广西壮族自治区贵港市2025~2026学年高三上册9月教学质量诊断检测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则A的真子集的个数是（）A.4 B.6 C.7 D.82.若复数满足，则的虚部是（）A. B. C.2 D.3.已知随机变量，，则值为（）A.4 B.5 C.3 D.4.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.45.三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由乙开始传，经过4次传递后，球又被传回给乙，则不同的传球方式共有（）A.6种 B.10种 C.11种 D.12种6.已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.37.在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（）A. B. C.3 D.48.已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则（）A. B. C.0 D.2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记为等比数列的前n项和，q为的公比，，若，，则（）A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（）A.的最大值为3B.存在，使为图象的一个对称中心C.若直线是图象的一条渐近线，则D.若在区间内单调，则的取值范围是11.设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，则下列说法正确的是（）A.M的轨迹方程为B.M的轨迹与椭圆共焦点C.M的轨迹的渐近线与圆相切D.过能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列中，，，则其公差______．13.已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．14.不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若D为的中点，，，求．16.为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取名学生，对性别和身高是否大于进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于的学生占．表一：性别身高合计低于不低于女男合计表二：性别身高合计低于不低于女男合计（1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用B表示抽到学生身高不低于，计算，；（2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？附：其中．17.如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.18.设函数．（1）若，求在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若，求证：在时，．19.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆C的两个焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上．（1）求C的标准方程；（2）已知直线l与C交于A，B两点（不是椭圆顶点），且，求面积的最小值；（3）过C的蒙日圆上一点M，作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，，证明：为定值．

数学满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则A的真子集的个数是（）A.4 B.6 C.7 D.8答案：C解析：思路：先计算集合，再根据子集计算公式计算求解.解答过程：，因为集合A中有3个元素，所以真子集个数为．2.若复数满足，则的虚部是（）A. B. C.2 D.答案：D解析：解答过程：由，得，所以的虚部为．3.已知随机变量，，则值为（）A.4 B.5 C.3 D.答案：A解析：思路：根据正态分布的对称性求的值.解答过程：因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为．又因为，所以，解得．4.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值．解答过程：由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即，又，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2．5.三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由乙开始传，经过4次传递后，球又被传回给乙，则不同的传球方式共有（）A.6种 B.10种 C.11种 D.12种答案：A解析：思路：设在第次传球后有种情况球在乙手中，则由题意可得，再借助即可得.解答过程：设在第次传球后有种情况球在乙手中，即经过n次传球后球又被传回给乙，在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有种传球方法，故在第n次传球后，球不在乙手中的情况有种，即球在甲或丙手中，只有在这些情况时，在第次传球后，球才会被传回给乙，即，由题意可得，，，即不同的传球方式共有种.6.已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（）A.2 B. C.4 D.3答案：B解析：思路：连接，则有，当最小时，最小，则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值．解答过程：连接，则，当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为，则，故的最小值为．故选：B．7.在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（）A. B. C.3 D.4答案：C解析：思路：根据三点共线的结论得到，然后利用线性运算得到，，然后计算即可.解答过程：A、P、E三点共线，设，且，又，所以，，即．8.已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则（）A. B. C.0 D.2答案：D解析：解答过程：因为函数的图象关于点对称，所以，又，，令，则，则，故函数是偶函数，又，则，所以，故函数的周期为3，所以，．又，故．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记为等比数列的前n项和，q为的公比，，若，，则（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：利用等比数列的通项公式和前项和公式求解.解答过程：对A，，，，又，，，故A正确；对B，则，故B正确；对C，，故C正确；对D，，，则不恒等于8，故D错误.故选：ABC.10.已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（）A.的最大值为3B.存在，使为图象的一个对称中心C.若直线是图象的一条渐近线，则D.若在区间内单调，则的取值范围是答案：BD解析：思路：A选项，根据正切函数的性质判断；B选项，根据最小正周期得到，然后根据点为图象的对称中心计算，最后判断即可；C选项，根据为渐近线得到，然后计算即可；D选项，根据单调性列不等式，然后即可得到的范围.解答过程：对于A，因为无最大值，A错；对于B，的最小正周期为，故，，若点为图象的对称中心，则，，即，，当时，，B对；对于C，令，，解得，，因为，所以，C错；对于D，由可得，所以，，即，又，所以的取值范围，D对．11.设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，则下列说法正确的是（）A.M的轨迹方程为B.M的轨迹与椭圆共焦点C.M的轨迹的渐近线与圆相切D.过能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点答案：ABC解析：思路：根据已知求出点M的轨迹方程，结合各项的描述判断各项的正误.解答过程：设点，则，，所以，化简得，所以点M的轨迹方程为，A对；由A知，点M的轨迹的焦点为，与椭圆共焦点，B对；联立渐近线和圆的方程，可得，因为，则方程只有一解，故M的轨迹的渐近线与该圆相切，C对；点在轴上，，，则直线，与渐近线平行，但点A，B不在点M的轨迹上，故过点只能作点M轨迹的两条切线，如图所示，故过只能作2条直线与M的轨迹有且只有一个公共点，D错．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列中，，，则其公差______．答案：4解析：解答过程：．13.已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．答案：解析：思路：根据复合函数的单调性和定义域求的取值范围.解答过程：因为在上单调递减，所以在上单调递增，则必然，又在上有定义，所以，即.综上的取值范围是．14.不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______．答案：解析：解答过程：从8个球中随机不放回摸出5个球的试验共种，的事件有：①第5次摸到的球是黄球，则前4次摸到的球均为白球和红球种；②第5次摸到的球是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄种；③第5次摸到的球是红球，则前4次摸到的球可能为2白2黄或1白3黄种，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若D为的中点，，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理、三角形内角关系、两角和的正余弦公式化简已知等式求出，进而求出；（2）利用正弦定理求出，结合已知条件求出，利用正弦定理求出，进而利用余弦定理求解．（1）由和正弦定理，得，，，，即，又，，故，，．（2），为锐角，；在中，由正弦定理得，即，解得；D为中点，，，由正弦定理得，解得，，．16.为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取名学生，对性别和身高是否大于进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于的学生占．表一：性别身高合计低于不低于女男合计表二：性别身高合计低于不低于女男合计（1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用B表示抽到学生身高不低于，计算，；（2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？附：其中．答案：（1），（2）列联表如下：性别身高合计低于不低于女男合计该中学高二年级学生的身高与性别无关解析：思路：（1）利用列联表中数据，根据条件概率公式，用频率估计概率；（2）利用已知条件补全列联表，再通过卡方独立性检验，比较计算得到的统计量与临界值，从而判断性别与身高是否存在关联．（1）由表格中的数据可得，．（2）由题意，女生人数为，身高低于的学生人数为，则列联表如下：性别身高合计低于不低于女男合计零假设：该中学高二年级学生的身高与性别无关，，依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立，即该中学高二年级学生的身高与性别无关．17.如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.答案：（1）在图1的中，，所以，，且，，因为，所以，，则，，在中，，，，则，在图2的中，，，，满足，所以，因为，，，、平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值；（1）略（2）因为平面，，以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，，，设平面一个的法向量，则，取，可得，设平面的一个法向量为，，，则，取，则，设平面与平面所成角为，则，因此，平面与平面所成角的余弦值为.18.设函数．（1）若，求在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若，求证：在时，．答案：（1）（2）当时，在上为减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数；（3）证明：设，则；令，所以在恒成立，所以在为增函数；又，所以存在，使，即（*）；在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；将（*）代入得；所以在恒成立，即在时，．解析：思路：（1）先求导得到斜率表达式，代入和计算斜率与切点坐标，再用点斜式整理切线方程；（2）对导数，根据参数的符号分类，分析导数在定义域内的正负，从而确定单调区间；（3）先将化简为等价的，构造辅助函数，通过求导分析单调性，找到最小值点，利用与代换，证明最小值大于.（1）由题意得，所以；则，又；所以切线方程，即；（2），当时，，则在上为减函数；当时，令，解得；当时，，则在上为减函数，当时，，则在上为增函数；综上：当时，在上为减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数；（3）略19.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日