广东省深圳市实验学校高中园2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学满分：150分第一卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合，则（

）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（

）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（

）A. B. C. D.4.已知变量之间的线性回归方程为且变量之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是（）681012632A.变量x，y之间呈负相关关系B.可以预测，当时，C.D.该回归直线必过点5.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A. B.C. D.6.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120 B.72 C.64 D.487.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.2408.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.9.已知等比数列的前项和为，公比，，则（

）A. B.C. D.数列是公比为4的等比数列10.已知，则（

）A. B.C. D.11.已知函数，其中，则（

）A.若函数有且仅有1个零点，则B.若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是C.存在，使函数存在唯一的极值点D.若对恒成立，则第二卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.设，且，则的最小值为__________．13.设等差数列的前项和为，若，，则__________．14.用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_________个.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．16.三次函数在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求的单调区间和极值.17.从标有的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），用随机变量表示抽到的卡片是偶数的个数．（1）求在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．18.某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据：参数量x（亿）24681012性能得分y（分）1.82.83.43.63.84.0（1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分；（2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表：训练数据质量等级训练效率总计高效低效优质421860普通182240总计6040100请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关.附：，，，..0.050.010.0013.8416.63510.82819.已知函数．（1）证明：；（2）当时，，证明：；（3）证明：对任意正整数n，有．

数学满分：150分第一卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合，则（

）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题知，则2.设，则“”是“”的（

）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系.解答过程：不等式可化为，

所以，若成立，一定满足，因此充分性成立，若满足，不一定满足（例如），因此，必要性不成立.3.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：随机变量服从正态分布，则，，．4.已知变量之间的线性回归方程为且变量之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是（）681012632A.变量x，y之间呈负相关关系B.可以预测，当时，C.D.该回归直线必过点答案：C解析：思路：根据题意，结合线性回归分析，一一判断即可求解.解答过程：对于选线A，因，所以变量x，y之间呈负相关关系，故A正确；对于选项B，当时，，故B正确；对于选项C，由题意可知，，故，又因，所以，故C错；对于选项D，由C可知，样本中心点为，因此该回归直线必过点，故D正确.故选：C.5.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：用偶函数的性质转化为，再根据单调性比较的大小即可.解答过程：解：因为函数是偶函数，所以，因为在上是增函数，且，所以，即故选：D6.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120 B.72 C.64 D.48答案：B解析：思路：根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.解答过程：依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为.故选：B7.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.240答案：A解析：解答过程：展开式的通项为，令，得，所以的展开式中的常数项为.8.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，将原不等式变形为同构不等式，结合的单调性得在时恒成立，利用导数求出的最小值即可得解.解答过程：将不等式变形为，构造函数，其中，所以不等式可以表示为，对求导，得，因为，所以恒成立，即在上单调递增，则由不等式可推出对所有的恒成立，即，所以必须小于或等于在时的最小值，令，则，当时，，说明在上单调递减；当时，，说明在上单调递增；因此，在处取最小值，最小值为，所以，即的最大值为，故B正确.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.9.已知等比数列的前项和为，公比，，则（

）A. B.C. D.数列是公比为4的等比数列答案：AD解析：思路：已知公比和，利用等比数列通项公式求出首项​即可判断选项A，再依次用通项公式计算、代入前项和公式计算，分别判断选项B和C，最后计算数列相邻两项的公比即可判断选项D.解答过程：

在A选项中，由通项公式可得：，解得，A正确，在B选项中，，，则，B错误，在C选项中，由前项和公式​，代入得：

，C错误，在D选项中，设，则后项与前项的比为：，因此是公比为的等比数列，D正确.10.已知，则（

）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据给定条件，利用赋值法逐项求解判断.解答过程：令，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.11.已知函数，其中，则（

）A.若函数有且仅有1个零点，则B.若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是C.存在，使函数存在唯一的极值点D.若对恒成立，则答案：ACD解析：思路：根据给定条件，由分离参数法构造函数，利用导数确定函数性质判断AD；求出导数并分离参数构造函数，再利用导数确定函数性质判断BC.解答过程：对于A，由，得，令，求导得，由，得或，由，得，函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，在上单调递增，函数值集合为，函数的图象如下：直线与函数的图象当且仅当有一个公共点，则，A正确；对于B，，函数有且仅有2个极值点，则有两个变号零点，由，得，令，求导得，由，得，由，得或，函数在上单调递增，在上单调递减，函数的图象如下：直线与函数的图象有两个交点，则，因此函数有且仅有2个极值点，a的取值范围是，B错误；对于C，由选项B知，当时，直线与函数的图象仅有一个交点，此时函数有且仅有一个变号零点，即函数有唯一的极值点，C正确；对于D，，由选项A，得当时，，因此，D正确.第二卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.设，且，则的最小值为__________．答案：解析：思路：根据“1”的代换，结合已知可推得，然后根据基本不等式，即可得出答案.解答过程：因为，，所以.当且仅当，且，即时，等号成立.所以，的最小值为.故答案为：.13.设等差数列的前项和为，若，，则__________．答案：11解析：解答过程：设公差为，由，，得，即，解得，所以.14.用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_________个.（用数字作答）答案：312解析：思路：分两种情况，结合排列数和组合数公式求解.解答过程：偶数包含2，4，6，奇数包含1，3，5，7，1.若四位数没有偶数，则都是奇数，有个；2.若四位数有一个偶数，三个奇数，有个，综上可知，共有个.故答案为：312四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，计算出等差数列的基本量，即可求得通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法，求得数列的前项和.（1）设等差数列的首项为，公差为，则得，解得，；（2），的前n项和．16.三次函数在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求的单调区间和极值.答案：（1），（2）在区间和上单调递增，在区间递减，极大值是，极小值是.解析：思路：（1）根据题意，结合导数的几何意义即可求解；（2）根据题意，求出函数的导数，利用和即可求解.（1）由题意可知，函数，则，可得，，所以在处的切线方程为，即，解得，.（2）由（1）可得函数，则，令，即，解得或，令，即，解得，所以在区间和上单调递增，在区间递减，则函数的极大值是，函数的极小值是.17.从标有的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），用随机变量表示抽到的卡片是偶数的个数．（1）求在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．答案：（1）（2）数学期望．012解析：思路：（1）根据已知条件，分析第一次抽到奇数后剩余卡片的情况，进而求出相应概率；（2）分析的可能取值情况，分别计算相应概率，从而得出随机变量的分布列和数学期望．（1）已知奇数卡片张，偶数卡片张，第一次抽到奇数后，剩余张卡片：张奇数，张偶数，则第二次抽到偶数的概率．（2）已知随机变量表示抽到的卡片是偶数的个数，则的取值可能为，；；；随机变量的分布列为：012数学期望为：．18.某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据：参数量x（亿）24681012性能得分y（分）1.82.83.43.63.84.0（1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分；（2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表：训练数据质量等级训练效率总计高效低效优质421860普通182240总计6040100请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关.附：，，，..0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1）线性回归方程为，预测性能得分约为分（2）依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关解析：思路：（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测.（2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设.（1）由题意可得，n=6，，，又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：

，，所以，关于的线性回归方程为：

，当参数量亿时，代入可得：

，即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或​分）.（2）零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得：，，，，，所以卡方统计量为，因为对应的临界值为，，所以拒绝，依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关.19.已知函数．（1）证明：；（2）当时，，证明：；（3）证明：对任意正整数n，有．答案：（1），则令解得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以在处取得最小值，因此．（2）当时，．由(1)知（当且仅当取等号），所以令，定义域