广东省广州市荔湾区2025~2026学年高一下册高中学业综合素养练习A卷数学试卷【附解析】

数学满分150分，作答用时120分钟．1．作答前，学生务必在答题卡第1面和第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、教室号和座位号，用2B铅笔准确填涂试卷类型，再将条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A. B. C. D.2.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.3.某学校为深入落实“健康第一”教育理念，推进健康校园建设，在高一年级采用分层随机抽样，抽取男生30人和女生20人进行立定跳远测试（单位：cm）．已知男生样本均值为220，方差为900；女生样本均值为170，方差为400．则抽取的样本总方差为（）A.650 B.700 C.1300 D.14004.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.7.一个棱长为12的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为9，9，8．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（）（参考数据：，）A.0.63 B.1.42 C.2.74 D.3.688.已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.在复数范围内关于的方程有两个不同的根，分别记为，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.10.口袋中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球3个黑球．从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，则（）A. B.与互斥C. D.与相互独立11.正方体中，棱长为，记，与面的交点为，则下列说法正确的是（）A. B.与面所成角为C. D.四面体的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则向量的夹角的余弦值为__________．13.已知一组数据，，，，满足，则这组数据的方差为__________；记，则数据，，，，的标准差为__________．14.正边形内接于单位圆，任取它的两个不同的顶点，，若，则的最大值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）已知，，求的值．16.某校法治社团组织全体高一学生开展“感悟法治内涵，争做普法先锋”知识竞赛，引导学生研习法律知识，弘扬法治精神．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？（3）决赛晋级规则：选手连续作答法治知识题目，答错1题即终止答题，每人最多作答2题．设甲每题答对概率为，乙每题答对概率为，二人各题答题结果相互独立．求甲、乙两人答题总次数之和等于3的概率．17.将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中．（1）根据图象求参数，，的值；（2）当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）．（参考数据：，）18.我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，，分别为线段，的中点．（1）证明：平面平面；（2）记面与面的交线为，求二面角的平面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．19.在中，已知，的面积满足：．（1）求的大小；（2）如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记．（i）用含的式子分别表示与的面积；（ii）求三角形与四边形面积比值的最大值．

数学满分150分，作答用时120分钟．1．作答前，学生务必在答题卡第1面和第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、教室号和座位号，用2B铅笔准确填涂试卷类型，再将条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的定义，即可求解.解答过程：由复数，所以复数的虚部为.2.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据任意角三角函数的定义以及诱导公式计算即可.解答过程：.3.某学校为深入落实“健康第一”教育理念，推进健康校园建设，在高一年级采用分层随机抽样，抽取男生30人和女生20人进行立定跳远测试（单位：cm）．已知男生样本均值为220，方差为900；女生样本均值为170，方差为400．则抽取的样本总方差为（）A.650 B.700 C.1300 D.1400答案：C解析：解答过程：抽取的样本总平均数，所以抽取的样本总方差.4.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：D解析：解答过程：A项，若，，则或，故A错误；B项，由，，可知或，又，则可能平行、相交或异面，故B错误；C项，若，，则或，故C错误；D项，由，，可知，又，则，故D正确.5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：解一元二次不等式及指数不等式，再结合必要不充分条件定义判断.解答过程：“”，即得，解集为；“”，即得，解集为；是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件6.已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：令，由，得，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.7.一个棱长为12的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为9，9，8．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（）（参考数据：，）A.0.63 B.1.42 C.2.74 D.3.68答案：B解析：思路：设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为，由题意可得，计算正四面体的高，根据水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似，列式计算求解.解答过程：设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为，由题意可得，如图所示，正四面体高，水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似，则，即，所以.8.已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据奇偶函数的性质找到函数的周期，再根据求和的表达式找出数列的周期，从而求出数列前2026项的和.解答过程：设，因为是奇函数，所以，即，因为是偶函数，所以，即，令，则，所以，即，因此以4为周期，因为是奇函数，所以，即，因为，是偶函数，所以，因此，，，，设，则，，因为以4为周期，所以，即数列每8项重复一次，当时，前8项之和为，即每8项的和都是0，因为，所以前2024项正好是253个完整周期，和为0，剩下两项的和为，所以，故选项D正确.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.在复数范围内关于的方程有两个不同的根，分别记为，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：根据求根公式确定两根，再结合复数的四则运算和模长公式逐项判断即可.解答过程：解方程，配方得，因此两根为共轭虚根：，，选项A：，A正确，选项B：计算得，与不相等，B错误，选项C：共轭复数的模相等，计算得，，故，C正确，选项D：，因此，D错误.10.口袋中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球3个黑球．从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，则（）A. B.与互斥C. D.与相互独立答案：AC解析：思路：由古典概型概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的判定，先计算各基础事件概率，再逐一验证选项即可.解答过程：设2个白球为，3个黑球为不放回依次取2个球，共有：，共有个基本事件，事件A（两球同色）包含两白种、两黑种，共8种，故；事件B（第一次取白球）共种，故；事件C（第二次取白球）共种，故，选项A：根据概率加法公式，其中表示两球同色且第二次为白球，即两球均为白球，共2种，，代入得，A正确，选项B：互斥事件不能同时发生，当两次均取白球时，B、C同时发生，故B与C不互斥，B错误，选项C：表示两球不同色且第二次取白球，即第一次取黑球、第二次取白球，共种，故，C正确，选项D：相互独立事件满足，其中表示第一次取白球且两球同色，即两球均为白球，，而，故A与B不独立，D错误.11.正方体中，棱长为，记，与面的交点为，则下列说法正确的是（）A. B.与面所成角为C. D.四面体的体积为答案：ACD解析：思路：先利用正方体几何性质确定体对角线平面及交点的位置，并计算出、相关的关键线段长度；再逐项验证各选项，通过线面垂直判定、勾股定理、面积公式及等体积法分别判断角度，长度和体积的正误即可.解答过程：如图，作出符合题意的图形，连接，由题意得正方体​棱长为，且是正方形对角线与的交点，故是中点；设，则为与的中点.连接，，则，又，所以为等边三角形的中线的靠近的三等分点，即为等边三角形的重心，因为，面，，所以面，而面，则，同理可证，因为面，，所以平面，且，正三角形边长为，可得到顶点距离.选项A，因为，，且平面，故平面.又平面，因此，即，故A正确.选项B，因为为等边三角形的重心，所以直线为直线.又平面平面，且与所成角为，所以与平面所成角为，故B错误，选项C，因为平面，平面，所以，即是直角三角形，即.已知，由勾股定理得，

则，故C正确.选项D，因为平面平面，所以，故面积.因为，所以平面平面.连接交于点，.因为，所以.因为平面，所以.因为平面，所以平面.因此点C到平面距离为，因此体积，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则向量的夹角的余弦值为__________．答案：##解析：思路：根据题意，利用向量的数量积和向量的夹角公式的坐标运算法则，即可求解解答过程：由向量，，可得，且，所以向量和夹角的余弦值为.13.已知一组数据，，，，满足，则这组数据的方差为__________；记，则数据，，，，的标准差为__________．答案：①.②.解析：解答过程：数据，，，，的方差为；已知，则数据，，，，的标准差为.14.正边形内接于单位圆，任取它的两个不同的顶点，，若，则的最大值是__________．答案：解析：思路：先由的数量积得两向量夹角，再由圆内接正多边形的性质可得，从而可得所求值的最大值.解答过程：因为单位圆中都是单位向量，设两向量的圆心角为，所以，由条件，又因为两个不同的顶点，，所以，余弦函数在单调递减，且，所以.因为正边形相邻顶点对应的圆心角为​，设，则两顶点，的圆心角.所以，又为正整数，故的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）已知，，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）观察图象确定函数的最值，由此可求，观察函数的周期，结合周期公式求，由求，由此可得函数解析式；（2）由，结合特殊角三角函数值及正弦函数的图象与性质求，结合的范围确定其值，再求.（1）观察图象得函数的最大值为，最小值为，故，观察图象可得，又，所以，由，得，，又，得，所以；（2）因为，即，所以，或，所以，或，，又因为，所以，所以.16.某校法治社团组织全体高一学生开展“感悟法治内涵，争做普法先锋”知识竞赛，引导学生研习法律知识，弘扬法治精神．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按，，，，分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？（3）决赛晋级规则：选手连续作答法治知识题目，答错1题即终止答题，每人最多作答2题．设甲每题答对概率为，乙每题答对概率为，二人各题答题结果相互独立．求甲、乙两人答题总次数之和等于3的概率．答案：（1）（2）分（3）解析：思路：（1）利用频率分布直方图的性质即可求出；（2）找出排名前的同学的成绩所在区间，通过比例计算该区间内的具体偏移量，最终求解最低入围成绩；（3）先拆分事件，再分步计算子事件概率，最后合并子事件概率求解．（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，，解得.（2）的频率为，的频率和为，故排名前的同学的成绩位于内，且设为，则，解得，进入决赛的同学成绩应不低于分．（3）设甲答题次数为，乙答题次数为，由题意可得，设事件为甲、乙两人答题总次数之和等于3，由题意可得事件包含两种情况，情况一：甲答题1次、乙答题2次；情况二：甲答题2次、乙答题1次，所以，故甲、乙两人答题总次数之和等于3的概率为.17.将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中．（1）根据图象求参数，，的值；（2）当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）．（参考数据：，）答案：（1），，（2）小时解析：思路：（1）根据及待定系数法求解析式中的参数值；（2）应用分类讨论研究时对应的自变量范围，即可得.（1）由，由图象知，联立得，得，则，由，综上，；（2）由（1）知，当时，，则，所以，因此第一段满足条件的范围是，当时，，则，所以，因此第二段满足条件的范围是，综上，总有效时长为小时.18.我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，，分别为线段，的中点．（1）证明：平面平面；（2）记面与面的交线为，求二面角的平面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）因为底面，底面，故；又底面是正方形，故.由，，，平面，所以平面.又平面，所以.因为，是中点，所以；因为，，，平面，故平面.又因为平面，所以平面平面.（2）（3）解析：思路：（1）先由条件中的线面垂直及底面是正方形可得平面，再结合等腰三角形中线垂直底边可得平面，从而可得面面垂直；（2）先由线面平行的判定定理及性质定