甘肃省陇南市康县第一中学、康县第二中学、康县永兴中学2025~2026学年高二下册7月期末数学试卷【附解析】

甘肃陇南市康县第一中学、第二中学、永兴中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（

）A． B．C． D．3．一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A．1 B．-1 C．6078 D．-60785．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（

）A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数C．决定系数 D．残差平方和等于16．甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（

）A． B． C． D．7．已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（

）A．若，则事件与为对立事件B．若，则事件与为相互独立事件C．若，则D．若，则8．已知，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（

）A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项10．甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（

）A．5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法B．5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法C．5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法D．5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法11．已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（

）A． B．的最大值是C． D．若且，则三、填空题12．若，则________.13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.14．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______．四、解答题15．已知函数．(1)当时，比较与的大小；(2)讨论的单调性；(3)当时，证明．16．在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．(1)求中国队以的比分获胜的概率；(2)设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求；(3)假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．17．2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%．(1)求用户对S型新能源汽车的满意率；(2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率．18．为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.(1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；(2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望；(3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.参考数据：若，则，.19．已知函数，直线与曲线相切.(1)求的值；(2)若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值；(3)若，求证：对任意，有.《甘肃陇南市康县第一中学、第二中学、永兴中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CCADDCDBADABC题号11答案BD1．C解析：由题设，因为定义域为，不等式两边同乘，得到，令或.因为二次函数开口向上，所以的解为或.因为的定义域为，所以最后不等式的解集为.2．C解析：由题图可知，，则，即，所以A错误；根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误；由图可知，，所以C正确；由图可知，，所以D错误．3．A解析：由题意得，所以，即该质点在时的瞬时速度为．故选：A．4．D解析：由，两边同时求导得，令，则.5．D解析：直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确.因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B正确。决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误故选：D6．C解析：依题意，合格项目的个数，则，，由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分，因此，，则，又，所以当时，取得最大值.故选：C7．D解析：对于A：因为，由，只能得到，并不能得到事件与为对立事件，故A错误；对于B：因为，由，只能得到，并不能得到，从而不能得出事件与为相互独立事件，故B错误；对于C：由可得或，当时不能得出，故C错误；对于D：因为，又，所以，故D正确.故选：D.8．B解析：设，则，当时，，故在上单调递减，而，故，故选：B9．AD解析：A项，因为的展开式共有8项，所以．故所有项的二项式系数和为，故A正确；B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误；因为二项展开式的通项公式为：．.C项，当，设项系数最大，由，解得，则，且，第3项系数为.当时，，系数为1；当时，，系数为；由，故第3项的系数最大；故C错误；D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．故选：AD.10．ABC解析：选项A：把甲、乙看成一个整体与其余3人全排列，有种排法，甲、乙两人之间有种排法，所以共有种排法，A正确.选项B：先排丙、丁、戊有种排法，丙、丁、戊形成4个空，从4个空中选2个排甲、乙，有种排法，所以共有种排法，B正确.C选项：先从中间3个位置选一个给甲，有种方法，其余4人全排列，有种方法.根据分步乘法计数原理，共有种排法，C正确.D选项：甲、乙站前排有种排法，丙、丁、戊站后排有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种排法，D错误.故选：ABC11．BD解析：解：，当且仅当即，时取等号，故A错误；因为且，所以，设，，时，的解为，的解为，则在单调递增，单调递减，故最大值为，则的最大值是，故B正确；令，，则，，，所以在区间上单调递增，又，，即，即，，即，故C错误；由，，，，，，即，故D正确．12．7解析：因为，故，即，解得故答案为：13．解析：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.14．解析：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为，所以，，由得，即，解得或（舍），所以．15．(1)(2)时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减(3)证明：由（2）知，当时，在取得最大值，最大值为，所以等价于，即，设，则，当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，从而当时，，即．解析：（1）当时，，的定义域为，则，故当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减；又，故．（2）的定义域为，．若，则当时，，故在上单调递增，若，则当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减；（3）略16．(1)(2)(3)的分布列为：345解析：（1）设中国队以的比分获胜的事件为，则.（2）在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况：①中国队连胜3局，此时的概率为：；②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，此时概率为：；所以.（3）由题意知，则，，，所以的分布列为：345则.17．(1)0.7(2)0.4解析：（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，“月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”，“用户对S型新能源汽车满意”，则，，两两互斥，且，，，，，，由全概率公式得．（2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率，18．(1)(2)(3)解析：（1）由题意有，所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为；（2）由题意有，因为，即，所以，由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以，所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为；（3）由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和，按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份，令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间，所以，所以.所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.19．(1)(2)(3)由已知可得，则，令，则，所以在上单调递增，又函数在上单调递增且恒为正，所以在上单调递增且恒为正