：ABD解析：解答过程：对于A，由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球的表面积为，圆柱的表面积为，所以球与圆柱的表面积之比为，故A正确；对于B，矩形所在截面如图所示，过点作于点，则由题可得，设点到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，则，，所以平面截得球的截面面积最小值为，故B正确；对于C，由题可知四面体的体积等于，点E到平面的距离，又，所以，故C错误；对于D，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的投影为，则，，，，设，则，，所以，所以.故D正确.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，且，则________________．答案：1解析：解答过程：因为，所以.13.棱长为1的正四面体外接球的体积为______.答案：解析：思路：首先利用正三棱锥和球的关系，利用勾股定理的应用求出外接球的半径，进一步利用体积公式的应用求出球的体积．解答过程：解：设正四面体，棱长为1，如图所示：设外接球的球心为，半径为，所以，由于，所以，在中，利用勾股定理：，即：，解得，所以．故答案为：．方法提示：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14.已知随机事件满足，则下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．答案：①②④解析：思路：利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断．解答过程：对于①，，，又，所以，故，①正确；对于②③④，，结合，可得，而，所以，②正确，③错误，④正确．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.如图，在空间四边形OABC中，已知，，，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，．（1）试用向量表示向量；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由几何体结构结合向量运算法则直接进行运算即可；（2）由（1），两边平方，结合向量的数量积运算即可求解.（1）由题可得，向量；（2）因为，两边平方得，.所以.16.在中，角，，所对的边分别为，已知，．（1）求的值；（2）若，求边上的高．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理结合已知条件得出，进而利用余弦定理求解；（2）结合已知条件求出，利用的范围求出，进而求出边上的高．（1）设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，已知，则，由余弦定理得．（2）由（1）知，若，则，因为，且，故，故边上的高为．17.如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点．（1）证明：平面（2）求二面角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）连接，则由等腰三角形的性质可得，再由圆的性质结合三角形中位线定理得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由（1）可得为二面角的平面角，可证得，然后在中求解即可（1）证明：连接，则，因为点D为AC的中点，所以，因为为的直径，所以，所以，因为为的中点，D为AC的中点，所以‖，，所以，因为，平面，所以平面，（2）由（1）知，，所以为二面角的平面角，因为平面，平面，所以，因为，，，所以，所以，所以在中，,所以二面角的正弦值为18.某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？（3）现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率．答案：（1）（2）（3）．解析：思路：（1）利用频率直方图的性质即可求出；（2）找出排名前的同学的成绩所在区间，通过比例计算该区间内的具体偏移量，最终求解最低入围成绩；（3）先拆分事件，再分步计算子事件概率，最后合并子事件概率求解．（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，，解得.（2）的频率为，的频率和为，故排名前的同学的成绩位于内，且设为，则，解得，进入决赛的同学成绩应不低于分．（3）甲乙两人共计答对三道题目的情况有：甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题，设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件，，，两人各道题答对与否互不影响，则．甲、乙两人共计答对三道题目的概率为．19.南北朝时期的伟大科学家祖暅，于