福建省福州市六校2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学（满分：150分，完卷时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.某校义工社团共有80人，其中男生50人．若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取24人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（）A.3 B.5 C.6 D.92.已知向量，，若，则（）A. B.C. D.3.若，则为整数的概率为（）A. B. C. D.4.已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（）A.若，则与相互对立B.若，则C.若事件与相互独立，则D.若事件与相互独立，则5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.6.设，为单位向量，在上的投影向量为，则（）A. B.C. D.7.在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为63，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8.《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（）A. B.C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，4，5，6，7，8的第75百分位数为6B.若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为C.，，，和，，，的方差分别为和，若，则D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为2410.已知，下列说法中正确的有（）A.若，则或B.若，则C.若，则D.若，则11.正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.直线与直线所成的角为C.在点运动过程中，有D.当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号）13.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．14.已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．16.在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求:（1）若，求．（2）若为角平分线，求的取值范围．17.某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量-标准质量，单位：mg）的样本数据统计如下.（1）求的值：（2）公可从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品.其中，分别为样本平均数和样本标准差.（i）根据计算可得，若产品的质量差为38mg，试判断该产品是否属于一等品，并说明理由；（ⅱ）若公司包装时要求，4件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率.18.已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.（1）求的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.（1）求证：平面平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当时，求二面角的正切值的取值范围.

数学（满分：150分，完卷时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.某校义工社团共有80人，其中男生50人．若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取24人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（）A.3 B.5 C.6 D.9答案：D解析：解答过程：依题意，义工社团女生总人数为人，由分层抽样等比例抽取的规则，女生应抽取的人数为.2.已知向量，，若，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由空间向量平行的坐标表示求解.解答过程：向量，，由，得，解得，，所以.故选：D.3.若，则为整数的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：使用列举法求出样本空间，列举出满足条件的样本点，然后可得概率.解答过程：从中任取两个数的样本空间为：，共25个.使为整数的样本点有，共8个.所以为整数的概率为.故选：C4.已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（）A.若，则与相互对立B.若，则C.若事件与相互独立，则D.若事件与相互独立，则答案：D解析：思路：利用对立事件的定义、事件包含关系的概率性质、独立事件的概率运算规则即可.解答过程：.对于选项A，对立事件需同时满足两个条件：①与互斥；②.所以只有不能判定是否对立，故A错误；对于选项B，因为，所以，故B错误；对于选项C，因为事件与相互独立，所以，故C错误；对于选项D，因为事件与相互独立，则事件与相互独立.又，所以，故D正确.5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数解答过程：根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论:由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值，直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则，又数据分布图右拖尾，则平均数大于中位数，即，因此有.故选：D.6.设，为单位向量，在上的投影向量为，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由投影向量得到方程，求出，进而求出模长.解答过程：由题意得，又，为单位向量，故，.7.在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为63，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：通过平移得到为异面直线与所成角或补角，利用正四棱台的体积求出高，进而求得，通过求出的三边长，借助于勾股定理即可求得.解答过程：如图设正四棱台的上下底面的中心分别为点,连接,则易得,正四棱台的体积为,解得，在直角梯形中，，过点作交于点，则为异面直线与所成角或补角.易得，在等腰梯形中，，在中，由余弦定理，，在中，,因,则，故异面直线与所成角的余弦值为0.8.《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：确定鳖臑外接球球心，可求外接球半径，利用体积可求内切球半径，再求两半径之比.解答过程：如图，取的中点为，因为，，所以点到的距离相等，即为鳖臑外接球的球心.设外接球半径为，则.设鳖臑内切球半径为，则.因为，，所以.

所以.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，4，5，6，7，8的第75百分位数为6B.若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为C.，，，和，，，的方差分别为和，若，则D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为24答案：BC解析：思路：应用百分位数定义计算判断A，应用极差定义判断B，应用方差性质计算判断C，应用分层抽样方差公式计算求解判断D.解答过程：A选项：，第75百分位数为第6、7个数据的平均值，即，A错误；B选项：除外数据的最小值为3、最大值为8，极差为5，故，B正确；C选项：由方差性质，当时，，C正确；D选项：总平均分为，总方差为，D错误10.已知，下列说法中正确的有（）A.若，则或B.若，则C.若，则D.若，则答案：ACD解析：思路：利用复数的基本性质，结合复数代数形式运算、复数模的性质、共轭复数的性质即可.解答过程：设.对于选项A，，则，所以，即，所以或，故A正确；对于选项B，当时，，则，故B错误；对于选项C，因为，所以，即，又，所以，故C正确；对于选项D，，由得，所以，即，则所以，故D正确.11.正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.直线与直线所成的角为C.在点运动过程中，有D.当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为答案：ACD解析：思路：根据面面平行结合等体积计算判定A；直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，再计算的余弦值可判断B；通过证明平面，即可判断C；不妨设为上靠近的一个三等分点，设平面与，的交点分别为，，根据面面平行的性质得到四边形为平行四边形，再利用余弦定理及面积公式计算即可判断D，解答过程：对于A，如图，因为在正方体中，平面平面，且平面与平面的距离为正方体棱长，而，所以三棱锥的体积，为定值，因此A正确；对于B，，所以直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，由勾股定理得，，在三角形中，由余弦定理，，所以，B错误.对于C，如图，连接，，，，因为在正方体中，易知，，，平面，，∴平面，平面，∴，同理，，、平面，∴平面，而点为线段上一动点，所以平面，因此，所以C正确；对于D，不妨设为上靠近的一个三等分点，即，如图所示，设平面与，的交点分别为，，∵平面平面，∴，同理，∴平面截正方体所得的截面为平行四边形，∵，∴，∴，∴,由余弦定理的推论可求得，∴，∴，当为上靠近的一个三等分点，同理可求得截面面积为，因此D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号）答案：解析：思路：中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可.解答过程：因为，在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，，即纪念碑高为米.故答案为：.13.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．答案：##解析：思路：利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式,即可得出.解答过程：前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，设乙第二局当裁判的事件A1、乙第三局当裁判的事件A2，乙第二局当裁判的事件A3，它们互斥，乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则,乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则，乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则，所以故答案为：.14.已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______．答案：解析：思路：利用极化恒等式得到，求出的最大值，代入取值即可解答过程：圆的半径为2，弦长，故，所以，故，取的中点，连接，如图所示：，，两式平方后相减可得，由于，故当取得最大值时，取得最大值，显然当三点共线且在线段上时，取得最大值，最大值为，此时.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．答案：（1）（2）由题知，则根据中位线性质，，又平面，平面，则平面由于，底面圆半径是，则，又，则，又，则为等边三角形，则，于是且，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根据面面平行的判定，于是平面平面，又，则平面，则平面解析：思路：（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.（2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得.（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故，底面周长为，则侧面积为：;（2）略16.在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求:（1）若，求．（2）若为角平分线，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：(1)根据余弦定理代入求解.(2)根据面积等于面积加上面积，用三角函数表示出来后即可求解.（1）根据余弦定理，，因为，，所以，解得.（2）设，由题意得，，，，因为，所以，，，因为，所以.又因为，所以，.17.某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差=生产的产品质量-标准质量，单位：mg）的样本数据统计如下.（1）求的值：（2）公可从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品.其中，分别为样本平均数和样本标准差.（i）根据计算可得，若产品的质量差为38mg，试判断该产品是否属于一等品，并说明理由；（ⅱ）若公司包装时要求，4件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率.答案：（1）（2）（i）该产品属于一等品，理由如下：由图可得，，所以一等品的质量差为，因为，所以该产品属于一等品；（ⅱ）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中的面积之和等于1进行求解；（2）（i）根据频率分布直方图求出平均数，即可判断；（ⅱ）利用古典概型的概率公式进行求解即可.（1）由图可知，，解得；（2）（i）略（ⅱ）设4件一等品为，2件二等品为1,2，则质检员从箱子中随机摸出2件产品的样本空间为共15个样本点，设“摸出的2件产品中至少有1件一等品”，则共14个样本点，所以.18.已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.（1）求的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）结