福建省泉州市泉州第五中学2025~2026学年高二下册单元测试六数学试卷【附解析】

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.已知定义在上的函数，，若，则一定有（）A. B.C. D.3.若，则（）A.1 B.-1 C.6078 D.-60784.已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（）A. B.是增函数C.的图象关于点中心对称 D.的图象关于轴对称5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，每次正面向上得分，反面向上得分，记总得分为，则（）A. B. C. D.6.已知，若恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.-27.若实数a，b，c，d满足，则恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.8.若，且不等式对任意的恒成立，则t的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.小杨正在安排五一五天假期（月日月日）的旅行计划，他决定在这天里每天去一个不同的景点（其中甲、乙、丙是五个不同景点中的三个），则下列说法正确的是（）A.若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有种B.若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有种C.若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有种D.若月日不去甲景点，月日不去乙景点，则不同的安排方法共有种10.杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（）A.第2026行的第1013个数和第1015个数相等B.从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330C.记杨辉三角中第行的第个数为，则D.第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.若的图象在点处的切线方程为，则B.当时，在上单调递增C.当时，若有两个零点，且，则D.若，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式的展开式中常数项为第__________项．13.若函数的减区间为，则函数的值域为______．14.已知盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个红球，盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个白球，甲、乙两人分别从盒和盒中任意抽取小球，抽取的小球个数不限，且每人至少抽取一个，且两人的抽取结果相互独立，设为两人抽取的编号相同的小球个数，则的数学期望__________．四、解答题：本大题共6小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.16.已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，若，使得，求的取值范围．17.某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查．（1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联．维保未维保合计故障1240未故障合计120200（2）对过去的投放量x（单位：百辆）与服务次数y（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格：x1234567y51332792005011259拟用函数模型或（，）对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程．参考公式：，其中，b=i=1nxi参考数据：，298.41.91326264.4218.某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立．（1）求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望；（2）在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为．（i）求（）的值；（ii）求的最大值．19.已知函数，．（1）判断函数的单调性．（2）若方程有两个根．①求实数的取值范围；②证明：．

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据导数的运算法则求出，再将代入，进而即可求出．解答过程：因为，则，所以，解得．2.已知定义在上的函数，，若，则一定有（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：构造函数，求导确定单调性，即可求解解答过程：设

，对求导得：，因为

，得

，因此

是定义在R上的单调递减函数，又

，得

，代入即得

.3.若，则（）A.1 B.-1 C.6078 D.-6078答案：D解析：思路：先求导，再令即可求解.解答过程：由，两边同时求导得，令，则.4.已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（）A. B.是增函数C.的图象关于点中心对称 D.的图象关于轴对称答案：C解析：思路：由随机变量，得到正态分布曲线关于对称，根据正态分布的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解.解答过程：对于A，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，根据正态分布曲线的性质，可得，所以A不正确；对于B，根据正态分布曲线的性质，当增大时，逐渐减小，所以函数为单调递减函数，所以B错误；对于C，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，所以，则，所以的图象关于点中心对称，所以C正确；对于D，由选项B知：函数为单调递减函数，所以的图象不关于对称，所以D错误.5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，每次正面向上得分，反面向上得分，记总得分为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设正面向上的次数为，则，可得，利用二项分布的期望和公式求出、的值，再利用期望和方差的性质逐项判断即可.解答过程：设正面向上的次数为，则，所以反面向上的次数为，由题意可得，由二项分布的期望和方差公式可得，，由期望和方差的性质可得，，ABC错，D对.6.已知，若恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.-2答案：B解析：思路：分析函数小于等于零恒成立，只有当时满足题意，再由的单调性求最小值即可得解.解答过程：恒成立，，当时，要使恒成立，需恒成立，显然不对（因为），故，要使恒成立，只需零点相同，即，此时，令，由时，，时，，知在上单调递减､单调递增，故，即.故选：B.7.若实数a，b，c，d满足，则恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：可转化为求动点与动点之间距离的最小值，结合与的图象，即可利用切线以及点到直线距离可得答案．解答过程：因为，所以，，则，.设，，设，则的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，将直线平移到与曲线相切时，切点到直线的距离最小．而，令，则，可得，此时点到直线的距离为，故，所以，故．8.若，且不等式对任意的恒成立，则t的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，即，.设，则，当时，，所以在上单调递增.由，得，因为，所以，即对任意的恒成立.设，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.小杨正在安排五一五天假期（月日月日）的旅行计划，他决定在这天里每天去一个不同的景点（其中甲、乙、丙是五个不同景点中的三个），则下列说法正确的是（）A.若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有种B.若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有种C.若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有种D.若月日不去甲景点，月日不去乙景点，则不同的安排方法共有种答案：BD解析：思路：利用捆绑法可判断A选项；利用插空法可判断B选项；利用倍缩法可判断C选项；记事件月日去甲景点，记事件月日去乙景点，则不同的排法种数为，结合韦恩图可判断D选项.解答过程：对于A选项，将甲、乙两景点捆绑，形成一个大元素，与其余三个景点进行排序，所以不同的安排方法种数为种，故A错误；对于B选项，先将除甲、乙两景点以外的三个景点进行排序，再将甲、乙两景点插入其余三个元素中形成的个空位中的个，由插空法可知，不同的安排方法种数为，故B正确；对于C选项，若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），由倍缩法可知，不同的排法种数为，故C错误；对于D选项，记事件月日去甲景点，记事件月日去乙景点，如下图所示：则月日去甲景点，且月日去乙景点，则，，所以，不同的排法种数为种，故D正确.10.杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（）A.第2026行的第1013个数和第1015个数相等B.从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330C.记杨辉三角中第行的第个数为，则D.第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字答案：ACD解析：思路：根据题意结合组合数性质判断AB；构造，利用赋值法判断C；根据，结合二项式定理分析判断D.解答过程：对于选项A：第2026行的第1013个数和第1015个数分别为，，由组合数性质可得，所以第2026行的第1013个数和第1015个数相等，故A正确；对于选项B：因为，所以从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1540，故B错误；对于选项C：因为杨辉三角中第行的第个数为，则，又因为，令，可得，所以，故C正确；对于选项D：第行所有数字的平方和，第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，又因为，且展开式中项的系数为，因此，D正确.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.若的图象在点处的切线方程为，则B.当时，在上单调递增C.当时，若有两个零点，且，则D.若，则答案：ABD解析：解答过程：函数的定义域为，且，设，对于A，若的图象在点处的切线方程为，则该切线经过点，且斜率为0，所以由，得解得．再由，得将代入，得，所以，故A正确．对于B，当时，.设，，又，所以在上单调递增，从而在上也单调递增．当时，，因此当时，恒有，故在上单调递增，B正确．对于C，当时，，定义域为，且.设，，则，则在上单调递增．又，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．下面说明C中的结论不恒成立．取，则且当从右侧趋近于时，，所以，当，，所以．结合在上单调递减，在上单调递增，可知此时有两个零点，且于是这与矛盾，所以C错误．对于D，因为，所以在定义域上单调递增．若，设在处取得最小值，则由，得即，所以由，得，因为，所以，从而.因此，令，构造函数，则，设，所以在上单调递增．又，所以在时取得最小值．于是，即故，D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式的展开式中常数项为第__________项．答案：解析：思路：利用二项式展开式的通项公式，令的指数为0求出r，即可得到常数项对应的项数.解答过程：展开式的第项为：，其中令，得到，故展开式中常数项为第项.13.若函数的减区间为，则函数的值域为______．答案：解析：思路：先根据函数的单调性确定的值，再分析函数的单调性求函数值域.解答过程：因为，，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，由.此时，.由；由.所以在上单调递减，在上单调递增，故满足题意.此时，所以函数的值域为.14.已知盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个红球，盒中装有大小相同的编号分别为1，2，3的3个白球，甲、乙两人分别从盒和盒中任意抽取小球，抽取的小球个数不限，且每人至少抽取一个，且两人的抽取结果相互独立，设为两人抽取的编号相同的小球个数，则的数学期望__________．答案：解析：思路：利用期望的线性性质和对称性，把复杂变量拆分为单个变量的期望之和，求出总的可能抽取种数及抽到特定编号的种数，进而求出概率，求出特定元素的期望，进而利用期望的对称性求解．解答过程：设为指示变量，甲、乙两人都取到编号为的球时，否则，则两人编号相同的小球个数，由期望的线性性质，，由题意知，，甲、乙各自从各自的集合中随机抽取一个非空子集，有种等可能结果，由于对称性，每个编号的概率相同，对固定编号，如时，甲抽到该编号的子集有，共个，甲抽到编号的概率为甲，同理，乙的概率也为乙，，．四、解答题：本大题共6小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，利用全概率公式可求得的值；（2）利用条件概率公式可求得的值.（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，则，且、、彼此互斥，由题意可得，，，，，，由全概率公式可得.（2）由条件概率公式可得.16.已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，若，使得，求的取值范围．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）解析：思路：（1）根据导函数，分、讨论函数的单调性；（2）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可．（1）依题意可得，当时，，此时在上单调递增；当时，由得，得，则在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由已知转化为，又时，，由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，则，解得，综上，的取值范围是．17.某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查．（1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联．维保未维保合计故障1240未故障合计120200（2）对过去的投放量x（单位：百辆）与服务次数y（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格：x1234567y51332792005011259拟用函数模型或（，）对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程．参考公式：，其中，b=i=1nxi参考数据：，298.41.91326264.42答案：（1）列联表如下：维保未维保合计故障122840未故障10852160合计12080200认为无人快递车故障与维保有关联（2）适宜，解析：思路：（1）先补全列联表，再通过计算统计量，依据显著性水平判断无人快递车故障与维保是否有关联；（2）通过数据特征判断指数型模型更适合拟合关系，再通过对数变换转化为线性形式，求出回归方程即可.（1）补充列联表如下：维保未维保合计故障122840未故障10852160合计12080200零假设：无人快递车故障与维保无关，因为，所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为无人快递车故障与维保有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型．由，两边同时取常用对数得，设，则，因为，，所以，把代入，即，得，所以．所以，则，故y关于x的回归方程为．18.某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立．（1）求甲在完成1次作答后所得分数的分布列与数学期望；（2）在比赛过程中，记甲累积分数达到（）分的概率为．（i）求（）的值；（ii）求的最大值．答案：（1）012．（2）（i）；（ii）．解析：思路：(1)求出对应取值的概率，列出分布列，再用数学期望公式求解；(2)（i）求出三者的关系式，从而解出比值；（ii）构造等比数列，求出的表达式，再求出其最大值.（1）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，所以，，，所以的分布列为0