广东省湛江市雷州市第二中学2025~2026学年高一上册开学摸底考试数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长6.1%，高于全国1.1个百分点，总量13507.7亿元．“13507.7亿”用科学记数法可以表示为（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.4.如图，直线，直线，若，则（）A.35° B.40°C. D.50°5.下列说法正确的是（）A.我校高个子的同学能组成一个集合B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合C.数组成的集合中有7个元素D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，46.下列命题中正确的是（）A.集合的真子集是B.是菱形是平行四边形C.设，若，则D.7.已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（）A.4 B.3 C.8 D.78.集合，，的关系是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.集合A的真子集个数为10.对于二次函数，下列结论中正确的是（）A.它的对称轴是直线B.当时，有C.它的图像与轴的两个交点是和D.当时，11.已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（）．A.若，则B.C.A可能仅含有2个元素D.A所含的元素的个数一定是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是___________．13.已知，则的值为______.14.已知非空集合同时满足以下四个条件：①；②；③；④．注：其中分别表示中元素的个数．如果集合中有2个元素，请写出所有满足条件的集合：___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.计算（1）解方程：；（2）解分式方程：．16.劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：劳动时间（单位：小时）频数1226164（1）___________，___________；（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是两名女生的概率．17.已知集合，集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．18.已知全集，集合．求：（1）及；（2）及19.已知集合为非空数集，定义：.（1）若集合，直接写出集合，（2）若集合，且，求证：；（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形逐一判断即可.解答过程：对于A，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；对于B，该图形不是中心对称图形，故B错误；对于C，该图形是中心对称图形，对称中心为圆的圆心，故C正确；对于D，该图形不是中心对称图形，故D错误.故选：C.2.2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长6.1%，高于全国1.1个百分点，总量13507.7亿元．“13507.7亿”用科学记数法可以表示为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据科学计数法定义转化即可.解答过程：亿.故选：A3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据代数式的运算逐项分析判断.解答过程：A：，故A错误；B：，故B错误；C：，故C正确；D：，故D错误；故选：C.4.如图，直线，直线，若，则（）A.35° B.40°C. D.50°答案：A解析：思路：根据直线垂直的定义和两直线平行的性质求出和，再由平角定义即可求解.解答过程：如图，因，则,又，则，因，故.故选：A.5.下列说法正确的是（）A.我校高个子的同学能组成一个集合B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合C.数组成的集合中有7个元素D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4答案：B解析：思路：根据集合概念逐一判断即可.解答过程：对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误；对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确；对于C，因为，故数组成的集合中只有5个元素，错误；对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误.故选：B6.下列命题中正确的是（）A.集合的真子集是B.是菱形是平行四边形C.设，若，则D.答案：B解析：思路：根据空集是任何非空集合的真子集可判断A；根据菱形一定是平行四边形，可判断B；根据集合相等的概念求出，可判断C；解方程求得集合可判断D.解答过程：对于A，集合的真子集包括，故A错误；对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以是菱形是平行四边形，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为方程的解为，所以，故D错误．故选：B.7.已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（）A.4 B.3 C.8 D.7答案：D解析：思路：根据集合的包含关系确定集合的元素，再根据集合的元素个数分类判断可得.解答过程：由，再由，得，.由CB，根据集合C中的元素个数分3类：①集合C中有2个元素时，集合C只能是，共1个；②集合C中有3个元素时，集合C可以是，，，共3个；③集合C中有4个元素时，集合C可以是，，，共3个；所以满足且C⫋B的集合的个数为个.故选：D.8.集合，，的关系是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可.解答过程：根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合，集合表示所有被除余的数所构成的集合，所以，集合表示所有被除余的数所构成的集合，任取，则，，所以，，又，，所以，综上，故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.集合A的真子集个数为答案：AC解析：思路：利用交集、并集、补集的概念及真子集的概念计算即可.解答过程：由已知全集，集合，，

对于A，，即A正确

对于B，，所以B错误

对于C，，所以C正确

对于D，集合的真子集有：，，，，，，共个，所以D错误．

故选：AC．10.对于二次函数，下列结论中正确的是（）A.它的对称轴是直线B.当时，有C.它的图像与轴的两个交点是和D.当时，答案：ACD解析：思路：对于A和D，利用二次函数的性质，即可求解；对B，直接求出函数值，即可求解；对于C，直接求出交点，即可求解.解答过程：对于A，因为二次函数的对称轴为，所以A正确，对于B，当时，，所以B错误，对于C，令，解得或，当时，；当时，，则二次函数的图像与轴的两个交点是和，所以C正确，对于D，因为二次函数的对称轴为，则，又二次函数开口向下，所以当时，，故选项D正确，故选：ACD.11.已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（）．A.若，则B.C.A可能仅含有2个元素D.A所含的元素的个数一定是答案：ABD解析：思路：根据集合的定义对各选项进行验证：直接计算判断A，用反证法判断B，设，由定义求出集合中其他元素后判断CD．解答过程：若，则，，A正确．若，则，而中分母不能为0，即，所以，B正确．若，则，所以，所以，．若，即，此方程无实数解，所以，若，即，此方程无实数解，所以，若，即，此方程无实数解，所以，所以若，则，，，且x，，，互不相等．所以A所含的元素的个数一定是，非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是___________．答案：解析：思路：由判断别式小于零求解即可.解答过程：因为关于的一元二次方程无实数根，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：13.已知，则的值为______.答案：解析：思路：根据元素与集合的关系列方程，结合集合元素的互异性来求得正确答案.解答过程：因为，当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去；当时，解得或（舍），时，，此时集合为符合题意，所以.故答案为：14.已知非空集合同时满足以下四个条件：①；②；③；④．注：其中分别表示中元素的个数．如果集合中有2个元素，请写出所有满足条件的集合：___________．答案：解析：思路：v已知集合中有2个元素，结合已知条件得出、的值，再得出，进而可判断出集合中的另一个可能元素，从而得出满足条件的集合．解答过程：集合中有2个元素，，又，，，，，，满足集合的另一元素可能为，满足的集合为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.计算（1）解方程：；（2）解分式方程：．答案：（1），；（2）．解析：思路：（1）首先对方程左边因式分解，即可求出方程的根；（2）按照分式方程解法的一般步骤完成即可.（1）解：∵，∴，即或，解得：，；（2）解：，去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，系数化为，得，检验：当时，，∴原分式方程的解为：．16.劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：劳动时间（单位：小时）频数1226164（1）___________，___________；（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是两名女生的概率．答案：（1）80；22（2）160人（3）解析：思路：（1）根据条件，直接求出，即可求解；（2）根据条件，直接求解，即可；（3）利用树状图，列出所有可能结果，再利用古典概率公式，即可求解.（1）由题意，.（2）（人），所以估计劳动时间在范围的学生有160人.（3）画树状图，如图：共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种，抽取的2名学生恰好是两名女生的概率为．17.已知集合，集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合数轴列式求解；（2）结合数轴列式求解，注意对空集的讨论.（1）因为，如图，所以，解得，所以，即的取值范围是；（2）当时，符合题意，此时有，即；当时，如图或有①，或②，解①得，解②得，所以此时，综上，实数的取值范围为．18.已知全集，集合．求：（1）及；（2）及答案：（1），（2）或，解析：思路：（1）由集合的交集、补集运算即可求解；（2）由交集、并集、补集运算即可求解；（1）因为，所以，（2）由（1）可得：或，由，可得：或，所以19.已知集合为非空数集，定义：.（1）若集合，直接写出集合，（2）若集合，且，求证：；（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.答案：（1）（2）证明见解析；（3）.解析：思路：（1）根据题目定义，直接计算集合；（2）根据两集合相等即可找到的关系；（3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值．（1）由，根据定义：，所以.（2）由于集合，且，所以也只有四个元素，即，因为，，所以，，所以，即.（3）设，其中，不妨设，则，所以，因