广西壮族自治区贺州市2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的4个选项当中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.3.已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（）A. B. C. D.6.已知，，若，，则（）A. B. C. D.7.如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若（），（），则关于的说法正确的是（）A.当时，取到最大值 B.当或1时，取到最小值C.，使得 D.，为定值8.已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.数据的上四分位数是6B.数据的方差是1，则的方差是9C.若，则A和B是对立事件D.若事件与相互独立，且，则10.下列关于函数的说法正确的是（）A.直线是函数图象的一条对称轴B.在区间上单调递增C.的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到D.若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为11.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则（）A.，，，四点共面 B.平面平面C.直线与所成的角为 D.平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.定义在上的奇函数满足：当，，则__________．13.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________.14.已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明步骤或演算步骤．15.已知为实数，向量，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．16.如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面⊥平面.17.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）．（1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值；（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；（3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．18.在中，角的对边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）若的面积，内切圆的半径为，求；（3）若为锐角三角形，且，求面积的范围．19.如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的4个选项当中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解出集合后，利用交集定义即可得.解答过程：由题设，，所以．2.复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：思路：根据复数的除法运算求出复数z，根据复数模的计算公式，即得答案.解答过程：由，得，故，故选：B3.已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：已知是单位向量，故.对两边平方得，

代入，解得.由点积定义得（为两向量夹角），得，即同向共线，存在使，充分性成立；若存在使，由，得.当时，，此时，必要性不成立.因此是“存在实数，使得”的充分不必要条件.4.设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：D解析：思路：根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项.解答过程：对于A，由，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误；对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误；对于C，由线面平行的判定定理可知C错误；对于D，过直线作平面，且，因为，所以，过直线作平面，且，同理可得，所以，因为，（若，则与重合）所以，因为，且，所以，，故D正确.5.已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用圆台的表面积公式求出该圆台的下底面半径，即可得出该圆台的高.解答过程：设圆台的下底面半径为，则该圆台的表面积为，整理可得，因为，解得.故该圆台的高为.6.已知，，若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解.解答过程：因为，，所以，已知，所以，因此，已知，，所以，则.7.如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若（），（），则关于的说法正确的是（）A.当时，取到最大值 B.当或1时，取到最小值C.，使得 D.，为定值答案：D解析：思路：先由条件利用表示向量，根据数量积的运算性质求，由此判断各选项.解答过程：因为，，所以，所以，因为为边长为的等边三角形，所以，所以，所以，为定值，D正确；A，B，C错误.故选：D.8.已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据条件，求出的周期，再利用奇函数的性质和条件，即可求解.解答过程：因为是奇函数，所以，又因为是偶函数，所以，即，所以，即，则，所以的周期为8，则，，所以．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.数据的上四分位数是6B.数据的方差是1，则的方差是9C.若，则A和B是对立事件D.若事件与相互独立，且，则答案：ABD解析：解答过程：由题意得数即分位数，因为，所以数据的分位数是6，A正确：设数据的均值为，记，则，可得，故方差是9，B正确；虽然，但是不能判断出是否为0，不能判断出是否对立，C错误；因为事件与相互独立，且，所以，得到，D正确．10.下列关于函数的说法正确的是（）A.直线是函数图象的一条对称轴B.在区间上单调递增C.的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到D.若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为答案：AB解析：思路：先把通过三角恒等变换化简为,再分别对选项A利用对称轴方程求解验证符合条件,对选项B求出函数单调递增区间并判断给定区间为其子集从而确定递增,对选项C依据三角函数平移规则验证平移结果与原式不符,对选项D求出零点表达式后列出内三个零点,进而确定的取值范围,最终判断各选项正误。解答过程：选项A：令，解得，当时，，A正确.选项B：即，令，因为，所以在区间上单调递增，B正确.选项C：左移得，C错误.选项D：令，得，函数在区间上恰有三个零点，则三个零点只能为：，故，D错误.11.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则（）A.，，，四点共面 B.平面平面C.直线与所成的角为 D.平面答案：BC解析：思路：根据直线，是异面直线可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点，可得三角形为等边三角形可判断C；取的中点，根据可判断D．解答过程：对于A中，直线，是异面直线，故，，，四点不共面，故A错误；对于B中，在长方体中，可得平面，平面，所以平面平面，故B正确；对于C中，取的中点，连接，，则，所以直线与所成的角为．，，，所以三角形为等边三角形，所以，故C正确；对于D中，取的中点，连接，则易得，因为平面，显然与平面不平行，故D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.定义在上的奇函数满足：当，，则__________．答案：解析：思路：根据奇函数性质求得，再由奇函数对称性求函数值.解答过程：∵是定义在上的奇函数，∴，则，∴．故答案为：13.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________.答案：解析：思路：根据已知确定所有可能情况，再列举出的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率.解答过程：由题设，所有可能的有序数对共有个，而的情况有，共有16个，所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为.故答案为：14.已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．答案：4解析：思路：由三角形面积关系得到，再利用基本不等式即可求得的最小值．解答过程：如图，由题意得：，可得：，由基本不等式，可得，解得．当且仅当时取等号，即当时，的最小值为4.故答案为：4．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明步骤或演算步骤．15.已知为实数，向量，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．答案：（1）或；（2）解析：思路：（1）利用向量平行的坐标运算即可求出；（2）利用得到，再利用线性运算得出坐标最后应用模长公式的坐标形式求解.（1）若，则，即即或；（2）因为，则，则，所以，得.16.如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面⊥平面.答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析.解析：思路：(1)结合三角形中位线的性质即可.(2)结合面面垂直的证明方法即可.解答过程：（1）连接交于点,连接．四边形是矩形，是的中点．又为的中点，．平面，平面，平面（2）面，面，．是矩形，．而，，平面平面又平面．平面平面．17.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）．（1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值；（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；（3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．答案：（1），（2）平均数为，第80百分位数为.（3）解析：思路：（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值；（2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值；（3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可.（1）由题意可知，年龄在内的频率为，故年龄在内的市民人数为.由图可得：，解得；（2）平均数为前三组的频率和为，第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组，第80百分位数为.（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.18.在中，角的对边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）若的面积，内切圆的半径为，求；（3）若为锐角三角形，且，求面积的范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据余弦定理化简即可求解；（2）利用三角形的面积公式可求出的值以及的值，结合余弦定理可得出关于的等式，解之即可；（3）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系.（1）由，可得，由于，故，（2）由题可知，化简得，由余弦定理知，即，所以，解得（3）在中，由正弦定理得，于是得，因为是锐角三角形，则，且，于是有，则，即，则，从而得，所以面积的取值范围是19.如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.答案：（1）设，连接，因为四边形为菱形，所以，，又因为为等边三角形，所以，因为，平面，所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）作出辅助线，根据三线合一性质得到，，从而证明出线面垂直；（2）解法1：设点到平面的距离为，先求出点到的距离，由（1）知，平面，先计算出，并求出，由等体积法求出；解法2：过C作，垂足为E，由（1）得面面垂直，推出平面，则即为点到平面的距离，求出点到的距离，根据三角形面积得到方程，求出，点C到平面的距离为；（3）求出，由余弦定理得