广东省深圳市实验学校高中园2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学满分：150分第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据的众数为（）A. B. C. D.2.已知半径为的球的体积与表面积相等，则（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知向量，则（）A.4 B.3 C.2 D.04.如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（）.A. B. C. D.5.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.6.已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（）A.平均数不变 B.方差不变 C.极差变大 D.中位数不变7.为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（）A.这400名学生中，高一人数比高二人数多40B.成绩前200名的高一学生有90人C.成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64D.成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.若复数z满足（为虚数单位），则（）A. B.C. D.10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（）A.A与B独立 B.B与C对立C. D.11.如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（

）A.三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化．B.无论点N在何处，始终有平面成立．C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．D.平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，是单位向量，且，则与的夹角是______.13.在中，，则一定为__________三角形.（选填“锐角”、“直角”、“钝角”、“等腰”）14.如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，求边．16.在四棱锥中，平面平面，，底面为菱形，，，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．17.已知的三个内角A，B，C所对的边分别是，是钝角，且．（1）求的大小；（2）若的面积为，且，求的值；（3）若，求面积的最大值．18.某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率:（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.19.“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼和所组成的风筝．其中，，，，．现将此风筝的两个尾翼分别沿折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结，得到如图（2）所示的四棱锥．（1）求证：平面；（2）若E为棱上一点，记①若求直线与平面所成角的正切值；②是否存在点E使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由．

数学满分：150分第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据的众数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为样本数据中出现的次数最多，所以该样本数据的众数为．2.已知半径为的球的体积与表面积相等，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：解答过程：因为半径为的球的体积与表面积相等，所以.3.已知向量，则（）A.4 B.3 C.2 D.0答案：A解析：思路：根据向量垂直的坐标运算求解即可.解答过程：因为，所以，解得．故选：A.4.如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（）.A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：在四边形中，，，根据是平行四边形可得，四边形是矩形，且，所以四边形的面积.5.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解.解答过程：因为，所以，由题可知，所以，即.故选：A6.已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（）A.平均数不变 B.方差不变 C.极差变大 D.中位数不变答案：B解析：思路：求出新数据的平均数，即可判断A；求出新数据的方差即可判断B；求出两组数据的极差，即可判断C；举反例判断D.解答过程：对于A，设新数据的平均数为，则，故A错误；对于B，设新数据的方差为，原数据的方差为，则，故B正确；对于C，假设原数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为；则新数据中最大的数为，最小的数为，则新数据的极差为，即极差不变，故C错误；对于D，假设原数据为1，2，3，则平均数为2，中位数为2；则新数据为3，4，5，中位数为4，所以两组数据的中位数不等，故D错误.7.为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（）A.这400名学生中，高一人数比高二人数多40B.成绩前200名的高一学生有90人C.成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64D.成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多答案：D解析：思路：根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项．解答过程：由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确；由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确；成绩前100名的学生中，高一人数为人，故高三人数不超过人，C选项正确；成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人，故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误，故选：D8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.解答过程：和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上，又，所以的角平分线与边垂直，所以是等腰三角形，且.取的中点，连接，则.由题意知，，，所以.以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，故，设（），则，即..所以，当时，取得最小值，为.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.若复数z满足（为虚数单位），则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：运用复数除法化简可得，分别运用共轭复数的概念、复数模公式、复数乘法运算及乘方运算即可判断各个选项.解答过程：因为，所以，对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，故C项错误；对于D项，，，故D项正确.故选：BD.10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（）A.A与B独立 B.B与C对立C. D.答案：ACD解析：解答过程：选项A，，，且,因为，所以与独立.选项B，因为，，所以与不对立.选项C，.选项D，.11.如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（

）A.三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化．B.无论点N在何处，始终有平面成立．C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．D.平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形．答案：BCD解析：思路：A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面，再结合正方体特点判断；C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面.解答过程：A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值，等于正方体的棱长，且直角面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误；B选项，平面ACN即为平面AC，而正方体中必有平面；得到B正确；C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点，则，故⊥平面，所以即为直线MN与平面所成角，设大小为，设正方体的棱长为2，则，设，，若，则，由勾股定理得，则，当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为1，故，若，此时平面，此时夹角为0，，若，则，由勾股定理得，则，显然，，，此时，综上，，直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确；D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正，当时，延长交于点，连接，则即为平面BDN截得正方体的截面，当时，延长交于点，在平面上，过点作平行于，交于点，连接，则四边形即为平面BDN截得正方体的截面，故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，是单位向量，且，则与的夹角是______.答案：解析：思路：根据已知即可求出，结合向量夹角的范围，即可得出答案.解答过程：由已知可得，.又，所以.故答案为：.13.在中，，则一定为__________三角形.（选填“锐角”、“直角”、“钝角”、“等腰”）答案：直角解析：思路：由正弦定理边化角得，由此即可判断.解答过程：因为，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以一定为直角三角形.故答案为：直角.14.如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________.答案：##解析：解答过程：对三个元件进行标号，如下图所示：设事件表示“元件a接通”，事件表示“元件b接通”，事件表示“元件c接通”，且.电路接通需要a接通，且b或c接通，即，其中，所以.故电路接通的概率为.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，求边．答案：（1）（2）解析：（1）已知，由余弦定理得，可得，化简得，又，故；（2）由（1）知，由正弦定理，得.16.在四棱锥中，平面平面，，底面为菱形，，，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．答案：（1）取SD的中点M，连接ME，MC，因为E，M分别为SA，SD的中点，则且，又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且，可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则，且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD．（2）解析：思路：（1）由线面平行的判断定理进行证明；（2）由等体积公式求解．（1）略（2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，因为，则，且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB，所以平面ABCD，由题意可知：为等边三角形，则，且，平面，可得平面，由平面，可得，又因为，则，，故，，设点B到平面SCD的距离为h，因为，则，即，解得，所以B到平面SCD的距离为．17.已知的三个内角A，B，C所对的边分别是，是钝角，且．（1）求的大小；（2）若的面积为，且，求的值；（3）若，求面积的最大值．答案：（1）（2）（3）.解析：思路：（1）先由正弦定理得即可得解.（2）先由三角形的面积公式得，再由余弦定理即可得解.（3）先由余弦定理得，再结合面积公式即可求解.（1），，，是钝角，.（2），..（3），，当且仅当时面积取最大值.18.某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率:（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.答案：（1），85（2）（3）得分在内的平均数为81，方差为26.8.解析：思路：（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.（1）由题意得:，解得，设第60百分位数为，则，解得，第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、.则样本空间为.设事件“两人分别来自和，则，因此，所以两人得分分别来自和的概率为.（3）由题意知，落在区间内的数据有个，落在区间内的数据有个.记在区间的数据分别为，平均分为，方差为；在区间的数据分别为为，平均分为，方差为；这20个数据的平均数为，方差为.由题意，，且，则.根据方差的定义，由，可得故得分在内的平均数为81，方差为26.8.方法提示：关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可.19.“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工