广东省江门市2025~2026学年高二下册调研测试（二）数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，测试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.8 B.13 C.63 D.662.下列散点图中，两个变量的相关系数分别为，则最大的是（）A. B. C. D.3.已知，若，则（）A. B. C. D.4.的展开式中的第3项是（）A. B. C. D.5.为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取若干名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（）A. B.9.5 C. D.86.在等比数列中，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.87.为研究上学通勤用时情况，李明对乘坐公交车、骑自行车两种方式各开展50次用时统计．观测数据显示：乘坐公交车，平均用时30分钟，样本方差为25；骑自行车，平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：分钟）和骑自行车用时（单位：分钟）都服从正态分布，其中参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（）A. B.坐公交车的用时比骑自行车更稳定C. D.若某天通勤有36分钟可用，则优先选择乘坐公交车8.用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知某射手每次射击击中目标的概率均为0.6，共进行3次射击，记击中目标的次数为随机变量，则（）A. B.C. D.10.Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则（）A.函数是单调递减函数B.C.函数的图象关于点中心对称D.的最大值是11.已知函数的定义域为，且满足：，，记，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．13.从6件不同的礼物中选出4件分别送4位同学，每人1件，则不同方法的种数是___________．（用数字作答）14.2026年春晚的机器人舞蹈表演令人印象深刻．现有一机器人从坐标原点出发，每次等可能地向左、向右、向上、向下移动1个单位长度，总计移动3次．已知该机器人有且仅有一次途经（含到达）点，在此条件下，机器人全程仅在水平方向移动3次的概率是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某海水养殖基地进行某水产品的新、旧两种网箱养殖方法的产量对比，收获时分别从采用新、旧两种养殖方法的网箱中各随机抽取100个网箱，测量单个网箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示；（1）求新养殖法对应的频率直方图中的值；（2）根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．养殖法箱产量合计箱产量＜40kg箱产量旧养殖法

新养殖法

合计

附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816.已知数列为等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．17.已知函数在处有极小值．（1）求实数的值；（2）讨论函数在上的单调性．18.已知一个盒子中装有6个大小、质地完全相同的小球，小球编号依次为1，2，3，4，5，6．规定第一次由甲开始摸球，甲、乙两人按照以下规则轮流摸球：每次由当前摸球者从盒中随机摸出2个小球，摸完后立即将两球放回盒中；若摸出两球的编号之和为偶数，则该摸球者继续下一次摸球；若编号之和为奇数，则换另一人进行下一次摸球．（1）求第一次甲摸球，两球编号之和为偶数的概率；（2）在前3次摸球过程中，记乙摸球的次数为随机变量，求的分布列与数学期望；（3）求第次是甲摸球的概率．19.已知函数，直线是曲线在点处的切线，且直线与曲线相切．（1）求直线的方程；（2）求a；（3）若不等式对任意的恒成立，求的最大值．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，测试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.8 B.13 C.63 D.66答案：D解析：思路：根据排列数公式计算即可.解答过程：.故选：D.2.下列散点图中，两个变量的相关系数分别为，则最大的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据散点图的整体走向定正负以排除负相关，再根据散点分布的紧密程度定大小，从而选出最接近1的正相关系数.解答过程：易得图1和图3中的点呈正相关，即，图1中的点较集中在一条直线附近，线性相关性较强，即，图2图4中的点呈负相关，即皆负，无需考虑，所以最大.3.已知，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：对原函数求导后令导数值等于即可求解.解答过程：，若，解得.4.的展开式中的第3项是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由二项式定理将原式展开后即可求解.解答过程：由题意得，则第项时，即.5.为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取若干名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（）A. B.9.5 C. D.8答案：D解析：思路：将样本点的值代入回归方程求出预测值，再用观测值减去预测值即可.解答过程：代入得，则残差.6.在等比数列中，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：思路：由等比数列的通项公式逆向分解条件即可求解.解答过程：由题意得，即，即.7.为研究上学通勤用时情况，李明对乘坐公交车、骑自行车两种方式各开展50次用时统计．观测数据显示：乘坐公交车，平均用时30分钟，样本方差为25；骑自行车，平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：分钟）和骑自行车用时（单位：分钟）都服从正态分布，其中参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（）A. B.坐公交车的用时比骑自行车更稳定C. D.若某天通勤有36分钟可用，则优先选择乘坐公交车答案：D解析：思路：AC选项：利用正态曲线关于均值对称的性质，判断特定区间内的概率大小，B选项：通过比较两组数据的方差，直接评估变量的波动程度和稳定性，D选项：将两个参数不同的正态分布统一到标准正态分布的基准下即可求解.解答过程：由题意得服从，服从，对于A，因为，所以，即，故A错误，对于B，方差越小，数据越稳定，所以骑自行车的用时比坐公交车更稳定，故B错误，对于C，，所以，因此，故C错误，对于D，，，因为，所以，所以乘坐公交车在36分钟内到达的概率更大，故D正确.8.用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积的表达式，利用导数求出函数的最大值，得出结果.解答过程：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么，所以，可得，令，即，得；当时，；当时，；所以当时，取得极大值，并且这个极大值是最大值，把代入，得，所以

；因此圆锥形容器的容积最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知某射手每次射击击中目标的概率均为0.6，共进行3次射击，记击中目标的次数为随机变量，则（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：先判定随机变量服从二项分布，随后直接代入该分布的期望、方差性质以及概率计算公式对各选项进行逐一验证即可.解答过程：由题意得随机变量服从二项分布，故A正确，则，故B正确，，，故C错误，，故D错误.10.Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则（）A.函数是单调递减函数B.C.函数的图象关于点中心对称D.的最大值是答案：BC解析：思路：A选项：通过求导法则求出导函数，根据其恒大于零判定原函数实为单调递增；B选项：将原函数的解析式直接代入选项右侧的代数式中进行恒等化简，验证其结果是否与导函数一致；C选项：利用中心对称的判定条件，计算并验证是否恒成立；D选项：对导函数的解析式进行分子分母同除变形后，利用基本不等式求出分母的最小值，从而确定导函数的最大值.解答过程：由题意得恒成立，则是单调递增函数，故A错误；，故B正确；若函数图像关于点中心对称，则需满足，，其中，则，等式成立，所以函数的图像关于点中心对称，故C正确；，由于，则，当且仅当即时等号成立，因此，所以的最大值为，故D错误.11.已知函数的定义域为，且满足：，，记，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：先利用赋值法，可求与数列的通项公式，可判断A的真假；结合裂项求和法可判断B的真假；利用根式的变形可判断C的真假；先证，再结合累加法可判断D的真假.解答过程：因为，，令得：.令，，则，两边取倒数得：，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.所以.对A：因为，所以，故A正确；对B：因为，所以，故B错误；对C：因为，故C正确；对D：设，，则在上恒成立，所以在上单调递减.又，所以当时，都有.令，所以.所以，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________．答案：解析：思路：利用赋值法，分别令求出所有系数之和，令求出常数项，再将两者相减即可得到目标系数之和.解答过程：令，即，即，令，即，即，则.13.从6件不同的礼物中选出4件分别送4位同学，每人1件，则不同方法的种数是___________．（用数字作答）答案：360解析：思路：由于将不同的礼物分给不同的同学存在顺序区别，因此该问题本质上是从6个不同元素中选取4个的排列问题，直接计算即可解答过程：由题意得选择和分配是有顺序区别的，故不同方法的种数是.14.2026年春晚的机器人舞蹈表演令人印象深刻．现有一机器人从坐标原点出发，每次等可能地向左、向右、向上、向下移动1个单位长度，总计移动3次．已知该机器人有且仅有一次途经（含到达）点，在此条件下，机器人全程仅在水平方向移动3次的概率是___________．答案：解析：思路：设事件“有且仅有一次途经（含到达）点”，事件“仅在水平方向移动3次”，根据一步到位和三步到位分类讨论求解.解答过程：设事件“有且仅有一次途经（含到达）点”，事件“仅在水平方向移动3次”，按移动到点位置需要1步还是3步分类讨论，记向左，向右，向上，向下；若第1步到为事件，第2步有4种走法，第3步有3种走法，可以满足机器人有且仅有一次途经（含到达）点，即；若第3步到为事件，则移动3次满足要求的是，共5种走法，所以；因为，且互斥，所以；满足的情况有，共3种走法，所以；所以.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某海水养殖基地进行某水产品的新、旧两种网箱养殖方法的产量对比，收获时分别从采用新、旧两种养殖方法的网箱中各随机抽取100个网箱，测量单个网箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示；（1）求新养殖法对应的频率直方图中的值；（2）根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关．养殖法箱产量合计箱产量＜40kg箱产量旧养殖法

新养殖法

合计

附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）（2）箱产量与养殖方法有关养殖法箱产量合计箱产量＜40kg箱产量旧养殖法新养殖法合计解析：思路：（1）由频率分布直方图矩形面积和为1的性质即可求解，（2）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得，与附表数据比较即可得答案.（1），解得.（2）旧养殖法箱产量的概率为，对应的网箱数为，则箱产量的网箱数为，新养殖法箱产量的网箱数为，则箱产量的网箱数为，养殖法箱产量合计箱产量＜40kg箱产量旧养殖法新养殖法合计则，根据小概率值的独立性检验，我们有把握认为箱产量与养殖方法有关.16.已知数列为等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）已知数列为等差数列，直接用即可求出公差，进而可求得通项公式.（2）使用裂项相消法即可求得的前项和.（1），则公差，则.（2），则，即，则.17.已知函数在处有极小值．（1）求实数的值；（2）讨论函数在上的单调性．答案：（1）（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增解析：思路：（1）由题意可得，解方程可得，进而分类讨论可得实数的值；（2）令，求解可得或，分和两种情况讨论可求得函数在上的单调性．（1）由，得，因为函数在处有极小值，所以，整理得，解得.若，，当时，，当时，，所以为极大值点，不符合题意；若，，当时，，当时，，所以为极小值点，符合题意；综上所述：；（2）由（1）可得，令，解得或.若，两个零点均在内，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增；若，此时只有零点0在内，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.18.已知一个盒子中装有6个大小、质地完全相同的小球，小球编号依次为1，2，3，4，5，6．规定第一次由甲开始摸球，甲、乙两人按照以下规则轮流摸球：每次由当前摸球者从盒中随机摸出2个小球，摸完后立即将两球放回盒中；若摸出两球的编号之和为偶数，则该摸球者继续下一次摸球；若编号之和为奇数，则换另一人进行下一次摸球．（1）求第一次甲摸球，两球编号之和为偶数的概率；（2）在前3次摸球过程中，记乙摸球的次数为随机变量，求的分布列与数学期望；（3）求第次是甲摸球的概