广东省清远市2025~2026学年高一下册供题训练数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数是纯虚数，则（）A. B. C. D.2.下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形可以确定一个平面C.若两条直线没有公共点，则这两条直线平行D.若直线与平面平行，则该直线与平面内的无数条直线平行3.如图，已知水平放置的的斜二测直观图为，其中，，则的面积为（）A. B. C. D.4.如图，在中，D，E分别为，的中点，记，，则（）A. B. C. D.5.在中，，，则（）A. B. C. D.6.已知，，，且与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.7.如图，在一条水平的公路一侧选取两点、测量山高．在点时，测得山顶处的仰角为，在点时，测得山顶处的仰角为，若，，则山高为（）A. B. C. D.8.已知四面体，若点，，，到平面的距离，，，满足，则这样的平面的个数为（）A.1 B.4 C.6 D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.B.在复平面内对应的点位于第四象限C.D.10.如图，在棱长为1的正方体中，为底面的中心，连接，，，，下列说法正确的是（）A.B.C.与所成的角为D.若为棱的中点，则过，，三点的平面与正方体相交形成的截面周长为11.已知函数在上既无最大值，也无最小值，且，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论成立的有（）A.B.C.在区间上不单调D.若方程在上的解为，，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某圆锥的侧面积是，底面半径，则该圆锥的体积是________．13.设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的直径为________．14.正四棱锥中，，其外接球半径为、内切球半径为，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知平面向量，不共线．（1）若，，，当，，三点共线时，求实数的值；（2）若，，与的夹角为，试确定的值，使与垂直．16.如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示．（1）求，，，的值；（2）小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？（3）小球在什么时间内是下降状态？17.如图，在三棱锥中，平面，，，．（1）证明：平面平面；（2）若为的垂心，证明：为点在平面内的射影．18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若．（ⅰ）证明：为等边三角形；（ⅱ）如图，以A为顶点，作，交边于D，E两点，记和的面积分别为，，求的最小值．19.如图，在直三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，平面，，E，F，G分别是线段，，的中点．（1）若P是线段的中点，证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点Q，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数是纯虚数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：是纯虚数，且，解得．2.下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形可以确定一个平面C.若两条直线没有公共点，则这两条直线平行D.若直线与平面平行，则该直线与平面内的无数条直线平行答案：D解析：思路：根据有关平面的三个基本事实和异面直线的定义，以及线面平行的性质逐一判断即得.解答过程：对于A，若三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；对于B，若四边形的四个顶点不在同一个平面上，则可以组成一个三棱锥，故不能确定一个平面，即B错误；对于C，两条直线没有公共点，包括平行与异面两种情况，故C错误；对于D，若直线与平面平行，则对于该平面内的任意点与该直线都可以组成一个平面，由线面平行的性质定理，可得该直线必与两平面的交线平行，因平面内的点有无数个，故两平面的交线也有无数条，即D正确.3.如图，已知水平放置的的斜二测直观图为，其中，，则的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由斜二测画法知，且，所以.4.如图，在中，D，E分别为，的中点，记，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用平面向量的线性运算，由平面向量的基本定理求解.解答过程：在中，D，E分别为，的中点，，，所以，，.5.在中，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用同角三角函数关系式先求出，由求出，再利用二倍角公式及两角和的正切公式求的值.解答过程：在中，因为，所以，所以，所以..6.已知，，，且与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据向量点积的夹角公式求出的值，再根据向量投影向量公式求出在上的投影向量.解答过程：已知，，根据向量点积的夹角公式可得：

，化简可得：，两边平方整理得：，又因为，解得（负根舍去），因此，根据在上的投影向量公式

可得：.7.如图，在一条水平的公路一侧选取两点、测量山高．在点时，测得山顶处的仰角为，在点时，测得山顶处的仰角为，若，，则山高为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设山高，根据题意可得和均为直角三角形，用表示、.进而在中结合余弦定理建立关于的方程并求解.解答过程：设山高，因为公路所在直线，因此、均为直角三角形：在处仰角为，因此，可得；在处仰角为，因此.在中，已知，，由余弦定理可得：，即，整理得：因此山高.8.已知四面体，若点，，，到平面的距离，，，满足，则这样的平面的个数为（）A.1 B.4 C.6 D.8答案：D解析：思路：分别讨论点，，，与平面的位置关系，根据已知的距离的比例关系确定平面的个数.解答过程：当点，，，在平面的同侧时，如下图：分别延长到，使得，，.则平面满足.且这样的平面只有1个.当点，，，中有1个点在平面的一侧，另外三点在平面的另一侧时：如下图：在线段上分别取点，使得，，，再取的中点，则平面，平面，平面，平面，均满足，这样的平面有4个；若点有两点在平面的一侧，另两点在平面的另一侧，则平面，平面，平面均满足，这样的平面有3个.综上可知：满足条件的平面有8个.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.B.在复平面内对应的点位于第四象限C.D.答案：BC解析：思路：先将复数化简求出其共轭复数，再根据复数的模、复平面内点的坐标，复数乘法及除法运算法则分别分析各选项.解答过程：由题意可得：，共轭复数，在A选项中，，A错误，在B选项中，在复平面对应点为，横坐标正、纵坐标负，属于第四象限，B正确，在C选项中，，C正确，在D选项中，，D错误.10.如图，在棱长为1的正方体中，为底面的中心，连接，，，，下列说法正确的是（）A.B.C.与所成的角为D.若为棱的中点，则过，，三点的平面与正方体相交形成的截面周长为答案：BCD解析：思路：选项A，结合图形平移异面直线到同一三角形，进而根据三角形性质求解角度；选项B，结合图形和线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；选项C，将与的夹角转化为与的夹角，再结合三角形性质求解；选项D，结合图形确定截面，再根据勾股定理计算各边长度求和.解答过程：选项A：在正方体中，，因此与的夹角等于与的夹角.在中，，是等边三角形，与夹角为，A错误.选项B：在正方体中，底面中，又底面，故，，且平面，故平面.是上底面中心，平面，故，B正确.选项C：在正方体中，故与的异面角等于与的夹角.因为，，，所以，即为直角三角形，，故，C正确.选项D：如图所示，平面过，可得截面与上底面交于中点，因此截面为四边形，四个顶点依次为.由，。，可得周长为，D正确.11.已知函数在上既无最大值，也无最小值，且，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论成立的有（）A.B.C.在区间上不单调D.若方程在上的解为，，且，则答案：ACD解析：思路：利用三角函数的图象与性质计算参数可判定A，由三角函数图象变换可判定B，由三角函数的单调性可判定C，结合诱导公式及三角恒等变换可判定D.解答过程：对于A，因为在上既无最大值，也无最小值，且，则在上单调，且关于轴对称，关于，即中心对称，所以，，解得，解得，所以，故A正确；对于B，将函数的图象向右平移个单位长度得的图象，故B错误；对于C，当时，，结合正弦函数的单调性知此时不单调，故C正确；对于D，当时，，由正弦函数的图象和性质可知，所以，所以，由题意可知，所以，即，解得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某圆锥的侧面积是，底面半径，则该圆锥的体积是________．答案：解析：解答过程：设圆锥的底面半径，高，母线，

因为,所以圆锥侧面积，即，解得，则，则圆锥体积.13.设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的直径为________．答案：2解析：思路：通过化简已知等式并结合余弦定理求出内角大小，再利用正弦定理即可直接解出外接圆的直径.解答过程：由题意得，得到，因为，所以，设的外接圆的半径为，由正弦定理得，解得，即外接圆的直径为.14.正四棱锥中，，其外接球半径为、内切球半径为，则的最小值为________．答案：解析：思路：设出高，由正四棱锥外接球与内切球的性质，用高表示出外接球半径与内切球半径，而后作商，多次换元将式子化简后结合基本不等式求解.解答过程：设正四棱锥高为，底面的中心为，连接，底面边长，则，，所以，设外接球球心为，内切球球心为，则，在上，因为，所以，在中，化简得，因为，则，所以，令，则，令，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知平面向量，不共线．（1）若，，，当，，三点共线时，求实数的值；（2）若，，与的夹角为，试确定的值，使与垂直．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据，，三点共线，则与共线，从而有，根据向量相等列方程组求解．（2）由与垂直，得出，整理成关于的方程求解即可.（1）由题知，．因为，，三点共线，所以与共线．又向量，不共线，所以存在实数，使得，即．所以解得所以实数的值为．（2）由，，，得，要使与垂直，则，即，代入得，解得．故时，与垂直16.如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示．（1）求，，，的值；（2）小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？（3）小球在什么时间内是下降状态？答案：（1），，，（2）19次（3）小球在内是下降状态．解析：思路：（1）根据三角函数的图象与性质结合图形计算即可；（2）利用三角函数的周期性计算即可；（3）根据三角函数的单调性计算即可.（1）由图2可知，，最小正周期，所以，由五点作图法可知，当时，，所以，所以，当时，．（2）小球往复运动一次所需时间为，小球1秒内往复运动的次数为，所以小球1分钟（60秒）内往复运动的次数为（次）．（3）令，得，所以小球在内是下降状态．17.如图，在三棱锥中，平面，，，．（1）证明：平面平面；（2）若为的垂心，证明：为点在平面内的射影．答案：（1）证明：因为平面，平面，所以，所以，所以，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）证明：如图，连接并延长与交于点，连接并延长与交于点，连接，，，则，，由（1）知平面，因为平面，所以，又，所以平面，又平面，所以．因为平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以．又，所以平面，所以为点在平面内的射影．解析：思路：（1）先利用已知的线面垂直关系推出线段垂直，结合勾股定理的逆定理证明另一组线段垂直，再通过线面垂直的判定定理，将一条直线与平面内两条相交直线垂直结合起来，从而得到平面垂直的条件；（2）利用垂心的定义作出两条高线，结合第一问已证的垂直关系和已知的线面垂直，分别证明目标直线垂直于平面内的两条相交直线，由此建立线面垂直关系，最终确定射影位置．（1）略．（2）略．18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若．（ⅰ）证明：为等边三角形；（ⅱ）如图，以A为顶点，作，交边于D，E两点，记和的面积分别为，，求的最小值．答案：（1）（2）（ⅰ）因为，所以，所以，即，即，所以，即，由（1）知，故，所以，则，所以为等边三角形．（ⅱ）解析：思路：（1）利用正弦定理将已知等式边化角，结合三角形内角和与三角函数诱导公式即可求解,（2）（ⅰ）对已知条件右侧切化弦、左侧使用诱导公式进行化简，解出的值，结合第（1）问结果推导得出三内角相等，