广东省深圳市宝安第一外国语学校2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分．考试时间120分钟．一、单选题1.这一组数据：的中位数为（）A. B. C. D.2.已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（）A. B.C. D.3.已知集合，则（）A. B. C. D.4.函数在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（）A.4 B. C.2 D.6.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）A.17 B.18 C.19 D.207.若函数的最小值为，则实数（）A. B. C.4 D.8.已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（）A. B. C. D.2二、多选题9.复数，，已知，，下列说法正确的是（

）A.复平面内与对应的点在第三象限 B.C. D.10.在矩形中，，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥P- ABC.若，则（）A. B.三棱锥外接球的表面积为C.直线与直线所成的角为 D.平面与平面的夹角为11.已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（）A.若点P在圆O上运动，则的最小值为21B.圆O与圆的公共弦长为C.若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为D.若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为三、填空题12.双曲线的离心率为_______．13.已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______．14.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________．四、解答题15.如图，已知正三棱柱中，，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.16.如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．（1）求的值；（2）若为边上一点，且，求的长．17.小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为．（1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率；（2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望；（3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率．18.已知椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点.（i）当最大时，求点的坐标；（ii）若，求的取值范围.19.若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意x均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．（1）试问函数是否为函数的“导控函数”？（2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；（3）已知函数和都是定义在上的偶函数，且是函数的“导控函数”，证明：恒成立（为常数）．

数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分．考试时间120分钟．一、单选题1.这一组数据：的中位数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：要找这组数据的中位数，首先需要把数据从小到大排序：，这组数据一共有7个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数，也就是．2.已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据平面向量共线定理，结合不共线向量线性表示的系数唯一性列方程求解x.解答过程：因为与共线，由平面向量共线定理可知，存在实数λ，使得，而，，故，非零向量，不共线，可得方程组：，解得.3.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解求出集合，再求交集可得答案.解答过程：由得，解得，因为，所以集合是所有奇数构成的集合，则.故选：B.4.函数在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程.解答过程：函数的导数为，则，则函数在点处的切线方程为，即.故函数在点处的切线方程为.故选：B.5.已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（）A.4 B. C.2 D.答案：D解析：思路：根据在抛物线上可求的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项.解答过程：因为在抛物线上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦点坐标为，故所求距离为，故选：D.6.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）A.17 B.18 C.19 D.20答案：A解析：思路：设成为等差数列的其中10层的塔数为：，设出公差，根据题意得，又，，且，故只能满足，进而可得答案.解答过程：设成为等差数列的其中10层的塔数为：，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为；故，①；又由②，，且，所以，①+②得，，得，由知，又因为观察答案，当且仅当时，满足条件，所以，；组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.故答案选：A7.若函数的最小值为，则实数（）A. B. C.4 D.答案：B解析：思路：分三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定的值。解答过程：因为，所以，由题意，易知，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在时，取得最小值，即，解得；当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以无最小值，故舍去；综上，实数.故选：B.8.已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：先由题意确定的所有可能取值，再分别求出对应的概率，进而可求出结果.解答过程：由题意可得的所有可能取值为，随机选取集合中5个元素构成子集，有个子集，集合中以正整数为最小数的5元子集共有个，所以，所以.二、多选题9.复数，，已知，，下列说法正确的是（

）A.复平面内与对应的点在第三象限 B.C. D.答案：BD解析：解答过程：因为，所以所对应复平面坐标为在第二象限，选项A错误；因为，所以，选项B正确；，选项C错误；，选项D正确.10.在矩形中，，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥P- ABC.若，则（）A. B.三棱锥外接球的表面积为C.直线与直线所成的角为 D.平面与平面的夹角为答案：AC解析：思路：A选项，直接利用勾股定理即可求解；B选项，根据几何关系找到外接球的球心和半径，根据球的表面积计算公式进行求解；C选项，将直线的夹角转化为方向向量的夹角，注意直线夹角的取值范围；D选项，将平面的夹角转化为二面角，注意平面夹角的取值范围.解答过程：A选项，因为，且，所以平面，则，所以是直角三角形，又因为，，所以，所以A选项正确；B选项，由A选项分析得，又因为，，所以是直角三角形，又因为，，所以，所以是直角三角形，分别作和的中点和，则，因为是直角三角形，所以，同理可得，则点即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径为，所以外接球表面积，所以B选项错误；C选项，，又因为直线与直线所成的角范围是，所以夹角为，所以C选项正确；D选项，如图所示，分别作，，则异面直线和的夹角即为平面与平面的夹角，由三角形面积公式可得，所以，同理可得，则,而，而，其中，，，，所以，所以，即平面与平面的夹角为，所以D选项错误.11.已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（）A.若点P在圆O上运动，则的最小值为21B.圆O与圆的公共弦长为C.若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为D.若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为答案：ACD解析：思路：对于A，由两点间距离公式求解即可；对于B，先求公共弦方程，再勾股定理求弦长；对于C，先求直线的方程，再求最大值，再结合二倍角公式求解；对于D，先求以为直径的圆的方程，再求直线的方程，进而表示点到直线的距离，再求最大值.解答过程：对于A，设，则，，A正确；对于B，将圆O与圆的方程相减可得两圆的公共弦方程为，点O到公共弦直线的距离为，所以公共弦长为，B错误；对于C，直线的方程为，连接，则，，在中，，当时，，从而取最大值，因为是锐角，所以最大时最大，又最大时，，所以，此时最大，最大值为，C正确；对于D，设则，因为，所以线段为两圆的公共弦，而为直径的圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即，与圆O相减得直线的方程为，将代入得，即，令，解得，所以直线恒过定点，则当且仅当时，点到直线的距离取得最大值，为，D正确.三、填空题12.双曲线的离心率为_______．答案：##解析：思路：利用双曲线方程可得即可求解解答过程：由可得，双曲线的离心率为，故答案为：13.已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上单调，则的值为______．答案：2或解析：思路：先根据是上的偶函数求出，再根据的对称中心和单调区间列出的方程，求解.解答过程：是上的偶函数，，又，，.又图象关于点对称，，.又在区间上单调，，，.，又，或.当时，；当时，.故答案为：2或14.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________．答案：7解析：思路：通过构造辅助等比数列推导数列总和的正确递推通项，求出构造次数，归纳首个插入数的变化规律完成求解.解答过程：设第次构造后数列的总和为，单次构造新增插入数字的和为.初始数列总和.由插入规则，单次插入数字和为原数列所有相邻两项之和，可得，.联立化简得，变形为，因此，是以为首项、为公比的等比数列，，，前次插入所有数字的总和满足，结合题设，可得，，，解得，即.归纳首次插入数规律：第次，第次，第次，……，第次.因此，第次构造时，.四、解答题15.如图，已知正三棱柱中，，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果；方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论.（2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果；方法二：利用等体积法计算即可.（1）方法一：取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，即，因为，又平面，所以平面；方法二：如图，连接交于点，连接，易知为的中点，又点为的中点，故，而平面，平面，所以平面；（2）方法一：点到平面的距离.方法二：因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为，因为，，平面，故平面，平面，故，由题意知，，所以，，，由，代入解得.16.如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．（1）求的值；（2）若为边上一点，且，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据余弦定理求解，由正弦定理即可求解.（2）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出和即可.（1）由余弦定理得：∴,由正弦定理：得.（2）如图所示：过作于，在中，，，∴，，在中，.∴∴∴17.小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为．（1）求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率；（2）记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望；（3）求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）设事件为第次投中，则前次投篮中就通过测试可表示，再由概率的加法公式及相互独立事件概率可得；（2）先确定的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得；（3）先计算通过测试概率，再计算前三次通过测试的概率，进而由条件概率公式可得.（1）设事件为第次投中，则小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率为：．（2）的所有可能取值为：．，，，．则的分布列为：．（3）设事件：小溪同学通过测试，事件：小溪同学恰好投篮了三次，因为投篮五次通过概率为，则，，则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：．18.已知椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点.（i）当最大时，求点的坐标；（ii）若，求的取值范围.答案：（1）（2）（i）或；（ii）解析：思路：（1）根据条件，直接求出，即可求解；（2）（i）设点，直线的倾斜角分别为，分三种情况，当时，，当时，可得，即可求解；（ii）法一，求出直线的方程，进而得直线过定点，从而可得，即可求解；法二，设直线为，同法一得出直线过定点，再结合条件得，即可求解.（1）由题意可得，，即，又，得，又，得，所以椭圆的标准方程为.（2）（i）由（1）知，设点，直线的倾斜角分别为，得，当时，，此时，当时，，则，当且仅当时，等号成立，当时，，则有，当且仅当时，等号成立，综上所述，当且仅当时，有最大值，即有最大值，所以当点的坐标是或有最大值.（ii）法一：设点，当时，两个三角形不