安徽省宿州市萧县部分校2025~2026学年高二下册7月期末数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则=（）A.0 B.1 C.2 D.32.在等差数列中，，，则（）A.20 B.21 C.22 D.233.若随机变量X服从两点分布，且，则（）A.0.4 B.0.6 C.0.24 D.0.364.在的展开式中，的系数为（）A.15 B.18 C.20 D.305.已知随机变量，若，则下列概率值最大的是（）A. B. C. D.6.已知是函数的极值点，则（）A.的极小值为 B.的极大值为C.的极小值为 D.的极大值为7.已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（）A.7 B.8 C.9 D.108.已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（）A.0 B.1 C.2 D.e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司统计了最近5个月的广告投入与销售额的数据，如下表所示：广告投入（万元）23456销售额（万元）35689若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（）A.变量与正相关B.C.预测当广告投入为7万元时，销售额为10.7万元D.当时，残差为010.已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，是公比为的等比数列，且，则下列说法正确的是（）A.B.数列的前项和为C.对任意的，都有D.存在，使得11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.至少有2个零点B.若，则的解集为C.，使得在上有极值点D.在上恒有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，，则________．13.用数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________．14.为对学生进行安全教育，某校要调查学生是否闯过红灯，为防止学生有所顾忌而不如实作答，设计如下调查方案：每名学生均从一个装有2个红球、4个黄球的盒子中一次性任取2个球，至少取到1个红球的学生回答问题一“你是否闯过红灯？”，未取到红球的学生回答问题二“你出生的月份是否是4的倍数？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，且回答的是哪个问题其他人不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生会如实作答．已知某校1000名学生参加了该调查，且有300人回答的结果为“是”，则从该校随机选择1名学生，估计其闯过红灯的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为检测一款流感疫苗的效果，随机选了180人进行对比实验，给部分人接种流感疫苗，然后调查他们所有人在某个流感暴发季内是否患流感，得到如下列联表：患流感未患流感接种流感疫苗2070未接种流感疫苗6030（1）记未接种流感疫苗的人患流感的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析该流感疫苗能否降低流感的患病率．附：．0.010.0050.001k6.6357.87910.82816.已知函数．（1）求的最小值；（2）若，证明：当时，．17.已知正项数列的前n项和为，，，，且为等比数列．（1）求；（2）求的通项公式；（3）求数列的前n项和．18.为了解某河流的水质情况，从该河流随机采集了16份河水样本，假设其中只有2份重金属超标（简称“超标”）．（1）从这16份水样中随机抽取2份，求其中至少有1份超标的概率．（2）为了高效检测水质，将这16份水样随机分成4组，每组4份，先将同组的4份水样各抽取一部分混合到一起进行1次检测，如果检测结果为合格，说明该组的4份水样均不超标，该组检测结束，如果检测结果为不合格，说明该组的4份水样中有超标的，此时需对该组的每份水样再进行1次检测，得到每份水样的检测结果，该组检测结束．（ⅰ）求2份超标水样分在同一组的概率；（ⅱ）设4组水样均检测结束所需的检测次数为，求的分布列与数学期望．19.已知函数，且．（1）若直线与曲线相切，求m的值；（2）讨论的单调性；（3）当时，设，且，证明：．附：当且时，．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则=（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：思路：先利用基本初等函数的导数公式和导数加法运算法则求出导函数，再代入计算即可；解答过程：求导得，将代入导函数，得.2.在等差数列中，，，则（）A.20 B.21 C.22 D.23答案：D解析：思路：先利用等差数列通项公式结合已知条件求出公差，再代入公式计算的值.解答过程：由题知

，即，解得，所以.3.若随机变量X服从两点分布，且，则（）A.0.4 B.0.6 C.0.24 D.0.36答案：A解析：解答过程：已知，故，计算期望：4.在的展开式中，的系数为（）A.15 B.18 C.20 D.30答案：C解析：思路：利用二项展开式的通项公式即可求解.解答过程：由题意通项公式为：

，令，解得，故的系数为.5.已知随机变量，若，则下列概率值最大的是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以，，，.故最大.6.已知是函数的极值点，则（）A.的极小值为 B.的极大值为C.的极小值为 D.的极大值为答案：B解析：思路：根据函数的极值点为求出参数的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极值即可．解答过程：∵，∴，∵是函数的极值点，∴，解得，∴，∴当时，单调递增；当时，单调递减；∴当时，有极大值，且极大值为，无极小值.7.已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：D解析：思路：由等比数列的性质求解，再进行讨论的取值，由数列的单调性即可求解.解答过程：因为为等比数列，由等比数列的性质可得，由，两式联立可得或，若，，则，，可得，则，且，当时，，递增；当时，，递减，令，即，解得，即时，，时，，因此的最大值为，对应；若，，同理可得，即，数列是严格递增的正项等比数列，所有项均大于1，因此前项积随增大持续递增，不存在最大值，故没有满足条件的.8.已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（）A.0 B.1 C.2 D.e答案：B解析：思路：设在处的切线和在处的切线均为，利用导数的几何意义可得，构造函数，利用导数研究单调性，计算可判断，，根据，结合其单调性可得，进而计算可求.解答过程：设在处的切线为，由，得，所以，所以在处的切线方程为，整理得；设在处的切线为，由，得，所以，所以在处的切线方程为，整理得，由题意得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，当时，，当时，，当时，，由，所以，，由，可得，所以，又，所以，解得，所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司统计了最近5个月的广告投入与销售额的数据，如下表所示：广告投入（万元）23456销售额（万元）35689若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（）A.变量与正相关B.C.预测当广告投入为7万元时，销售额为10.7万元D.当时，残差为0答案：ABC解析：解答过程：从表格可知，随的增大而增大，故变量与正相关.故A正确；因为，，所以，故B正确；当时，（万元），故C正确；当时，，残差为，故D错误.10.已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，是公比为的等比数列，且，则下列说法正确的是（）A.B.数列的前项和为C.对任意的，都有D.存在，使得答案：CD解析：解答过程：设数列的公差为，因为，，成等比数列，，所以，即，得，则，故A错误；因为，所以，设数列的前项和为为，则，则，则，则，则数列的前项和为，故B错误；因为，，，，令，且，则，故当且，，单调递增，此时，即，即，故对任意的，都有，故C正确；假设存在，使得，则，因为函数是增函数，且，所以存在唯一，使得，故D正确.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.至少有2个零点B.若，则的解集为C.，使得在上有极值点D.在上恒有最大值答案：ABD解析：思路：对A：计算可知与必为零点；对B：分或、、与讨论即可得；对C：求导后，结合，，可得，即可得解；对D：计算可得当或时，，当时，，即可得解.解答过程：对A：令，则或或，当或时，有个零点，当且时，有个零点，故A正确；对B：若，则，当或时，；当时，、，则；当时，、，则；当时，、，则；综上可得，的解集为，故B正确；对C：，若，，则，，，故，即在上单调递增，故在上无极值点，故C错误；对D：由，故当时，，，故；当时，，，故；当时，，，故，又在上连续，故必定存在，使得，故在上恒有最大值，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，，则________．答案：解析：思路：通过计算数列确定其周期性，再利用周期性质计算的值.解答过程：由题意，，，根据递推公式，所以，，即，，因此数列是周期为的周期数列.又因为，故.13.用数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________．答案：解析：思路：根据偶数的个位特征分个位为和个位为两类，结合分类加法计数原理与排列组合公式计算总数可得.解答过程：因为组成无重复数字的四位偶数，个位只能为或，分两类讨论：①当个位数字为时，千位、百位、十位可从剩余的共个数字中任选个无重复排列，共有个符合条件的四位数；②当个位数字为时，千位不能为，需从中选个，有种选法，剩余百位、十位从除千位已选数字和个位的之外的个数字中任选个无重复排列，有种选法，该类共有个符合条件的四位数.根据分类加法计数原理，符合条件的偶数总个数为.14.为对学生进行安全教育，某校要调查学生是否闯过红灯，为防止学生有所顾忌而不如实作答，设计如下调查方案：每名学生均从一个装有2个红球、4个黄球的盒子中一次性任取2个球，至少取到1个红球的学生回答问题一“你是否闯过红灯？”，未取到红球的学生回答问题二“你出生的月份是否是4的倍数？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，且回答的是哪个问题其他人不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生会如实作答．已知某校1000名学生参加了该调查，且有300人回答的结果为“是”，则从该校随机选择1名学生，估计其闯过红灯的概率为________．答案：解析：思路：先计算取球对应回答不同问题的概率，再结合回答问题二答“是”的概率求出对应人数，用总答“是”人数减去该部分得到回答问题一答“是”的人数，最终求出所求概率.解答过程：从6个球中任取2个，总取法为种；未取到红球（即2个均为黄球）的取法为种，因此未取到红球的概率为，至少取到1个红球的概率为，则1000名学生中，回答问题一的人数约为，回答问题二的人数约为，出生月份为4的倍数的月份共3个，故回答问题二答“是”的概率为，因此该部分答“是”的人数约为，又总答“是”的人数为300，因此回答问题一答“是”的人数约为，故估计该校学生闯过红灯的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为检测一款流感疫苗的效果，随机选了180人进行对比实验，给部分人接种流感疫苗，然后调查他们所有人在某个流感暴发季内是否患流感，得到如下列联表：患流感未患流感接种流感疫苗2070未接种流感疫苗6030（1）记未接种流感疫苗的人患流感的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析该流感疫苗能否降低流感的患病率．附：．0.010.0050.001k6.6357.87910.828答案：（1）（2）依据小概率值的独立性检验，可认为该流感疫苗能降低流感的患病率.解析：思路：（1）用频率估计概率，计算即可；（2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可.（1）由列联表知，未接种流感疫苗的有人，未接种流感疫苗且患流感的有人，所以未接种流感疫苗的人患流感的频率为，所以未接种流感疫苗的人患流感的概率的估计值为；（2）零假设为：该流感疫苗不能降低流感的患病率，由列联表得到，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该流感疫苗能降低流感的患病率，该推断犯错误的概率不超过，所以根据小概率值的独立性检验，可认为该流感疫苗能降低流感的患病率.16.已知函数．（1）求的最小值；（2）若，证明：当时，．答案：（1）（2）令，则，则，由（1）可知，则在上单调递增，则，则在上单调递增，则，则，若，，则，得证.解析：思路：（1）根据单调性求最值；（2）令，求证，再放缩即可.（1），则当时；当时；则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为；（2）略17.已知正项数列的前n项和为，，，，且为等比数列．（1）求；（2）求的通项公式；（3）求数列的前n项和．答案：（1）（2）()（3）()解析：思路：（1）利用等比数列的通项公式求解.（2）利用累加法求解.（3）利用错位相减法求解.（1）正项数列中，因为，，所以，因为数列为等比数列，设其公比为，所以，当时，，当时，，将上述两式左右两边分别相加可得，因为，，所以，解得，即，即，解得或，当时，，因为，所以，解得，因为数列是正项数列，即任意，都有，则不符合题意，则，因为，，所以，所以.（2）由（1）可知，等比数列的通项为，当时,，，，，将以上个等式左右分别累加，得到，解得，因为，所以，当时，，与题干已知条件一致，公式对同样成立，因此数列通项公式为.（3）设，因为，所以，①，②，①减去②得到，，，，，.18.为了解某河流的水质情况，从该河流随机采集了16份河水样本，假设其中只有2份重金属超标（简称“超标”）．（1）从这16份水样中随机抽取2份，求其中至少有1份超标的概率．（2）为了高效检测水质，将这16份水样随机分成4组，每组4份，先将同组的4份水样各抽取一部分混合到一起进行1次检测，如果检测结果为合格，说明该组的4份水样均不超标，该组检测结束，如果检测结果为不合格，说明该组的4份水样中有超标的，此时需对该组的每份水样再进行1次检测，得到每份水样的检测结果，该组检测结束．（ⅰ）求2份超标水样分在同一组的概率；（ⅱ）设4组水样均检测结束所需的检测次数为，求的分布列与数学期望．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列为：解析：思路：（1）借助组合数公式计算即可得；（2）（ⅰ）个位置中份超标水样可能的位置数有种，再求出份超标水样落在同一组的可能种数，即可得其概率；（ⅱ）得到的可能取值及其对应概率后即可得其分布列，即可得其期望.（1）；（2）（ⅰ）将个位置分成组，每组个位置，份超