广东省深圳市龙岗区2025~2026学年高二下册期末质量监测数学试卷【附解析】

数学本试卷共5页．满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列的公差为，则（）A. B. C. D.2.6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（）A.240 B.480 C.960 D.19203.在5道试题中有2道社会学题目和3道艺术学题目，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到社会学题目的条件下，第2次抽到艺术学题目的概率为（）A. B. C. D.4.新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（）A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人C.依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于D.依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于5.在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）A.0.16 B.0.24 C.0.32 D.0.486.已知，函数在内是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.的展开式中x的系数是（）A. B. C. D.8.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（）A. B.数列为等比数列C. D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量的分布列如下：其中，且随机变量满足，若，则（）A. B. C. D.10.甲袋中有4个红球，6个白球，乙袋中有3个红球，7个白球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球.设表示“从甲袋取出的球是红球”，表示“从甲袋取出的球是白球”，B表示“从乙袋取出的球是红球”，则下列结论正确的是（）A. B.，为对立事件C. D.11.已知数列的首项为4，且满足，则（）A.为等比数列 B.为递增数列C.的前项和 D.的前项和三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设随机变量服从两点分布，若，则______.13.某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示．x34566789y根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________．附：（1）参考数据：，．（2）参考公式：，．14.已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设等差数列的公差不为0，，且．（1）求的通项公式：（2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值．16.设函数，其中为实常数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性．17.在人工智能时代，教育部门积极推动与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列；（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列．18.设数列的前项和为，已知，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.19.已知函数，.（1）求的极值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围.

数学本试卷共5页．满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列的公差为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用等差数列的定义求解即可.解答过程：因为等差数列的公差为，所以.故选：C.2.6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（）A.240 B.480 C.960 D.1920答案：B解析：思路：不相邻问题用“插空法”即可求得结果.解答过程：先对除甲、乙之外的四个人全排种排法，再将甲、乙插空：,根据分步计数原理得：种排法，故选：B3.在5道试题中有2道社会学题目和3道艺术学题目，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到社会学题目的条件下，第2次抽到艺术学题目的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．解答过程：设事件“第次抽到社会学题目”，事件“第次抽到艺术学题目”，所以，，所以．故选：D．4.新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（）A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人C.依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于D.依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于答案：C解析：思路：由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项和；根据，对照临界指表，即可判断选项和.解答过程：由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为，所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人，错误；由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为，所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人，所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误；已知，根据临界值表可得，依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于，所以正确；因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论，所以错误.5.在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）A.0.16 B.0.24 C.0.32 D.0.48答案：C解析：思路：根据服从正态分布，得到曲线的对称轴是直线，利用在内取值的概率为0.6，求出成绩不高于80的概率，再利用相互独立事件的概率公式即可求得结论．解答过程：解：服从正态分布曲线的对称轴是直线，在内取值的概率为0.6，在内取值的概率为0.3，在内取值的概率为．现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率故选：C6.已知，函数在内是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出导函数，再根据单调递增得出对恒成立，再结合导函数单调性计算求解.解答过程：∵单调递增，由函数在内是单调递增函数，故对恒成立，所以，所以．故选：A.7.的展开式中x的系数是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先写出二项展开式的通项公式，令通项公式中的幂指数，求得的值，再将代入通项公式即可求解.解答过程：由题意，二项展开式的通项公式为，令，解得，所以x的系数为.故选：C.8.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（）A. B.数列为等比数列C. D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种答案：C解析：思路：根据题意，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可判断ABC，然后逐一列举，即可判断D.解答过程：由题意可知，要使得次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中，所以，，即，因为，则，所以，，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确；则，即，对于A，，故A正确；对于C，由，可得，故C错误；对于D，若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应于，则不同的传球方式有：①，②，③，④，⑤，⑥，故共有6种情况，故D正确.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量的分布列如下：其中，且随机变量满足，若，则（）A. B. C. D.答案：AB解析：思路：根据离散型随机变量的期望和方差的计算公式及性质依次判断即可.解答过程：对于A，由题意得，解得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，所以，故D错误.10.甲袋中有4个红球，6个白球，乙袋中有3个红球，7个白球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球.设表示“从甲袋取出的球是红球”，表示“从甲袋取出的球是白球”，B表示“从乙袋取出的球是红球”，则下列结论正确的是（）A. B.，为对立事件C. D.答案：ABD解析：思路：根据条件概率的定义判断选项A；根据对立事件的定义计算判断B；根据条件概率的定义计算判断C；根据全概率公式计算判断D.解答过程：选项A，若发生（从甲袋取出红球放入乙袋），乙袋原有3红7白，加入1个红球后变为4红7白，共11个球，则，A正确.选项B，从甲袋只取出1个球，取出的球只能是红球或白球，和互斥，且必有一个发生，满足对立事件的定义，B正确.选项C，若发生（从甲袋取出白球放入乙袋），乙袋变为3红8白，共11个球，因此，则，C错误.选项D，根据全概率公式，其中，，代入得，D正确.11.已知数列的首项为4，且满足，则（）A.为等比数列 B.为递增数列C.的前项和 D.的前项和答案：ABD解析：思路：由数列递推式两边同除以，可得，推得为等比数列，可判断A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确.解答过程：由两边同除以，可得：，因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2.对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，即A正确；对于B，由上分析，可得，即，由，因，故为递增数列，故B正确；对于C，由上已得，则①，则

②，由：，即，即，故得，故C错误；对于D，因，则，故的前项和为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设随机变量服从两点分布，若，则______.答案：0.38解析：思路：由于变量服从两点分布，根据两点分布的性质进行求解.解答过程：随机变量服从两点分布，由，及，解得.13.某软件科技公司近8年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示．x34566789y根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程（，用分数表示），________．附：（1）参考数据：，．（2）参考公式：，．答案：解析：思路：首先计算和，再比较参考公式，即可求解.解答过程：，，由条件可知，得，所以，故答案为：.14.已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________．答案：解析：思路：构造函数，进而将原不等式转化为，再根据题意得在上是单调递减函数，最后根据单调性解不等式即可.解答过程：因为对任意的满足，即，令，则，所以在上是单调递减函数，因为，，所以，所以，即不等式的解集是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设等差数列的公差不为0，，且．（1）求的通项公式：（2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值．答案：（1）（2）8解析：思路：（1）根据题意列出关于的方程，求解出，然后写出的通项公式.（2）先写出，然后求解关于的不等式，解出即可.（1）设等差数列的公差为，．，，解得或（舍）．所以的通项公式为．（2）由题意可得，令，解得或（舍），故使成立的的最小值为8．16.设函数，其中为实常数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性．答案：（1）（2）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.解析：思路：（1）先求出，得出切点坐标，再求出，得到切线的斜率，从而得到切线方程.（2）先求出，对进行分类讨论即可.（1）函数的定义域为当时，函数，，．曲线在处切线方程为：，即．（2）因为，令，可得，即，当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增当，即时，的解为，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.17.在人工智能时代，教育部门积极推动与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列；（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用表示其评分在，范围的人数，求的分布列．答案：（1）（2）（3）解析：0120120.490.420.09思路：（1）由频率和为1列方程求参数值；（2）可知的可能取值为，结合超几何分布求分布列；（3）分析可知，结合二项分布求分布列.（1）由频率分布直方图可得，解得；（2）因为评分在的频率为，抽取的人数为，评分在的频率为，抽取的人数为，所以的可能取值为，